何東林

(隴南師范高等專(zhuān)科學(xué)校數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，甘肅隴南 742500)

0 引言

Gorenstein同調(diào)理論作為相對(duì)同調(diào)代數(shù)的研究熱點(diǎn)之一，受到了許多學(xué)者的研究和推廣.2006年Holm等[1]在交換Noether環(huán)上介紹了關(guān)于半對(duì)偶模C的C-Gorenstein投射模和C-Gorenstein內(nèi)射模.2010年White[2]進(jìn)一步研究了交換環(huán)上的C-Gorenstein投射模和C-Gorenstein內(nèi)射模(即GC-投射模和GC-內(nèi)射模).Gillespie[3]討論了Ding-投射模和Ding-內(nèi)射模，此處的Ding-投射模與文獻(xiàn)[4]中強(qiáng)Gorenstein平坦模一致，而Ding-內(nèi)射模與文獻(xiàn)[5]中Gorenstein FP-內(nèi)射模一致.為了研究Ding-投射模和Ding-內(nèi)射模的可數(shù)部分及涉及的模類(lèi)，Zhang等[6]引入了關(guān)于半對(duì)偶模C的Ding-投射模和Ding-內(nèi)射模，稱(chēng)之為DC-投射模和DC-內(nèi)射模.本文主要討論DC-內(nèi)射模的若干性質(zhì)，研究DIC(R)-投射維數(shù)小于等于n的若干等價(jià)刻畫(huà)，以及短正合列0→L→M→N→0中各項(xiàng)的DIC(R)-投射維數(shù)之間的關(guān)系.

1 定義和引理

定義1[6]稱(chēng)R-模M是DC-內(nèi)射模，如果存在正合列

(ε)：…→HomR(C，I1)→HomR(C，I0)→I-1→I-2→…

使得M?Ker(I-1→I-2)，且對(duì)任意HomR(C，F(xiàn))∈FIC(R)有(ε)在HomR(HomR(C，F(xiàn))，-)下正合，其中Ii∈I(R).用DIC(R)表示所有DC-內(nèi)射R-模組成的類(lèi).

例1 (1)當(dāng)C=R時(shí)，DC-內(nèi)射模與Ding-內(nèi)射模一致.

(2)每個(gè)DC-內(nèi)射模都是GC-內(nèi)射模.

引理1[7]設(shè)w是x的生成子且x關(guān)于擴(kuò)張封閉，0→M′→M→M″→0是R-模短正合列，則以下說(shuō)法成立：

(ⅰ)如果x關(guān)于直和因子封閉，M，M″∈x且M′∈w⊥，那么M′∈x.

(ⅱ)如果w關(guān)于直和因子封閉，M，M′∈x且M″∈⊥x，那么M″∈w.

證明證明過(guò)程與文獻(xiàn)[6]中命題1.4對(duì)偶.

2 主要結(jié)果

定理1 IC(R)是DIC(R)的投射生成子.

命題1 模類(lèi)DIC(R)關(guān)于擴(kuò)張、直積、直和因子、單同態(tài)的余核均封閉.

證明由[6]中命題1.10、命題1.11和定理1.12的對(duì)偶結(jié)論易證.

定理2 設(shè)0→L→M→N→0為R-模正合列，L∈DIC(R)且DIC(R)-pdR(N)有限，則DIC(R)-pdR(M)=DIC(R)-pdR(N).

證明設(shè)DIC(R)-pdR(N)=n<+∞，下面對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)n=0時(shí)，DIC(R)-pdR(N)=0且N∈DIC(R).因?yàn)長(zhǎng)∈DIC(R)且DIC(R)關(guān)于擴(kuò)張封閉，所以M∈DIC(R).可見(jiàn)DIC(R)-pdR(M)=0=DIC(R)-pdR(N)，結(jié)論成立.

當(dāng)n=1時(shí)，有DIC(R)-pdR(N)=1，存在正合列0→D1→D0→N→0，其中D1，D0∈DIC(R).構(gòu)造拉回圖，如圖1

圖1 M→N和D0→N的拉回圖

由中間行正合列0→L→U→D0→0及DIC(R)關(guān)于擴(kuò)張封閉知，U∈DIC(R).從而由中間列正合列0→D1→U→M→0得，DIC(R)-pdR(M)≤1.若DIC(R)-pdR(M)=0，由L∈DIC(R)及命題1知，N∈DIC(R).這與假設(shè)n=1矛盾，所以DIC(R)-pdR(M)=1.從而有DIC(R)-pdR(M)=DIC(R)-pdR(N)，結(jié)論成立.

圖2 K0→D0和HomR(C，E)→D0的拉回圖

圖3 M→N和HomR(C，E)→N的拉回圖

由中間行正合列可知Q∈DIC(R).在中間列正合列0→H→Q→M→0中，Q∈DIC(R)且DIC(R)-pdR(H)=n-1，從而有DIC(R)-pdR(M)=n=DIC(R)-pdR(N).結(jié)論成立.

綜上所述，結(jié)論成立.

定理3 設(shè)M為R-模，n為非負(fù)整數(shù)，則以下條件等價(jià)：

(ⅰ)DIC(R)-pdR(M)≤n+1；

(ⅱ)存在正合列0→K→D→M→0，其中D∈DIC(R)且DIC(R)-pdR(K)≤n；

(ⅲ)存在正合列0→K′→HomR(C，E)→M→0，其中E∈I(R)且DIC(R)-pdR(K′)≤n.

證明(ⅰ)?(ⅱ)設(shè)DIC(R)-pdR(M)≤n+1，則存在正合列0→Dn+1→…→D1→D0→M→0，其中Di∈DIC(R)(0≤i≤n+1).令K=Ker(D0→M)，則DIC(R)-pdR(K)≤n且0→K→D0→M→0正合.序列0→K→D0→M→0就是滿足要求的正合列.

(ⅱ)?(ⅲ)設(shè)存在正合列0→K→D→M→0，其中D∈DIC(R)且DIC(R)-pdR(K)≤n.由定理2知，IC(R)是DIC(R)的投射生成子.可見(jiàn)存在正合列0→D′→HomR(C，E)→D→0，其中D′∈DIC(R)且HomR(C，E)∈IC(R).構(gòu)造拉回圖，如圖4.

圖4 HomR(C，E)→D和K→D的拉回圖

在上行正合列0→D′→K′→K→0中，D′∈DIC(R)且DIC(R)-pdR(K)≤n.根據(jù)定理2可知，DIC(R)-pdR(K′)≤n.可見(jiàn)中間列正合列0→K′→HomR(C，E)→M→0就是滿足要求的正合列.

(ⅲ)?(ⅰ)顯然成立.

推論1 設(shè)0→L→M→N→0為R-模正合列，則以下說(shuō)法成立：

(ⅰ)如果M，N∈DIC(R)且L∈IC(R)⊥，那么L∈DIC(R).

(ⅱ)如果L，M∈DIC(R)且N∈⊥DIC(R)，那么N∈IC(R).

證明根據(jù)引理1、命題1和定理1易證.

命題2 設(shè)R-模正合列0→L→M→N→0在HomR(IC(R)，-)下正合，且M，N∈

證明對(duì)任意HomR(C，E)∈IC(R)，由引理2知

定理4 設(shè)R-模正合列0→L→M→N→0在HomR(IC(R)，-)下正合，則以下說(shuō)法成立：

(ⅰ)如果M∈DIC(R)，那么DIC(R)-pdR(N)≤DIC(R)-pdR(L)+1.

(ⅱ)如果N∈DIC(R)，那么DIC(R)-pdR(L)≤DIC(R)-pdR(M).

證明(ⅰ)顯然成立.

(ⅱ)設(shè)N∈DIC(R).當(dāng)DIC(R)-pdR(M)=+∞時(shí)，DIC(R)-pdR(L)≤DIC(R)-pdR(M)顯然成立.不妨設(shè)DIC(R)-pdR(M)=n<+∞.下面對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)n=1時(shí)，有DIC(R)-pdR(M)=1，存在正合列0→D1→D0→M→0，其中D1，D0∈DIC(R).構(gòu)造拉回圖，如圖5

圖5 L→M和D0→M的拉回圖

在中間行正合列0→U→D0→N→0中，N，D0∈DIC(R).由命題1知U∈DIC(R).由左列正合列0→D1→U→L→0知，DIC(R)-pdR(L)≤1.從而結(jié)論成立.

假設(shè)結(jié)論對(duì)于n-1成立，下面討論對(duì)于n的情形.由DIC(R)-pdR(M)=n知，存在正合列0→Dn→…→D1→D0→M→0，其中Di∈DIC(R)(0≤i≤n).令K=Ker(D0→M)，則DIC(R)-pdR(K)=n-1且0→K→D0→M→0正合.構(gòu)造考慮拉回圖，如圖6

圖6 L→M和D0→M的拉回圖

由中間行正合列0→V→D0→N→0及命題1知，V∈DIC(R).在正合列0→K→V→L→0中，DIC(R)-pdR(K)=n-1且V∈DIC(R).可見(jiàn)DIC(R)-pdR(L)≤n.從而結(jié)論成立.

綜上所述，如果N∈DIC(R)，那么DIC(R)-pdR(L)≤DIC(R)-pdR(M).

3 結(jié)論

利用環(huán)模理論和同調(diào)代數(shù)的方法，研究了DC-內(nèi)射模的若干性質(zhì)以及DIC(R)-投射維數(shù)小于等于n的若干等價(jià)刻畫(huà).結(jié)果表明IC(R)是DIC(R)的投射生成子.從而補(bǔ)充了同調(diào)代數(shù)中關(guān)于半對(duì)偶模的相關(guān)理論.