白晨光，魏曉靜，邱 鑫，楊建飛，葛浩銳，金 振，張永民

（1.南京師范大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，南京210046；2.中國電子科技集團(tuán)公司第十四研究所，南京210039）

0 引 言

永磁同步電機(jī)（以下簡稱PMSM）是一個多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，而傳統(tǒng)PI控制已經(jīng)不能滿足其高性能控制的要求。隨著非線性控制理論的發(fā)展，多種先進(jìn)的算法被應(yīng)用到電機(jī)控制中［1?2］，比如滑模變結(jié)構(gòu)控制［3］、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等，這些控制方法有的實現(xiàn)復(fù)雜，有的存在抖振問題，還有待進(jìn)一步提高。自抗擾控制（以下簡稱ADRC）是近年來發(fā)展起來的新的非線性控制算法［4］，其中的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（以下簡稱ESO）能夠?qū)ο到y(tǒng)內(nèi)外擾動進(jìn)行估計補(bǔ)償，大大提高系統(tǒng)的抗擾能力，且不依賴于系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，是整個ADRC的核心。

ADRC得到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注和研究，文獻(xiàn)［5］將線性ADRC應(yīng)用在永磁電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)中，雖然解決了ADRC參數(shù)多且難整定的問題，但是轉(zhuǎn)速跟蹤和抗擾動的誤差收斂速度仍然難以令人滿意。文獻(xiàn)［4］將電流環(huán)省去，設(shè)計了二階ADRC轉(zhuǎn)速環(huán)，并采用PD＋ESO的復(fù)合型控制策略，通過仿真說明了二階ADRC具有更好的抗擾性。文獻(xiàn)［6］采用非線性比例微分作為反饋控制律，結(jié)合ESO估計補(bǔ)償擾動，實現(xiàn)了較好的誤差收斂速度和較強(qiáng)的魯棒性。文獻(xiàn)［7］將模糊控制引入自抗擾控制器，利用其自適應(yīng)推理估計了控制器參數(shù)，但是由于其算法復(fù)雜，運算量大，對處理器要求較高，實現(xiàn)起來比較困難。文獻(xiàn)［11］采用SMC＋ESO的復(fù)合型控制策略，與傳統(tǒng)SMC相比，減小了系統(tǒng)的抖振，提高了抗擾性能。

早期的ADRC由于其非線性結(jié)構(gòu)中的參數(shù)較多，整定較困難，運用并不廣泛，之后美國克利夫蘭州立大學(xué)的高志強(qiáng)教授將其中的ESO線性化，AD?RC的應(yīng)用才逐漸廣泛。但是線性化的ADRC在誤差收斂速度方面明顯弱于非線性的ADRC，因此可適度引入非線性結(jié)構(gòu)，提高誤差收斂速度。

在文獻(xiàn)［4］的基礎(chǔ)上，本文介紹了一種非線性誤差狀態(tài)反饋（以下簡稱NLESF）＋ESO的復(fù)合型控制策略，將傳統(tǒng)的線性反饋替換成更高效的非線性反饋，并保留了線性ESO參數(shù)整定較少的特點。將其應(yīng)用到伺服系統(tǒng)轉(zhuǎn)速環(huán)，利用ESO同時對轉(zhuǎn)速和擾動進(jìn)行觀測，將觀測的轉(zhuǎn)速和擾動轉(zhuǎn)矩分別作為反饋量和前饋補(bǔ)償量，再經(jīng)過NLESF輸出控制量。該復(fù)合型控制能夠兼顧系統(tǒng)的跟蹤精度和抗擾性能，使系統(tǒng)具有更快的誤差收斂速度和更強(qiáng)的抗擾性能。最后仿真驗證了該控制的有效性。

1 傳統(tǒng)轉(zhuǎn)速環(huán)線性ADRC設(shè)計

1.1 PMSM數(shù)學(xué)模型

本文的研究對象是一臺表貼式的PMSM，采用id＝0的矢量控制方式，其中d，q坐標(biāo)系下的狀態(tài)方程：

式中：id，iq分別為定子電流d，q軸分量；uq為q軸電壓分量；Rs為電機(jī)定子繞組相電阻；L為電機(jī)直交軸電感；ωe為轉(zhuǎn)子電角度；ψf為轉(zhuǎn)子磁鏈；ωm為電機(jī)機(jī)械角速度；p為極對數(shù)；J為轉(zhuǎn)動慣量；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；B為粘滯摩擦系數(shù)。

為簡化控制器的設(shè)計，將電機(jī)角速度轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)速，它們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：

將式（3）代入式（2）并進(jìn)行標(biāo)幺化處理，得：

式中：nN為電機(jī)額定轉(zhuǎn)速；KT為轉(zhuǎn)矩系數(shù)；iqN為電機(jī)額定電流為控制量，a（t）為系統(tǒng)總擾動。

取電機(jī)轉(zhuǎn)速n為狀態(tài)變量x1，系統(tǒng)總擾動擴(kuò)張為新的狀態(tài)變量x2，y為系統(tǒng)輸出，則系統(tǒng)狀態(tài)方程變?yōu)椋?/p>

1.2 二階線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計

結(jié)合ADRC理論對式（4）建立二階線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器：

式中：z1，z2分別為x1（轉(zhuǎn)速），x2（擾動）的觀測估計值。

該狀態(tài)方程的特征多項式：

按照高志強(qiáng)教授的線性參數(shù)整定方法，該多項式形式應(yīng)為（s＋ω）2才能有比較好的穩(wěn)定性和過渡過程，則：

式中：ω為觀測器帶寬；ωc為轉(zhuǎn)速環(huán)系統(tǒng)帶寬。

由式（5）、式（6）可得觀測器誤差狀態(tài)方程：

式中：β1＝2ω，β2＝ω2。經(jīng)Laplace變換得：

則由式（6）和式（10）可得各狀態(tài)觀測值：

可以看出，隨著ω的增大，觀測器收斂速度就越快。

1.3 線性狀態(tài)誤差反饋律設(shè)計

設(shè)轉(zhuǎn)速跟蹤誤差es＝n?pu－npu，求其一階導(dǎo)數(shù)得：

采用線性比例P反饋控制律得：

式中：kp為比例系數(shù)。

由式（13）、式（14）可得控制量：

其中，擾動量x2可由ESO觀測結(jié)果替換為z3，則式（15）變?yōu)?/p>

考慮到實際系統(tǒng)需要電流限幅，則控制量：

用ESO觀測得到的轉(zhuǎn)速z1代替x1作為反饋可減小系統(tǒng)噪聲。

圖1和圖2分別為傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)速一階自抗擾控制器結(jié)構(gòu)和自抗擾系統(tǒng)框圖。

圖1 轉(zhuǎn)速環(huán)線性一階自抗擾控制器結(jié)構(gòu)框圖

圖2 轉(zhuǎn)速環(huán)線性ADRC系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

由圖1知，當(dāng)kp為一定值時，由于采用線性反饋，誤差時有這樣的特點，大誤差大增益，小誤差小增益，這樣取的控制量并不合理。而在非線性反饋中，選取合適非線性函數(shù)，可以使控制量具有小誤差大增益，大誤差小增益的特點，這種控制特點可以大大提高控制效果。

2 轉(zhuǎn)速環(huán)非線性ADRC復(fù)合控制設(shè)計

2.1 非線性函數(shù)的分析

非線性函數(shù)是ADRC的重要組成部分，合適的非線性函數(shù)會使系統(tǒng)的效率有很大提高。下面分別介紹兩種非線性函數(shù)fan（e，α）和fal（e，

α，δ）。

fan（e，α）是早期ADRC使用的非線性函數(shù)，它的表達(dá)式：

分別取α＝0，0.25，0.5，1時，利用MATLAB進(jìn)行仿真，利用圖形直觀分析其特點。

由圖3可以看出，隨著α的增加，函數(shù)的非線性程度是隨之減弱的，且該函數(shù)在原點處不連續(xù)，在原點的導(dǎo)數(shù)為無窮大，因此該非線性函數(shù)在原點周圍會呈現(xiàn)出高頻抖動現(xiàn)象，基于該非線性函數(shù)設(shè)計的系統(tǒng)也會呈現(xiàn)高頻抖動，抗干擾能力欠佳。

圖3 α取不同值時的fan函數(shù)曲線

為了避免高頻抖動現(xiàn)象，將fan（e，α）函數(shù)改造成fal（e，α，δ）函數(shù)，其表達(dá)式：

可以看出，fal（e，α，δ）多了一個變量δ，為了便于分析，采用控制變量，在以下兩種情況下對該函數(shù)進(jìn)行數(shù)值仿真。取δ＝0.01保持不變，α＝0，0.25，0.5，1時，分析α值對函數(shù)性能的影響，函數(shù)圖如圖4所示。取α＝0.25保持不變，δ＝0.01，0.05，0.1，0.2時，分析δ值對函數(shù)性能的影響，函數(shù)圖如圖5所示。

圖4 α取不同值時的fal函數(shù)曲線

圖5 δ取不同值時的fal函數(shù)曲線

從上面的仿真結(jié)果中可以看出，α值的作用和fan（e，α）一樣，影響的是函數(shù)的非線性程度，α值越小，fal（e，α，δ）函數(shù)的非線性程度就越強(qiáng)，α值越大，fal（e，α，δ）函數(shù)的非線性程度就越弱。一般α的取值在0～1之間；而δ的值則是函數(shù)的線性區(qū)范圍，和誤差的范圍有關(guān)。當(dāng)δ取0時，fal（e，α，δ）函數(shù)就變?yōu)閒an（e，α）函數(shù)，因此δ的值不宜取得過小。

采用fal（e，α，δ）的非線性誤差狀態(tài)反饋率能緩解fan（e，α）帶來的高頻抖動，并且具備小誤差大增益，大誤差小增益的優(yōu)點。

2.2 非線性和線性狀態(tài)反饋抗擾性能分析

設(shè)有一階受控對象：

式中：x為狀態(tài)變量；u為控制量；a（t）為總擾動。

對它進(jìn)行線性反饋：

得閉環(huán)系統(tǒng)：

現(xiàn)取狀態(tài)反饋式（21），為了使?fàn)顟B(tài)變量x，在擾動a（x，t）的作用下，盡快收斂到零。對式（22）兩邊同乘x，得：

將線性反饋替換成非線性反饋：

此時閉環(huán)系統(tǒng)：

同線性反饋的分析得：

而實際應(yīng)用時，k＞a（x，t），0＜α＜1，那么：

1

從上面的分析可知，當(dāng)反饋增益k大于擾動a（x，t）得范圍時，非線性反饋的效率遠(yuǎn)高于線性反饋，并且α冪次越小，效率就越高；由上一節(jié)分析，為了避免高頻抖動，將非線性函數(shù)換成fal（e，

α，δ）。

2.3 非線性和線性狀態(tài)反饋跟蹤性能分析

由第一節(jié)中的式（13）、式（16）可得，線性反饋的誤差狀態(tài)方程：

則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差：

而引入非線性反饋后的控制量：

非線性反饋的誤差狀態(tài)方程：

則非線性反饋的穩(wěn)態(tài)誤差：

由式（28）、式（31）可知，非線性反饋誤差是以指數(shù)衰減，遠(yuǎn)比線性反饋快得多，且α越小，誤差衰減越快，穩(wěn)態(tài)誤差越小。

3 仿真分析

為了驗證上述所提控制方法的控制效果，在MATLAB／Simulink環(huán)境中分別搭建了傳統(tǒng)PI，P＋ESO，NLESF＋ESO三種PMSM雙閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)模型，用來進(jìn)行仿真驗證和分析。

表1列出了仿真用PMSM的主要參數(shù)，其中，仿真步長為10μs，控制周期為100μs。

表1 電機(jī)參數(shù)

為了更好地對比三種控制方法下的電機(jī)性能，控制量應(yīng)盡量保持一致。

仿真參數(shù)設(shè)置如下：額定轉(zhuǎn)速nN＝1 000 r／min，最大電流iqN＝9 A，系數(shù)b＝71.79，轉(zhuǎn)速階躍給定為1 000 r／min。電流內(nèi)環(huán)仍然采用PI控制器，d，q軸參數(shù)一樣均為Kip＝1.8，Kii＝10，限幅標(biāo)幺值為±1。設(shè)置三種控制器參數(shù)，NLESF＋ESO：α＝0.5，δ＝0.02，Kp＝68，β1＝10 000，β2＝25 000 000；P＋ESO：Kp＝80，β1＝10 000，β2＝25 000 000；PI：Kp＝1.2，Ki＝80。轉(zhuǎn)速限幅標(biāo)幺值為±1。

為了方便測量跟蹤性能和抗擾性能，分別做以下兩組仿真實驗：a）空載起動電機(jī)，在0.2 s時給定轉(zhuǎn)速1 000 r／min，觀測三種方式下的系統(tǒng)動態(tài)性能；b）空載起動電機(jī)，在0.96 s時突加5 N·m的負(fù)載，在1.2 s時卸載，觀測三種方式下的系統(tǒng)動態(tài)性能。

為了使仿真和實際更加接近，在仿真中加入死區(qū)模塊，死區(qū)時間設(shè)置為4μs。在轉(zhuǎn)矩輸出端加入濾波器，濾去紋波，方便圖形觀測對比。

圖6、圖7分別為空載時三種控制方法下的轉(zhuǎn)矩動態(tài)響應(yīng)波形和轉(zhuǎn)速動態(tài)響應(yīng)波形。

圖6、圖7可知，三種控制方法下的初始轉(zhuǎn)矩最大值基本相同，為6 N·m左右，可知三種方式的控制量也基本相同。由轉(zhuǎn)速波形分析知，傳統(tǒng)PI存在超調(diào)，超調(diào)量為19%，調(diào)節(jié)時間為170 ms；而P＋ESO和NLESF＋ESO的控制結(jié)構(gòu)下均無超調(diào)，調(diào)節(jié)時間分別為64 ms和25 ms。

由仿真結(jié)果可知，NLESF＋ESO的結(jié)構(gòu)相比于PI和P＋ESO，調(diào)節(jié)時間分別縮短85%和61%。

圖6 轉(zhuǎn)矩波形（空載）

圖7 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)波形（空載）

圖8、圖9分別為三種控制方法下加載和卸載額定轉(zhuǎn)矩5 N·m時的轉(zhuǎn)矩動態(tài)響應(yīng)波形和轉(zhuǎn)速動態(tài)響應(yīng)波形。

由圖8、圖9可知，突加負(fù)載時，傳統(tǒng)PI控制方式下的轉(zhuǎn)速下降為260 r／min，恢復(fù)時間為100 ms；P＋ESO控制方式下的轉(zhuǎn)速下降為32 r／min，恢復(fù)時間為30 ms；NLESF＋ESO的控制方法下的轉(zhuǎn)速下降為15 r／min，恢復(fù)時間為10 ms。突卸負(fù)載時，傳統(tǒng)PI控制方式下的轉(zhuǎn)速上升為290 r／min，恢復(fù)時間為100 s；P＋ESO控制方式下的轉(zhuǎn)速上升為25 r／min，恢復(fù)時間為24 ms；NLESF＋ESO的控制結(jié)構(gòu)下的轉(zhuǎn)速上升為12 r／min，恢復(fù)時間為5 ms。

由上述結(jié)果可知，加載、卸載時NLESF＋ESO的結(jié)構(gòu)相比于PI和P＋ESO，轉(zhuǎn)速跌落減少94%和53%；恢復(fù)時間分別縮短約90%和67%。由此可見，NLESF＋ESO的復(fù)合型控制策略大大提升了系統(tǒng)跟蹤精度和抗擾性能。

圖8 轉(zhuǎn)矩波形（帶載，卸載）

圖9 轉(zhuǎn)速響應(yīng)波形（帶載，卸載）

4 結(jié) 語

在PMSM控制系統(tǒng)中，傳統(tǒng)的PI控制無法兼顧跟蹤性和抗擾性，而復(fù)合型的控制策略可以有效解決這個矛盾。本文在線性ADRC的基礎(chǔ)上，引入非線性函數(shù)，搭建了NLESF＋ESO的復(fù)合型結(jié)構(gòu)，并對非線性函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行仿真分析，仿真對比了三種控制方式的性能優(yōu)劣，可以得出如下結(jié)論：

1）在線性ADRC中引入非線性反饋，能大大提升誤差收斂速度，進(jìn)一步提高了跟蹤進(jìn)度，增強(qiáng)抗擾性能。

2）fan（e，α）函數(shù)是fal（e，α，δ）在δ＝0時的特殊形式，fan（e，α）在零附近存在高頻抖動，因此fal（e，α，δ）在取δ值時，避免取值過小。