王 煜，李佳鑫

(青海師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，青海西寧 810008)

1 問題的提出

數(shù)列素養(yǎng)(Sequence literacy)是大數(shù)據(jù)背景下數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要方面，在新課標(biāo)(《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》)下數(shù)列作為一類能解決實際應(yīng)用問題的特殊函數(shù)，被編排在選擇性必修課程中的函數(shù)主題一欄，該選擇性必修課程中包含函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動這四個主題[1].函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點與難點，函數(shù)思想貫穿于整個高中數(shù)學(xué)中，而數(shù)列位于函數(shù)主題中，可見數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位[2].所以提升學(xué)生的數(shù)列素養(yǎng)，可以有效地幫助他們分析和解決日常生活中簡單的實際數(shù)學(xué)問題.

數(shù)列知識認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)成、發(fā)展和完善的整個過程[3]，就是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列知識的實質(zhì).對于認(rèn)知結(jié)構(gòu)而言，喻平教授創(chuàng)造性地提出了數(shù)學(xué)學(xué)科特有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)——個體的CPFS結(jié)構(gòu)[3，4].在認(rèn)識CPFS結(jié)構(gòu)前，我們首先要了解什么是圖式？圖式是命題或相似事物的知覺特征的編碼形式，它是將觀念按屬性組合的知識儲存方式[5].南京師范大學(xué)的喻平教授在多年教學(xué)實踐的基礎(chǔ)上，通過大量實證研究，以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理理論框架為基礎(chǔ)，提出概念域、概念系、命題域和命題系四個理論[6]，這四部分形成一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，隨后將該認(rèn)知結(jié)構(gòu)取其英文首字母命名為CPFS結(jié)構(gòu)[7].并于2003年提出：一切與數(shù)學(xué)概念C等價解釋的圖式稱作概念C的概念域[8]；和概念域相似的是，一個典型命題A的命題域稱作一個等價命題網(wǎng)絡(luò)的圖式；一組具有數(shù)學(xué)強、弱、廣義抽象關(guān)系的概念網(wǎng)絡(luò)圖式，稱為概念系[9]；而定義命題系的是一個命題集的圖式，其中被包含于這個命題集里的任何一個命題存在著至少與另外一個命題有廣義抽象中的前后關(guān)聯(lián)關(guān)系[10].

本研究將CPFS結(jié)構(gòu)作為理論基底，對西寧市某中學(xué)高一到高三年級學(xué)生的數(shù)列認(rèn)知進(jìn)行實證研究.分析該中學(xué)高中生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)整體水平如何？而年級與性別的差別是否會是影響學(xué)生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)的因素呢？若有影響，是怎樣影響的呢？

2 研究問題

(1)西寧市高中生個體數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)優(yōu)良性整體水平分析;

(2)西寧市高中生數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)不同年級差異分析;

(3)西寧市高中生數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)不同性別差異分析.

3 研究設(shè)計

3.1 問卷

為了有效地考察學(xué)生數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)的認(rèn)知情況，問卷參考了喻平教授在其博士論文《數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知模式及教學(xué)理論研究》中提到的目標(biāo)回憶、結(jié)點連線、辨證推理、等價推理和命題應(yīng)用這五種檢測CPFS結(jié)構(gòu)的方法.編制出了適用于本研究的問卷，其各題目題干如下：

(1)寫出數(shù)列的概念，并闡述出你所理解的數(shù)列.(將你能想到的與數(shù)列相關(guān)的知識都陳述出來，比如數(shù)列的分類、特點、性質(zhì)等等)

(2)聯(lián)想曾經(jīng)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識點，在A、B、C、D、E、F、G這7個選項中選出與數(shù)列知識相關(guān)的選項，且分析出你的理由，陳述數(shù)列與你所選選項知識間的聯(lián)系.A.等式；B.不等式；C.函數(shù)；D.方程組；E.三角函數(shù)；F.代數(shù)式；G.遞推.

(3)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，2a5=a3+a7是否成立？2a5=a1+a9呢？為什么？ 2an=an-1+an+1(n>1)是否成立？據(jù)此你能得出什么結(jié)論？2an=an-k+an+k(n>k>0) 是否成立？據(jù)此你能得出什么結(jié)論？

(4)由等差數(shù)列通項公式an=a1+(n-1)d、等比數(shù)列通項公式an=a1.qn-1出發(fā)，你可以推出哪些能代表是等差、等比數(shù)列的公式？盡可能地寫出你能想到的公式，并寫出關(guān)鍵的推導(dǎo)思路.

(5)在數(shù)列的學(xué)習(xí)過程中，你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)方法或是數(shù)學(xué)思想？

(6)請自行編制出一道有關(guān)數(shù)列知識的題目，并寫出解答該題目的主要思維路線.

3.2 被試對象

本文選取西寧市某中學(xué)280名高一到高三年級學(xué)生參與了此次測試，其中3個年級分別隨機抽取2個班進(jìn)行測試.本研究共發(fā)放280份測試卷，去除42份無效卷，回收有效卷共238份，其中高一、高二及高三年級被試有效人數(shù)分別為82名、70名及86名，且這238份有效卷中男生121人，女生117人.

3.3 方法

本文運用統(tǒng)計軟件SPSS20.0對測試數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計性分析.需要指出的是，筆者通過SPSS20.0對本研究測試卷進(jìn)行了信、效度的檢驗，檢測到問卷信度系數(shù)達(dá)到0.773>0.7，效度KMO值為0.81>0.7，并且該問卷Bartlett球形度檢驗出的P值(Sig.)為0.000<0.05，說明問卷的可信度較高，效度也良好，即本文所編制的問卷具有良好的信度、效度，其調(diào)查數(shù)據(jù)可以為本研究所用.

4 結(jié)果分析

4.1 高中生個體CPFS結(jié)構(gòu)優(yōu)良性的整體分布情況

筆者對本研究收回的238份有效問卷的數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理，得到高一、高二及高三三個年級學(xué)生的數(shù)列CPFS 結(jié)構(gòu)測試成績結(jié)果(該問卷分?jǐn)?shù)越高則說明被試建構(gòu)的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)越好).對其進(jìn)行描述統(tǒng)計，結(jié)果如表1所示.

表1 238名被試的數(shù)列CPFS測試結(jié)果統(tǒng)計

由表1中數(shù)據(jù)可知：238名學(xué)生CPFS測試成績的最高分為34分，最低3分，明顯看出最高與最低相差很大，其平均值M為16.91，標(biāo)準(zhǔn)差δ為6.5，同樣相差很大；同時從表1可看出結(jié)果的偏度系數(shù)是0.061，即學(xué)生分?jǐn)?shù)位于平均分左右的居多，由此可以得到這238名被試的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)認(rèn)知情況整體一般.

同時筆者還得出了被試高中生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)正態(tài)曲線，如圖1所示.

圖1 高中生數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)正態(tài)曲線

由圖1成績正態(tài)曲線可以得到：不同學(xué)生間的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)存在較大的不同，在中、高分區(qū)間差距更大.

利用均值M和標(biāo)準(zhǔn)差δ，將這238名被試按 CPFS 測試成績的不同分為三組(M+δ和M-δ均四舍五入取整)：“低CPFS結(jié)構(gòu)”組分?jǐn)?shù)為0到10分(包括0分和10分)；“中CPFS結(jié)構(gòu)”組分?jǐn)?shù)為11到23分(包括11分和23分)；分?jǐn)?shù)高于23的均為“高CPFS結(jié)構(gòu)”組.每組人數(shù)及具體的所占比如表2所示.

表2 238名被試的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)的總體分布

通過觀察表2，得到：被試中有34人(14.29%)的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)較好，157人(65.96%)數(shù)列CPFS不太完善，而47人(19.75%)并未建立良好的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu).

4.2 年級對數(shù)列 CPFS 結(jié)構(gòu)的差異性研究

筆者通過SPSS軟件分析出三個年級被試的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的描述性特征，結(jié)果見表3所示.

表3 各年級被試數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的描述統(tǒng)計量

續(xù)表

從表3分析各年級總分均值情況可看出：被試的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)的完善程度為高三>高一>高二.具體而言，從表3中數(shù)據(jù)可以比較學(xué)生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，其結(jié)果顯示高二年級最高，高三最低，說明針對學(xué)生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)，高三年級最穩(wěn)定，高一次之，而高二被試最不穩(wěn)定.

但是不同年級CPFS結(jié)構(gòu)測試成績均值的不同并不能說明該年級學(xué)生個體是否普遍最高或者最低，或者說CPFS結(jié)構(gòu)水平是否真的是高三>高一>高二.因此筆者首先得到了各年級總?cè)藬?shù)百分比(如表4)、各年級學(xué)生數(shù)列 CPFS結(jié)構(gòu)各等級所占百分比(如表5)，其次應(yīng)用方差分析(ANOVA)法對三者做了差異性分析，結(jié)果如表6、表7和表8所示.

表4 各年級總?cè)藬?shù)所占百分比

表5 三個年級被試的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)低、中、高所占百分比

Levene方差齊性檢驗結(jié)果如表6所示.

表6 年級對測試結(jié)果的Levene方差齊性檢驗

觀察表6中數(shù)據(jù)：其Levene統(tǒng)計量對應(yīng)的p>0.05，所以得到各年級對CPFS結(jié)構(gòu)測試的成績滿足方差齊性的結(jié)論.

各年級對CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的單因素方差分析結(jié)果，如表7所示.

表7 各年級對數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的單因素方差分析結(jié)果

觀察表7得到數(shù)據(jù)：p=0.022<0.05，所以結(jié)果拒絕原假設(shè)，也就是說，不同年級被試的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績并不完全相同.

然而拒絕單因素方差分析原假設(shè)并不能得出各年級間數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績均值完全不等的結(jié)論.還得通過多重比較檢驗結(jié)果進(jìn)行各年級間數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績均值的兩兩比較，如表8所示.

表8 各年級間數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的多重比較檢驗結(jié)果分析

由于表6得出結(jié)果方差滿足齊性，表中的均值差又給出了不同年級間數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的均值之差，可以看出高一和高三、高二和高三年級間的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績存在顯著差異，而高二和高一年級間的差別不明顯.此結(jié)論由表8中顯著性列給出的p值大小與0.05比較(p>0.05不顯著，p<0.05顯著)也可得出.

綜上所述，年級會影響學(xué)生數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)的認(rèn)知.

4.3 性別對數(shù)列 CPFS 結(jié)構(gòu)的差異性研究

筆者還用SPSS20.0軟件將性別作為變量，分析出了被試男、女的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)描述性特征，具體見表9.

表9 男、女被試的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)成績描述統(tǒng)計

從表9中數(shù)據(jù)可以得到：從數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差來看，被試女生的標(biāo)準(zhǔn)差略低于被試男生，說明與被試男生相比，被試女生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)要更穩(wěn)定一些；而從均值來看，結(jié)果中被試男生和女生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的平均值相差不多，也就是說，當(dāng)被試對象的性別不同時，被試的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)不會有顯著差異.

由表9中比較男、女被試數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的均值與標(biāo)準(zhǔn)差還不能說明結(jié)果的普遍性，因此筆者對男女生的CPFS結(jié)構(gòu)做了差異性分析，結(jié)果如表10和表11，其中運用到兩獨立樣本t檢驗與方差分析這兩種方法.

表10 被試男女生的CPFS結(jié)構(gòu)獨立樣本t檢驗

由上表10可知，其Levene’s方差齊性檢驗的p值結(jié)果是0.769>0.05，說明男生和女生數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的方差滿足齊性(Levene’s方差檢驗的原假設(shè)是方差滿足齊性)，所以t檢驗結(jié)果應(yīng)該看表10的假設(shè)方差相等行.結(jié)果顯示t檢驗的p值為0.926>0.05，說明男女生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)成績的方差無明顯差異.

表11 被試男女生CPFS結(jié)構(gòu)的單因素方差分析結(jié)果

根據(jù)表11的組間方差檢驗的結(jié)果可知，其顯著性水平為0.926>0.05，說明238名學(xué)生中男、女性別的不同對其數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)的影響并不顯著，即性別并不會影響學(xué)生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu).

5 結(jié)論

經(jīng)數(shù)據(jù)統(tǒng)計及SPSS20.0數(shù)據(jù)分析，對西寧市某中學(xué)高一到高三年級學(xué)生的數(shù)列CPFS認(rèn)知結(jié)構(gòu)分析，可得如下結(jié)論：

(1)238名高一到高三學(xué)生建構(gòu)的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)整體水平一般，且個體間的數(shù)列認(rèn)知差距較大.具體而言，高CPFS結(jié)構(gòu)組占14.29%，低CPFS結(jié)構(gòu)組占19.75%，中CPFS結(jié)構(gòu)組占65.96%.

(2)年級會影響學(xué)生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu).隨著學(xué)生年級的不同，學(xué)生所建構(gòu)的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和完善程度都不同，且年級間的差異均為高三>高一>高二.

(3)238名學(xué)生中男、女性別的不同對其數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)的影響并不顯著，即性別并不會影響學(xué)生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu).