【摘要】以線性代數(shù)中的極大線性無關組教學為例，通過實際生活中的例子引入，從提出問題、分析問題到解決問題的全過程，展示了對極大線性無關組的概念、性質(zhì)和求法的問題導向型教學設計案例，讓學生充分體會到線性代數(shù)在實際生活中的應用.

【關鍵詞】線性代數(shù);極大線性無關組;教學設計;問題導向

1 引 言

問題導向型教學設計是最直接有效的一種教學設計模型，在現(xiàn)實的教學操作中也廣為教學設計者們喜愛，它清楚明白地展示了如何運用知識解決實際問題，對于像線性代數(shù)這種抽象的理論十分適用且效果顯著.本節(jié)教學設計以培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)為總目標和指導思想，激發(fā)和培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，以情境式教學和探究式教學為主要形式，注重與學生的生活實際相結合.以當下熱門的社會現(xiàn)象為課前引入，激發(fā)學生的興趣，使他們積極探討問題背后的數(shù)學知識，最終解決實際問題.從生活中來作開頭，到生活中去作結尾，讓學生充分體會線性代數(shù)在實際生活中的應用.

2 極大線性無關組的教學背景

2.1 教材分析

教育部高等學校大學數(shù)學課程教學指導委員會頒布的《大學數(shù)學課程教學基本要求》對本節(jié)內(nèi)容的要求為：了解向量組的極大線性無關組的概念，會求向量組的極大線性無關組.

本節(jié)內(nèi)容位于線性方程組這一章中，向量組的秩這一小節(jié).向量是線性代數(shù)的重要內(nèi)容，對研究線性代數(shù)的中心內(nèi)容——線性方程組起到了至關重要的作用，而充分理解向量組的極大線性無關組這一概念，才能理解向量組的本質(zhì)和內(nèi)部關系，同時為后面理解線性方程組解的結構和掌握線性方程組的求解方法打下基礎.另外，極大線性無關組的常用求法是利用第二章矩陣的初等變換，因此，本節(jié)內(nèi)容對于線性代數(shù)前后知識的關聯(lián)、融合十分重要，學好本節(jié)知識有利于學生將全部線性代數(shù)內(nèi)容形成一個體系.

2.2 學情分析

學生在學習本節(jié)知識之前，已經(jīng)學習了向量組的線性相關性和矩陣的初等變換，在線性無關的基礎上，本節(jié)內(nèi)容的關鍵就是理解“極大”這兩個字的含義，另外，極大線性無關組的不唯一性是一個難點，這對理解極大線性無關組的本質(zhì)和作用將是一個障礙.這一障礙是通過引入具體的向量組例子和導入環(huán)節(jié)中導入現(xiàn)實生活中實際的例子來解決的，從而幫助學生理解不唯一性這一難點.

2.3 教學目標

1.知識與技能：理解極大線性無關組的概念，了解極大線性無關組的性質(zhì)和作用;掌握利用矩陣的初等變換求向量組極大線性無關組的方法.

2.過程與方法：通過觀看圖片和視頻，讓學生增強從生活中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識;通過現(xiàn)實生活中的例子和極大線性無關組的數(shù)學概念，使學生學會理論聯(lián)系實際的方法;通過拋棄“多余”向量，讓學生體驗數(shù)學中化繁為簡的思想方法;通過問題從引入到分析再到解決的全過程，教會學生從實際問題中建立數(shù)學模型，并應用數(shù)學理論知識解決問題的本領.

3.情感、態(tài)度與價值觀：通過參與發(fā)現(xiàn)問題到最終解決問題的全過程，讓學生充分領略數(shù)學的魅力和價值;通過引導學生對極大線性無關組概念的理解和性質(zhì)的推導，培養(yǎng)學生主動思考、積極探究、不怕困難的精神和態(tài)度;通過對熱門的社會現(xiàn)象的思考，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和綜合素養(yǎng).

以上三種目標不是獨立存在的，是在教學過程的每一步中有機地統(tǒng)一在一起，相輔相成的.

2.4 教學重、難點

教學重點：用初等變換求極大線性無關組.

教學難點：對極大線性無關組不唯一性的理解，對極大線性無關組的性質(zhì)和作用的理解.

2.5 教學策略

本課程通過對社會現(xiàn)象的討論引入實際案例，為解決問題而開啟數(shù)學理論知識的學習.課程在設計中注重：1.從學生的生活體驗出發(fā).學生是體驗的主體，生活是體驗的情境.2.以問題為中心，帶著問題走進教材，靠著解決問題走進生活.以情境式和探究式為主要的學習方式貫串始終.

2.6 教學手段

在引入問題環(huán)節(jié)，教師通過展示圖片和視頻增加直觀性和趣味性;再通過提問引發(fā)學生思考;通過PPT來展示定義和例題;通過板書的形式來展示性質(zhì)的推導和具體計算，這樣一步步的推導體現(xiàn)了數(shù)學的嚴謹性.

3 極大線性無關組的具體教學過程

完整的教學過程可簡單地用流程圖表示如下：

教學過程具體可分為如下的步驟：

1.導入環(huán)節(jié)

描述現(xiàn)象——首先觀看一段網(wǎng)絡熱門搞笑視頻：生活中，商家的促銷手段可謂五花八門，令人眼花繚亂，尤其是近些年來電商的蓬勃發(fā)展，你一定也經(jīng)歷過各種購物狂歡節(jié)中煩冗復雜的規(guī)則和套路，有網(wǎng)友吐槽“領到了購物津貼你就領到了數(shù)學試卷”.

提出問題——面對“精明”的商家，我們怎樣才能不被套進去，做一個“精明”的消費者？

建立模型——某商家打算用5種成分來制造多種谷物營養(yǎng)餐，下表列出了6種營養(yǎng)餐A，B，C，D，E，F(xiàn)每份所需各成分的量（以每10克為單位）.

顧客要想得到全部的營養(yǎng)，當然購買全部的6種營養(yǎng)餐即可，然而是否可以少花些錢，只買其中的一部分，就能搭配出全部的營養(yǎng)餐呢？為了獲得全部的營養(yǎng)，需要購買最少的營養(yǎng)餐種類是哪幾個？

引出主題——向量組的極大線性無關組.

2.講授環(huán)節(jié)

（1）為解決問題，給出線性代數(shù)中極大線性無關組的定義，并對定義進行分析.

（2）對于極大線性無關組，我們要研究的問題分為四部分：存在性、唯一性、性質(zhì)和作用，如何求？對這四部分一一展開討論.具體來說，按照定義通過對向量組α1=1

0線性相關性的探討，得出結論——非零向量組的極大線性無關組一定存在，若整個向量組線性相關，則極大線性無關組不唯一，這同時解決了存在性和唯一性兩個問題.通過對定義的分析，可以推導出極大線性無關組的性質(zhì)和作用——與原向量組等價，因而在討論時可以代替原向量組，不必考慮多余的向量，使問題簡化.通過向量與矩陣的聯(lián)系，啟發(fā)和引導學生發(fā)現(xiàn)極大線性無關組的常用求法——轉化為矩陣問題，利用矩陣的初等變換解決問題.

3.鞏固環(huán)節(jié)

利用剛得到的極大線性無關組的求法，對導入環(huán)節(jié)中的案例進行推導計算，6種營養(yǎng)餐可看作6個向量，求出這6個向量組成的向量組的極大線性無關組，它可以表示所有的向量，因而可以配出全部的營養(yǎng)餐，滿足全部的營養(yǎng)成分，問題得到解決.

4.小結環(huán)節(jié)

在社會現(xiàn)象中思考，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題的過程，最終利用數(shù)學知識解決問題.

相關的知識點有：極大線性無關組的定義、存在性、唯一性、性質(zhì)、作用、求法.其中的重點是極大線性無關組的求法.難點是對極大線性無關組不唯一的理解及對性質(zhì)和作用的理解.

4 教學反思

線性代數(shù)中高維的向量是純理論的概念，沒有幾何表示，因而極具抽象性.本節(jié)教學設計通過實際生活中大家都會遇到的典型例子，讓學生對線性代數(shù)這一抽象的概念有一個具體的認識.網(wǎng)絡上熱門的搞笑視頻在課程一開始就抓住了學生的眼球，增強了課堂的趣味性，也容易讓學生產(chǎn)生共鳴，從而使學生自然而然地提出問題，引發(fā)思考.

極大線性無關組是向量的重要概念，相關的計算也是關于向量的重要運算.矩陣的初等變換貫串整個線性代數(shù)的始終，更是極其重要的，也是學生必須要熟練掌握的一種計算方法，在教學中要通過實例重點講解和練習它.對于極大線性無關組的不唯一性這一難點，通過三維向量的簡單實例予以解釋說明.

從生活中來到生活中去的完整過程，展現(xiàn)了數(shù)學建模的思想和發(fā)現(xiàn)問題、分析問題到解決問題的全過程，有助于培養(yǎng)學生的自主思考意識，提高學生的核心素養(yǎng).

【參考文獻】

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