王 康，王久和，張雅靜，李 萍，陳啟麗

(北京信息科技大學(xué) 自動化學(xué)院，北京 100192)

0 引言

目前，DC-DC變換器得益于直流微網(wǎng)、電動汽車、電氣化軌道交通的發(fā)展而得到更多的應(yīng)用。Boost變換器因其具有升壓功能而被廣泛應(yīng)用于微電網(wǎng)中，并得到一些學(xué)者的關(guān)注[1-7]。由于Boost變換器是非線性被控對象，采用傳統(tǒng)的線性控制方法對其進行控制具有較大的局限性[8-9]。因此，多采用反饋線性化控制、滑模控制和PBC等非線性控制方法使Boost變換器輸出電壓在受到內(nèi)、外擾動時保持穩(wěn)定。與其他非線性控制方法相比，PBC是一種本質(zhì)的非線性控制方法，可實現(xiàn)系統(tǒng)大范圍穩(wěn)定[10-11]。該控制方法的核心思想為，在控制策略中注入合適的阻尼以控制系統(tǒng)能量漸進收斂到期望值，從而使系統(tǒng)的狀態(tài)迅速達到期望平衡點，達到快速、精確跟蹤的目的。目前，將PBC應(yīng)用于帶恒功率負載的DC-DC變換器使其輸出電壓得到穩(wěn)定控制的研究較多，且控制效果顯著[12-15]。

但是，目前對于PBC控制器參數(shù)確定方法的研究較少。文獻[16]以Buck變換器和Boost變換器為例，提出了通過Brayton-Moser (BM) 方程所表示的系統(tǒng)穩(wěn)定約束條件[17]，得到控制器參數(shù)調(diào)整范圍。該方法需要將系統(tǒng)的EL模型轉(zhuǎn)換為BM方程，所采用的穩(wěn)定約束條件比較保守，只能得到參數(shù)調(diào)整范圍的下界。文獻[18]以PBC控制的Buck變換器為研究對象，提出了一種通過數(shù)值計算確定控制器最優(yōu)參數(shù)的方法。該方法在靜態(tài)工作點處建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)，通過校正電感電流超調(diào)量得到注入阻尼值取值范圍，并基于此取值范圍將輸出電壓誤差作為優(yōu)化目標，使用遺傳算法確定最優(yōu)注入阻尼值。該方法不足之處在于使用小信號分析法來研究非線性控制問題且未考慮擾動工況對系統(tǒng)的影響。

因此，本文以基于EL模型的PBC控制的Boost變換器為例，通過增加一個能量控制外環(huán)獲得一個實時的期望電感電流，使Boost變換器在受擾工況下的輸出電壓依然保持穩(wěn)定，從而使PBC具有一定魯棒性。由于該控制器內(nèi)環(huán)有注入阻尼、外環(huán)有比例和積分系數(shù)這3個參數(shù)，它們相互影響，僅依賴經(jīng)驗無法得出最佳參數(shù)值。對此，本文提出在Boost變換器閉環(huán)系統(tǒng)中加入改進的LSINSGSA優(yōu)化控制器參數(shù)，改進算法的收斂性與最優(yōu)解集均勻分布性在原算法NSGSA基礎(chǔ)上得到進一步提升，最終取得了滿意的參數(shù)優(yōu)化效果。該方法的適用對象不只限于Boost變換器，也可推廣到其他DC-DC變換器中。

1 Boost變換器EL模型

Boost變換器主電路如圖1所示。E為直流輸入電源電壓，L為電感器電感，C為輸出電容器電容，R為負載電阻，VD為二極管，VT為開關(guān)管，u為輸入控制量，iL為一個開關(guān)周期內(nèi)流過電感器的平均電流，uC為一個開關(guān)周期內(nèi)輸出電容器兩端的平均電壓。

圖1 Boost變換器主電路Fig.1 Power circuit of boost converter

假設(shè)圖1中的元器件均為理想器件，并考慮該電路工作在連續(xù)導(dǎo)通模式，可得電路的動態(tài)方程

(1)

式中，μ為占空比。

式(1)的EL模型為

(2)

2 無源控制器設(shè)計

2.1 無源性定義

考慮一個m輸入m輸出系統(tǒng)

(3)

式中，x∈Rn為狀態(tài)，u∈Rm為輸入，y∈Rm為輸出且關(guān)于x連續(xù)，f是局部Lipschitz的。

對于系統(tǒng)(3)，若存在連續(xù)可微半正定函數(shù)H(x)，使得不等式

(4)

對?(x,u)∈Rn×Rm成立，則系統(tǒng)是無源的[19]。

下面對帶電阻負載的Boost變換器的無源性進行研究。

對于式(2)，取正定函數(shù)為

(5)

則H(x)對時間的導(dǎo)數(shù)為

(6)

由于RB為正定矩陣，由式(6)可得

(7)

當取Boost變換器的狀態(tài)變量x為輸出y時，由無源性定義可知式(2)所示的Boost變換器是無源的，可對其進行無源控制器設(shè)計。

2.2 無源控制器設(shè)計

(8)

Step1：注入阻尼Ra

(9)

Step2：能量成型

令式(9)等號右邊為零可得無源控制律

u=(J+RB)x*-Raxe,

(10)

取誤差能量存儲函數(shù)為

(11)

則H(xe)對時間的導(dǎo)數(shù)為

(12)

由式(10)可得

(13)

(14)

(15)

本文內(nèi)環(huán)采用PBC控制，可通過選取適當?shù)淖⑷胱枘嶂祦硪种破饎与A段的沖擊電流，因此無須額外的濾波裝置，易于工程實現(xiàn)。

結(jié)合式(14)和式(15)，可得改進的PBC控制器框圖如圖2所示。圖中rL、rC分別為電感器的等效電阻和輸出電容器的等效串聯(lián)電阻。

圖2 PBC控制器框圖Fig.2 PBC controller block diagram

改進的PBC控制器包含Ra1、k1和k2這3個參數(shù)，由于內(nèi)、外環(huán)控制的關(guān)系，這3個參數(shù)相互耦合，僅依賴經(jīng)驗公式法并不能得到最佳整定參數(shù)值。因此，本文對NSGSA算法進行改進，并用改進的NSGSA算法優(yōu)化PBC控制器參數(shù)。

3 無源控制器參數(shù)多目標優(yōu)化

NSGSA算法具有比非支配排序遺傳算法Ⅱ(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm，NSGAⅡ)等多目標優(yōu)化算法更快的收斂速度、更均勻的最優(yōu)解集分布[21-22]。對于含3個及以上目標函數(shù)的多目標優(yōu)化問題，NSGSA解的收斂性與均勻分布性能仍有很大的提升空間。本文基于NSGSA算法提出一種改進的NSGSA，即LSINSGSA。該算法能夠有效求解含3個及以上目標函數(shù)的多目標優(yōu)化問題。改進的NSGSA算法可顯著提升原有算法的收斂速度與最優(yōu)解集的均勻分布性能。

3.1 改進的NSGSA算法

3.1.1 改進的存檔維護策略

距離帕累托前沿較近的粒子加入到移動粒子列表中可加快其他粒子向帕累托前沿收斂的速度，因此在維護存檔長度時需要同時考慮到粒子的收斂性與分布性。而NSGSA的存檔維護策略僅依賴最優(yōu)解集均勻分布指標，這往往會刪除收斂性較好的粒子。文獻[23]考慮將粒子收斂性與分布性二者融合成為一個指標，即雙性能測度指標，對存檔長度進行維護。受文獻[23]啟發(fā)，本文提出類似的收斂性與均勻分布性融合指標，將全局損害與粒子勢能[24]的動態(tài)加權(quán)和作為粒子收斂性評價指標，將粒子的擁擠距離作為粒子均勻分布評價指標，二者比值即為平衡粒子收斂性與均勻分布性的融合指標。相關(guān)公式定義如下：

假設(shè)優(yōu)化目標個數(shù)為M，存檔中的實時粒子個數(shù)為K，則存檔中第i個粒子pi的勢能PT計算方法為

(16)

存檔中粒子pi的全局損害GD為[23]

(17)

式中，fj,m為粒子pj的第m個目標函數(shù)值。GD指標反映了粒子對全局收斂性的損害程度，GD越大表示粒子對于當前所有粒子總體收斂情況的損害程度越大。

存檔中粒子pi的收斂度CD為

(18)

式中，Tg表示第g次迭代，Th為迭代前期與后期分界標志。由CD指標計算公式可知，迭代早期更注重粒子加速向勢能低的方向運動，接近迭代后期時由于粒子已經(jīng)接近真實帕累托前沿，因此逐漸增加GD指標的權(quán)重以淘汰全局損害較大的粒子，增加粒子的收斂精度。此外，粒子的收斂度CD越小，表明粒子當前的收斂性越好，反之，則收斂性越差。

考慮到存檔中粒子在多維目標空間中均勻分布，本文采用距離粒子pi最近的S個粒子到該粒子的歐氏距離之和的平均作為粒子pi的擁擠距離，擁擠距離LD計算公式如下

(19)

上式表明，粒子的擁擠距離LD越大，則粒子在多維目標空間中越不擁擠。

平衡粒子收斂性與均勻分布性的融合指標CED為

(20)

由上式可知，當粒子的收斂度CD越小、擁擠距離LD越大，融合指標CED就越小，即表明粒子的綜合性能越優(yōu)越，在多維目標空間中越接近真實的帕累托前沿且在該空間中分布越均勻。當存檔中的粒子個數(shù)超出存檔長度時，從CED最大的粒子開始依次刪除多余的粒子對存檔進行維護。對比NSGSA算法僅依賴均勻分布性指標維護存檔，本文提出的兼顧粒子收斂性與均勻分布性的融合指標CDE在保持粒子均勻分布性的同時能夠?qū)κ諗啃暂^好的粒子進行保留，如果將其加入到移動粒子列表中，將有益于提高全局收斂速度。

3.1.2 改進的位置更新策略

NSGSA采用符號變異與坐標變異策略更新移動列表中粒子的位置，以防止粒子陷入局部最優(yōu)。但是，經(jīng)符號變異與坐標變異后的粒子可能會退化。針對該問題本文提出退步策略，即位置更新后的粒子如果被位置更新前的粒子支配，則保持該粒子當前位置為更新前的位置，否則，粒子當前位置為經(jīng)符號變異與坐標變異更新后的位置。粒子退步公式如下:

(21)

(22)

3.1.3 改進的KBEST策略

為了避免陷入局部最優(yōu)情況，NSGSA沿用GSA中的KBEST策略，即移動粒子列表中只有Kbest個粒子對其他粒子有引力作用，且Kbest是一個初始值為最大移動粒子列表長度的并隨迭代次數(shù)增加而遞減的函數(shù)，最終只有一個粒子對其他粒子有引力作用。該策略的不足在于，在最后幾次迭代中的少數(shù)Kbest粒子會破壞全局收斂程度以及非支配解的均勻分布性。對此，本文提出在迭代后期Kbest由M個極端粒子和M個最不擁擠粒子組成，以保持迭代后期最優(yōu)的全局收斂程度以及最優(yōu)的非支配解均勻分布性。Kbest表達式如下

(23)

式中，Nmov為實際的移動粒子列表個數(shù)，且Nmov不大于最大移動粒子列表個數(shù)。

3.1.4 改進的精英策略

NSGSA采取精英策略隨機選取存檔中的粒子加入到移動粒子列表中吸引其他粒子運動。為了加快全局收斂，本文提出在迭代前期將勢能小的粒子加入到移動粒子列表吸引勢能大的粒子向帕累托前沿加速靠近，后期則將勢能大的粒子加入到移動粒子列表中讓其受到極端粒子和最不擁擠粒子的吸引，加快迭代后期的全局收斂速度并提高最優(yōu)解集均勻分布水平。此外，由于陷入局部最優(yōu)的情況發(fā)生在迭代早期，為了加快后期的收斂速度，故在迭代后期對非極端粒子和非最不擁擠粒子的位置更新不采取符號變異和坐標變異策略；為了實際帕累托前沿接近理論上的帕累托前沿且獲得最優(yōu)解集分布均勻最大化，對極端粒子和最不擁擠粒子仍采取符號變異與坐標變異策略。

改進算法的操作步驟如下：

1)初始化LSINSGSA算法的迭代次數(shù)、粒子個數(shù)、存檔長度等參數(shù)，隨機初始化所有粒子的位置并將所有粒子的初始速度和加速度都設(shè)置為零，將初始位置代入到多目標函數(shù)中得到粒子的初始多目標函數(shù)值。

2)對移動粒子列表中的粒子進行非支配排序，并采用改進的融合指標維護外部存檔長度。

3)基于改進的精英策略與最不擁擠粒子選取方法更新移動粒子列表。

4)基于粒子等級計算移動粒子的適應(yīng)度值。

5)計算移動粒子的質(zhì)量，并基于改進的KBEST策略計算移動粒子受到的引力和加速度。

6)計算移動粒子的速度并基于退步策略更新移動粒子的位置，該步驟包括計算更新后粒子的多目標函數(shù)值。

7)如果當前迭代次數(shù)未達到最大迭代次數(shù)，則依次重復(fù)步驟2)～6)；否則，退出循環(huán)，返回存檔中的粒子信息。

LSINSGSA算法流程如圖3所示。

圖3 LSINSGSA算法流程圖Fig.3 Algorithm flowchart of LSINSGSA

以三維目標測試函數(shù)DTLZ2為例，對改進的NSGSA算法進行測試，并與原有的NSGSA算法、NSGAII算法比較。算法實驗平臺：Windows10操作系統(tǒng)，Intel Core i7 8700K CPU，32G內(nèi)存臺式機，采用MATLAB語言編程。算法參數(shù)設(shè)置為：三者的種群大小與外部存檔長度均為100，終止迭代次數(shù)為250次；Th=220，S=3，LSINSGSA的其他參數(shù)設(shè)置與NSGSA相同，NSGAII算法參數(shù)同文獻[25]。LSINSGSA、NSGSA、NSGAII三者在DTLZ2測試函數(shù)下的測試結(jié)果如圖4所示。

圖4 LSINSGSA、NSGSA、NSGAII的DTLZ2測試結(jié)果Fig.4 DTLZ2 test results of LSINSGSA, NSGSA, NSGAII

從圖4可知，LSINSGSA的粒子很好地收斂于帕累托最優(yōu)前沿且分布均勻，其收斂性與最優(yōu)解集均勻分布性均優(yōu)于NSGSA和NSGAII算法。因此，LSINSGSA在收斂速度得到提高的同時其最優(yōu)解的多樣性也獲得明顯地提升，實現(xiàn)了最優(yōu)解不遺漏，保證了有效求解含有3個及以上目標函數(shù)的多目標優(yōu)化問題。

3.2 多目標函數(shù)定義

為了使優(yōu)化后的參數(shù)能夠讓控制器具備所期望的良好性能，需要對多目標函數(shù)進行相應(yīng)的定義。對于DC-DC變換器的控制，主要關(guān)注其起動階段的電流與電壓的超調(diào)量、上升時間、調(diào)節(jié)時間和靜態(tài)時輸出電壓誤差與紋波大小等性能指標。

對于一個控制系統(tǒng)的性能優(yōu)劣，常用誤差積分準則來評價。目前，誤差積分準則主要有平方誤差積分準則(Integral of Squared Error，ISE)、時間乘平方誤差積分準則(Integral of Time Weighted Squared Error，ITSE)、絕對誤差積分準則(Integral Absolute Error，IAE)、時間乘絕對誤差積分準則(Integral of Time Weighted Absolute Error，ITAE)。其中，ITAE的瞬態(tài)響應(yīng)能力優(yōu)于其他誤差積分準則，可作為表征系統(tǒng)上升時間和調(diào)節(jié)時間的目標函數(shù)[26]。在一組最優(yōu)解中，輸出電壓的超調(diào)量、靜態(tài)誤差與紋波大小可統(tǒng)一由一個目標函數(shù)來表征。電流超調(diào)量由最大電感電流值函數(shù)表征。因此，可設(shè)定3個目標函數(shù)表征以上各性能指標，目標函數(shù)定義如下：

(1)ITAE

(24)

式中，D為設(shè)定的仿真時長。

(2)綜合輸出電壓的超調(diào)量、靜態(tài)誤差與紋波大小的目標函數(shù)|ΔuC|

(25)

式中，uC,i為D時間內(nèi)的實際輸出電壓，N為D時間內(nèi)總采樣點數(shù)。

(3)最大電感電流iLmax

iLmax=max{iL,i}i=1,2,…,N

，

(26)

式中，iL,i為D時間內(nèi)的實際電感電流。

因此，控制器參數(shù)多目標優(yōu)化函數(shù)為

(27)

式中，aj、bj、cj(j=1,2)為常量。

3.3 最優(yōu)參數(shù)確定

基于LSINSGSA的PBC控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化結(jié)構(gòu)如圖5所示。LSINSGSA參數(shù)見表1，主電路參數(shù)見表2。

圖5 參數(shù)優(yōu)化框圖Fig.5 Parameter optimization block diagram

表1 LSINSGSA參數(shù)表Tab.1 Parameters of LSINSGSA

表2 主電路參數(shù)表Tab.2 Parameters of power circuit

按表1及表2 所給參數(shù)，優(yōu)化控制器參數(shù)。最大迭代次數(shù)設(shè)為100，可得到一組Pareto最優(yōu)解集，如圖6所示。依據(jù)灰色關(guān)聯(lián)分析法[27]及電感電流超調(diào)量取值應(yīng)在1.5%～25.4%內(nèi)，得到部分最優(yōu)解如表3所示。

由表3可知，第2組的ITAE值最小，表明其動態(tài)響應(yīng)速度最快，但同時它的|ΔuC|值最大，表明其電壓超調(diào)最大。第1組和第2組的iLmax值相近且都較大，表明它們的電感電流超調(diào)較大，但都在合理范圍內(nèi)。相較于第1組和第2組，第3組的iLmax值較小，表明其在起動階段的電感電流超調(diào)較小。由灰色關(guān)聯(lián)分析法可知，如果某組可行方案的灰色關(guān)聯(lián)度越大，則表明該組方案的綜合實施效果最好。表3中的第1組目標函數(shù)的灰色關(guān)聯(lián)度最大，則采用該組參數(shù)的控制器其綜合控制效果最好，該結(jié)果符合上述分析。

圖6 最優(yōu)解集Fig.6 Optimal solution set

表3 最優(yōu)解列表Tab.3 Optimal solution list

4 仿真驗證

為了驗證參數(shù)優(yōu)化后的無源控制器的優(yōu)越控制性能，對表3中前三組的參數(shù)進行仿真驗證。仿真在兩種工況下進行，即工況1和工況2，其定義分別如下：

工況1：Boost變換器在輸入電壓與負載都不存在擾動情況下其輸出電壓達到期望值后，在0.3 s時刻，輸入電壓下降10%，由100 V下降為90 V；之后，在0.6 s時刻，負載電阻增加25%，由20 Ω增加至25 Ω。

工況2：Boost變換器在輸入電壓與負載都不存在擾動情況下其輸出電壓達到期望值后，在0.3 s時刻，輸入電壓上升10%，由100 V上升為110 V；之后，在0.6 s時刻，負載電阻減少25%，由20 Ω減少至15 Ω。

采用前三組參數(shù)的Boost變換器在工況1、工況2下的仿真結(jié)果分別如圖7、圖8所示。相應(yīng)工況下的各組性能指標見表4、表5，表中Δuc為各工況下各階段的期望輸出電壓與實際輸出電壓的最大值或最小值的差值，其符號“+”、“-”分別表示電壓上升或下降，ts為調(diào)節(jié)時間。

圖7 工況1下的輸出電壓與電感電流Fig.7 Output voltages and inductor currents under working condition 1

圖8 工況2下的輸出電壓與電感電流Fig.8 Output voltages and inductor currents under working condition 2

由圖7、圖8并結(jié)合表4、表5可知，在起動階段第1組的控制器的控制性能優(yōu)于其他兩組，在擾動階段第1組與第2組的抗擾能力與電壓恢復(fù)能力相近且明顯優(yōu)于第3組。同時可得，ITAE越小，系統(tǒng)受擾后的電壓恢復(fù)能力越強，但是在起動階段其輸出電壓可能會超調(diào)，這與本文3.3部分的分析一致。

表4 工況1下各組性能指標Tab.4 Performance indicators of each group under working condition 1

表5 工況2下各組性能指標Tab.5 Performance indicators of each group under working condition 2

綜上，第一組的控制器的綜合性能是最優(yōu)的，這也表明本文所提出的參數(shù)優(yōu)化方法是可行且有效的，易于從眾多可行方案中選取綜合性能最優(yōu)的方案，能夠很好地解決無源控制器參數(shù)不易整定的問題。

5 結(jié)論

本文對PBC控制器參數(shù)不易整定的問題，提出了使用改進的NSGSA算法，即LSINSGSA算法優(yōu)化控制器參數(shù)的方法。基于定義的能夠表示超調(diào)量、靜態(tài)誤差、上升時間以及調(diào)節(jié)時間的三個目標函數(shù)，在Boost變換器閉環(huán)系統(tǒng)中加入改進的LSINSGSA算法進行參數(shù)尋優(yōu)。同時，采用多種策略對NSGSA算法進行改進，進一步提高了原算法NSGSA的收斂速度與最優(yōu)解集均勻分布水平，克服原有算法不能有效求解三維及以上的多目標優(yōu)化問題。通過仿真驗證，經(jīng)LSINSGSA算法尋優(yōu)得到的控制器參數(shù)可使變換器輸出電壓在起動階段無超調(diào)、響應(yīng)快速，在穩(wěn)態(tài)階段無靜差，在擾動工況下電壓恢復(fù)能力強，驗證了本文所提出的基于改進的LSINSGSA算法優(yōu)化PBC控制器參數(shù)方法的可行性和便捷性。