鄧博團(tuán)，田江濤，蘇三慶，李 鑫，李 攀，王 勁

(1.西安科技大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，陜西 西安 710054；2.西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，陜西 西安 710055；3.西安長(zhǎng)慶科技工程有限責(zé)任公司，陜西 西安 710000)

地裂縫活動(dòng)引起地下結(jié)構(gòu)底部脫空是一種普遍現(xiàn)象.西安地裂縫分布廣、規(guī)模大[1]，地下管廊穿越地裂縫不可避免.而管廊穿越地裂縫時(shí)，管廊結(jié)構(gòu)底部脫空對(duì)管廊結(jié)構(gòu)受力變形模式起著決定作用，且對(duì)管廊建成后的運(yùn)營(yíng)造成極大的安全隱患，故對(duì)管廊結(jié)構(gòu)底部脫空范圍進(jìn)行計(jì)算研究十分必要.

隨著城市地下空間的開發(fā)和利用，許多學(xué)者對(duì)地下結(jié)構(gòu)穿越地裂縫開展了大量研究.范文等[2-6]進(jìn)行了有關(guān)地鐵隧道的模型試驗(yàn)，從不同地裂縫角度、不同隧道截面形式、不同施工方法等方面對(duì)隧道的受力變形模式、破壞模式進(jìn)行了研究，結(jié)果表明：采用不同幾何相似比、不同隧道模型材料情況下，當(dāng)?shù)亓芽p活動(dòng)量達(dá)到一定量值時(shí)，隧道結(jié)構(gòu)底部均有脫空現(xiàn)象出現(xiàn).胡志平等[7]通過管廊斜穿地裂縫模型試驗(yàn)，認(rèn)為管廊結(jié)構(gòu)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)的原因是由于脫空區(qū)范圍的剪力流合力不通過結(jié)構(gòu)截面的剪切中心造成的.門玉明等[8]在分析大量隧道過地裂縫模型試驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上，認(rèn)為地裂縫的活動(dòng)強(qiáng)度、隧道埋深、長(zhǎng)度、土與隧道的剛度比等是影響隧道底部脫空區(qū)長(zhǎng)度的主要因素，并總結(jié)了四種地鐵隧道底部脫空的計(jì)算模型.劉東燕等[9]通過將脫空區(qū)三角形范圍內(nèi)的上覆土壓力等效成一個(gè)過形心的集中力，求解箱型隧道過地裂縫的扭轉(zhuǎn)解析解.梅源[10]通過數(shù)值分析研究發(fā)現(xiàn)，地裂縫沉降量達(dá)到一定值時(shí)管廊結(jié)構(gòu)底部才出現(xiàn)脫空.王啟耀[11]利用數(shù)值模擬研究了雙艙綜合管廊結(jié)構(gòu)在地裂縫活動(dòng)下的受力變形特征，發(fā)現(xiàn)管廊結(jié)構(gòu)底部脫空區(qū)從上盤地裂縫處向上盤遠(yuǎn)端發(fā)展.以上無論是地鐵隧道還是管廊方面的研究，雖然涉及到了結(jié)構(gòu)底部產(chǎn)生脫空，但大多是定性描述和分析，缺乏對(duì)管廊結(jié)構(gòu)底部脫空區(qū)范圍的定量計(jì)算研究.

現(xiàn)有研究表明，對(duì)地下結(jié)構(gòu)進(jìn)行理論分析計(jì)算時(shí)，通常將其簡(jiǎn)化為置于彈性地基上的梁[12-15]，但在地裂縫作用下，地下管廊結(jié)構(gòu)底部出現(xiàn)脫空，這使得普通彈性地基梁理論的使用條件不再適用.彈性地基梁的使用條件是梁與地基連續(xù)接觸，可看作是無窮多次超靜定結(jié)構(gòu)，在管廊底部脫空情況下，可將管廊與地基的接觸看作有限次超靜定結(jié)構(gòu).因此，計(jì)算管廊底部脫空范圍，就是求解有限次超靜定結(jié)構(gòu)問題.

為此，基于Euler-Bernoulli-Bousslnesq模型和鏈桿法，通過建立管廊結(jié)構(gòu)穿越地裂縫的底部脫空計(jì)算模型，給出管廊結(jié)構(gòu)底部脫空區(qū)范圍的計(jì)算方法.通過與既有管廊過地裂縫模型試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證管廊結(jié)構(gòu)底部脫空區(qū)范圍的計(jì)算方法的合理性和適用性.研究成果可為地裂縫區(qū)域管廊結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供一定參考.

1 地下管廊結(jié)構(gòu)的受力特性

已有的管廊穿越地裂縫的模型試驗(yàn)結(jié)果表明[7]，在上盤沉降初期，管廊上覆荷載均勻分布，隨著上盤沉降量增加，管廊頂部接觸壓力發(fā)生改變，表現(xiàn)為上盤增大，下盤減小，說明作用于地裂縫兩側(cè)管廊上的外荷載并不會(huì)隨著地裂縫的活動(dòng)而變化，變化的是作用于管廊上的土壓力.管廊底部接觸壓力總體表現(xiàn)為上盤減小，下盤增大，管廊與下盤土層始終接觸；管廊變形主要表現(xiàn)為下盤底部受壓，上盤底部受拉，且靠近地裂縫處下盤管廊變形較大，遠(yuǎn)離地裂縫處趨近于零.而上盤管廊由于土體沉降產(chǎn)生的拖拽作用，與土體發(fā)生整體沉降，在管廊底部形成局部脫空.管廊結(jié)構(gòu)變形受力示意圖如圖1所示.

圖1 管廊結(jié)構(gòu)縱向受力圖

2 底部脫空計(jì)算模型

由管廊的受力特性可知，在管廊穿越地裂縫模型試驗(yàn)中，隨著地裂縫上盤相對(duì)下降，下盤始終與地基接觸，下盤管廊在地裂縫處變形最大，遠(yuǎn)離地裂縫變形趨近于零，因此可以將下盤土層對(duì)遠(yuǎn)離地裂縫的管廊端部約束簡(jiǎn)化為固定端.當(dāng)上盤沉降量達(dá)到一定值時(shí)，上盤管廊隨土體一起發(fā)生沉降變形，由于管廊與周圍土體變形的不協(xié)調(diào)，在上盤管廊底部形成脫空區(qū)，因此可將土層對(duì)上盤管廊端部的約束簡(jiǎn)化為定向支座，為簡(jiǎn)化計(jì)算，不考慮管廊頂部接觸壓力的變化，按上覆荷載q0計(jì)算，如圖2所示.

圖2 管廊結(jié)構(gòu)底部脫空計(jì)算模型

計(jì)算上盤管廊底部脫空范圍，由于下盤始終與地基接觸，故只考慮上盤管廊的情況.將位于地裂縫上盤的管廊簡(jiǎn)化為Bousslnesq地基中的Euler-Bernoulli梁，簡(jiǎn)稱為Euler-Bernoulli-Bousslnesq模型(EB-B模型)，用鏈桿法的原理，將上盤管廊與地基接觸的部分用n個(gè)鏈桿連接，計(jì)算模型可簡(jiǎn)化為如圖3所示，xt為管廊上盤結(jié)構(gòu)底部脫空區(qū)范圍，c為相鄰鏈桿的間距，ak為第1個(gè)鏈桿與第k個(gè)鏈桿間的間距，pn為管廊與地基相互作用力.Δ1為上盤管廊結(jié)構(gòu)端部位移，Δ2為地裂縫錯(cuò)動(dòng)量.

圖3 管廊結(jié)構(gòu)脫空簡(jiǎn)化計(jì)算圖

Δ1、Δ2有這樣的關(guān)系：一是上盤管廊結(jié)構(gòu)端部位移Δ1隨地裂縫錯(cuò)動(dòng)量Δ2的增大有增大的趨勢(shì)，二是管廊結(jié)構(gòu)本身的抗彎剛度有阻礙管廊結(jié)構(gòu)端部位移Δ1增大的趨勢(shì)，經(jīng)過查閱數(shù)學(xué)手冊(cè)可得符合Δ1、Δ2關(guān)系的函數(shù)為雙曲正切函數(shù)，經(jīng)過擬合可得符合要求的函數(shù)如圖4所示.

圖4 Δ1、Δ2函數(shù)關(guān)系曲線圖

則有

(1)

3 管廊結(jié)構(gòu)底部脫空范圍計(jì)算推導(dǎo)

在管廊結(jié)構(gòu)底部完全脫空前，管廊結(jié)構(gòu)與地基的接觸部分的相對(duì)位移為零，即任意鏈桿k處管廊結(jié)構(gòu)和地基的相對(duì)位移Δk=0.為求解Δk，將圖3所示超靜定結(jié)構(gòu)取作以B點(diǎn)為固定端的懸臂梁結(jié)構(gòu)作為基本體系，則任意鏈桿k處管廊結(jié)構(gòu)和地基的相對(duì)位移Δk由四種外荷載引起：地基反力在上盤未脫空區(qū)引起的位移Δkpi，上覆荷載在管廊結(jié)構(gòu)k點(diǎn)引起沿pk方向的撓度Δkq，上盤管廊結(jié)構(gòu)端部彎矩MC在管廊結(jié)構(gòu)k點(diǎn)引起沿pk方向的撓度ΔkMC，由上盤管廊結(jié)構(gòu)端部垂直位移Δ1在管廊結(jié)構(gòu)k點(diǎn)引起的撓度Δk1.則有

Δk=Δkpi+ΔkMC+Δkq+Δk1=0

(2)

現(xiàn)在對(duì)式(2)中各分項(xiàng)進(jìn)行求解.

①Δkpi是任一點(diǎn)i的管廊與地基相互作用力pi在k點(diǎn)地基產(chǎn)生的沉降值和在管廊k點(diǎn)作用產(chǎn)生的撓度之和.即

(3)

式(3)中：δki為pi=1時(shí)k點(diǎn)地基產(chǎn)生的沉降值yki和管廊上盤結(jié)構(gòu)k點(diǎn)產(chǎn)生的撓度vki之和，即δki=yki+vki.

求yki可以將荷載pi=1看作以i點(diǎn)為基點(diǎn)，長(zhǎng)度為c的區(qū)間上荷載集度為q=1/c的均布荷載，距k點(diǎn)r處取微段dr，微段上的荷載dp=(1/c)dr，微段荷載與基點(diǎn)i的距離為d=r-x，如圖5所示.

圖5 沉降計(jì)算模型

由集中力作用下的沉陷公式可得微段荷載作用下k點(diǎn)的相對(duì)位移為

(4)

整個(gè)荷載段在k點(diǎn)產(chǎn)生的相對(duì)位移為

(5)

求解積分得

(6)

式中，F(xiàn)ki=clnc-cln(x-c)-xlnx+xln(x-c).為便于計(jì)算，對(duì)lnc，ln(x-c)展開冪級(jí)數(shù)，假定0

求vki為上盤管廊結(jié)構(gòu)在地基反力pi=1作用下k點(diǎn)產(chǎn)生的撓度，由結(jié)構(gòu)力學(xué)撓度公式可得

(7)

則得

(8)

由式(6)、(8)可得

(9)

②求MC對(duì)上盤未脫空區(qū)管廊結(jié)構(gòu)k點(diǎn)產(chǎn)生的位移ΔkMC，可用結(jié)構(gòu)力學(xué)撓度積分公式計(jì)算得

(10)

③Δkq為上盤上覆荷載對(duì)未脫空區(qū)管廊結(jié)構(gòu)k點(diǎn)產(chǎn)生的位移，可由結(jié)構(gòu)力學(xué)撓度積分公式得

(11)

式中：MC=Rθc，θc為構(gòu)件端部相互之間的角位移；R為節(jié)點(diǎn)的連接剛度，R=E1I.

④上盤管廊結(jié)構(gòu)端部C點(diǎn)的垂直位移相對(duì)上盤管廊結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度是一個(gè)微量，故上盤管廊結(jié)構(gòu)端部C點(diǎn)的垂直位移引起未脫空區(qū)任意一點(diǎn)k的向下的垂直位移Δk1可直接使用幾何方法求解.得

(12)

綜上，將式(3)、(10)、(11)、(12)代入式(2)，得到含xt的非線性方程組.

此外，由上盤管廊結(jié)構(gòu)滿足靜力平衡條件，對(duì)B點(diǎn)取矩，則有

xtp1+(xt+a2)p2+…+(xt+ak)pk+…+(xt+

an)pn-Mq+MC=MB=θBE1I

(13)

式中：Mq為上盤管廊結(jié)構(gòu)上覆荷載對(duì)管廊結(jié)構(gòu)端部B點(diǎn)的彎矩Mq=(q0/2)l22；θB為B點(diǎn)的角位移.

同時(shí)，上盤管廊結(jié)構(gòu)端部還滿足端部約束條件：

(14)

(15)

計(jì)算管廊底部脫空范圍xt，取不同地裂縫沉降量Δ2，代入式(1)，得到Δ1，將之代入式(15)，得到θB，將θB代入式(14)，得到θC.然后通過式(2)、(13)構(gòu)建方程組，式(2)中各項(xiàng)最高次冪為四次，式中存在非線性項(xiàng)，因此很難直接得到解析解，可利用MATLAB中的相關(guān)函數(shù)將非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程，即可求解得到管廊底部脫空范圍xt的值.

4 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證管廊結(jié)構(gòu)底部脫空范圍計(jì)算方法的合理性，采用文獻(xiàn)[7]中地裂縫作用下1∶15管廊模型試驗(yàn)與本文計(jì)算模型進(jìn)行對(duì)比分析.模型試驗(yàn)基本參數(shù)如下：模型管廊長(zhǎng)5 m，管廊截面為0.56 m×0.313 m，上盤管廊長(zhǎng)度2.175 m，模型材料的彈性模量為8.41×103MPa，模型圍巖地基由雜填土、黃土、粉質(zhì)黏土分層填筑而成，重度取為18.7 kN·m-3，彈性模量取為31.08 MPa，泊松比為0.25，地裂縫最大沉降量0.08 m，上覆土1 m，允許縫寬S=30 mm，管廊結(jié)構(gòu)截面寬度D取0.56 mm.計(jì)算時(shí)鏈桿數(shù)n取30，滿足計(jì)算精度要求.由MATLAB計(jì)算得到管廊底部脫空范圍的理論計(jì)算值，如表1所示，與模型試驗(yàn)所得管廊底部脫空值進(jìn)行對(duì)比，見表2.

表1 管廊結(jié)構(gòu)底部脫空范圍的理論計(jì)算值

表2 計(jì)算值與試驗(yàn)值對(duì)比分析

由對(duì)比分析結(jié)果可知，管廊底部脫空范圍計(jì)算方法所得結(jié)果與模型試驗(yàn)結(jié)果基本一致，最大誤差不超過-18.75%.

5 結(jié)果與討論

(1)基于Euler-Bernoulli-Bousslnesq模型和鏈桿法，通過將脫空情況下的管廊轉(zhuǎn)化為有限次超靜定結(jié)構(gòu)，建立了管廊結(jié)構(gòu)穿越地裂縫的底部脫空計(jì)算模型，提出了管廊結(jié)構(gòu)底部脫空范圍的計(jì)算方法.

(2)通過與模型試驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比分析，表明計(jì)算結(jié)果和模型試驗(yàn)結(jié)果基本一致，最大誤差不超過-18.75%.說明本文提出的管廊底部脫空范圍計(jì)算方法具有一定的合理性和適用性.求解管廊底部脫空范圍后，可以通過求解有限超靜定結(jié)構(gòu)，得到不同地裂縫沉降量下管廊的彎矩剪力，為地下管廊的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供一些參考.

(3)在建立計(jì)算模型時(shí)，本文將管廊簡(jiǎn)化為Bousslnesq地基中的Euler-Bernoulli梁，只考慮了彎矩對(duì)管廊變形的影響，而忽略了剪力對(duì)其變形的影響，在后續(xù)研究中，將同時(shí)考慮彎矩和剪力對(duì)管廊變形的影響，通過對(duì)管廊在Winkler地基模型、Pasternak地基模型中簡(jiǎn)化為Timoshenko梁的情況與本文研究進(jìn)行對(duì)比分析，優(yōu)化管廊底部脫空范圍的計(jì)算方法.