李 奎，韓 冰，朱子俊，李路杰，陳 燕

（遼寧科技大學(xué)機(jī)械工程與自動化學(xué)院，遼寧鞍山 114051）

磁粒研磨作為一種先進(jìn)的精密加工工藝，磁性研磨粒子在磁場力的作用下被束縛在磁感線上，形成了具有一定剛度特性和仿形特性的“磁粒刷”使得磁粒研磨工藝具有較強(qiáng)的適應(yīng)性，適用于各種平面、曲面和空間彎管的內(nèi)外表面光整加工，在精密加工行業(yè)有著良好的應(yīng)用前景［1-7］。影響磁粒研磨加工效果的主要工藝參數(shù)為：磁場強(qiáng)度、磁極形狀、加工間隙、磨粒的磁學(xué)性能和粒徑、磨粒與工件的相對轉(zhuǎn)速、加工時(shí)間等［8-10］。其中磁場強(qiáng)度、磁極形狀、加工間隙、磨粒的磁學(xué)性能和粒徑都與磁性磨粒所受的磁場力有關(guān)［11］。

現(xiàn)有的磁性磨粒所受磁場力的理論公式較為復(fù)雜，適用于磁粒研磨加工過程中的定性分析，田錄林［12］等人利用永磁體等效電流模型，給出了圓柱形永磁極和長方形永磁極在軸線方向上的磁場解析公式，用來求解永磁鐵貼合體間的磁場力，但該解析公式僅僅適用于兩個(gè)永磁體之間，磁性磨粒為磁性材料但非永磁體，只有在磁場中被磁化后才具有永磁體的一定性質(zhì)。顧曉安［13］等人基于電磁場理論中的虛功原理和彈性力學(xué)中的應(yīng)變能密度理論，給出了磁準(zhǔn)靜態(tài)場條件下的鐵磁質(zhì)所受磁場力的數(shù)學(xué)模型，但該數(shù)學(xué)模型中忽略了鐵磁質(zhì)本身的物理性質(zhì)，不適用于磁性磨粒在非均勻磁場中受力分析。T.Shinmura［14］等人給出了磁性磨粒在磁場中所受磁場力的理論公式，磁場力的大小與磨粒體積、磁化率、磁場強(qiáng)度和磁場梯度有關(guān)，但因?yàn)榇帕Ｑ心ゼ庸r(shí)磁場為非均勻磁場，磁場空間內(nèi)磁場強(qiáng)度較為復(fù)雜，其大小和方向均隨著磁場空間內(nèi)位置的變化而變化，很難定量分析磁性磨粒所受磁場力的具體大小，同時(shí)磁性磨粒的粒徑較小、重量輕，很難對單顆磁性磨粒的磁場力進(jìn)行精確的測量。因此，簡化磁性磨粒所受磁場力的理論公式，推導(dǎo)出可定量分析磁性磨粒所受磁場力大小的數(shù)學(xué)模型以及測量出單顆磁性磨粒在磁粒研磨過程中所受的磁場力對于分析磁粒研磨加工效率和預(yù)測實(shí)驗(yàn)效果有著重大意義。

基于以上原因，本文對磁性磨粒在磁場中所受磁場力進(jìn)行理論分析，對永磁極的磁場強(qiáng)度進(jìn)行測量，通過MATLAB對磁場強(qiáng)度的實(shí)際測量值擬合出一條磁場強(qiáng)度的函數(shù)曲線，對其求導(dǎo)從而得出磁場強(qiáng)度變化率的函數(shù)曲線來代替理論公式中的磁場強(qiáng)度梯度，推得磁性磨粒所受磁場力的數(shù)學(xué)模型，簡化了理論公式，便于定量分析和數(shù)值計(jì)算。同時(shí)設(shè)計(jì)了一種單顆磁性磨粒的磁場力測量裝置，對一定體積的磁性磨粒所受磁場力進(jìn)行測量，通過體積比來求得單顆磁性磨粒所受磁場力的大小并對磁場力數(shù)學(xué)模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 磁性磨粒磁場力測量原理

圖1 為磁性磨粒磁場力測量原理圖，磁性磨粒存儲在磨粒存儲器中，磁性磨粒處于外部永磁極產(chǎn)生的非勻強(qiáng)磁場中，在外部磁場的作用下磁性磨粒會被磁化從而感生出新的磁場，感應(yīng)磁場和外部磁場重疊在一起就形成了高梯度磁場。磁性磨粒在磁場力的作用下，沿磁力線排布貼附在磨料存儲器的內(nèi)表面。永磁極放置在精密電子天平上，當(dāng)磁性磨粒的位置固定時(shí)，永磁極受到一個(gè)向上的由被磁化后的磁性磨粒所產(chǎn)生的磁場力，同時(shí)永磁極本身也受重力作用，因此在合力的作用下永磁極本身的質(zhì)量不變，但受一個(gè)向上的額外磁場力用下，顯示在精密電子天平上的質(zhì)量會減小，其減少的那部分重力就是永磁極所受到的被磁化后磁性磨粒所產(chǎn)生的磁場力。由物理學(xué)知識可知力的作用是相互的，永磁極所受到的被磁化后磁性磨粒所產(chǎn)生的磁場力和磁性磨粒所受的磁場力大小相等方向相反，所以通過測量出永磁極在精密電子天平上質(zhì)量改變的多少就能得到磨粒存儲器內(nèi)磁性磨粒所受的磁場力大小。磨粒存儲器內(nèi)部是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的球形空間，磁性磨粒是一種干燥的散體顆粒，由鐵粉和氧化鋁粉末經(jīng)燒結(jié)而成，顆粒與顆粒間間隙較小。為了方便分析本文假設(shè)磁性磨粒為均勻的球形顆粒，顆粒與顆粒間間隙為零。將磁性磨粒填滿磨粒存儲器，通過測得磨粒存儲器內(nèi)總的磁性磨粒所受磁場力，再通過單顆磁性磨粒與磨粒存儲器的體積比來得到單顆磁性磨粒在磁場中所受磁場力的大小。

圖1 測量原理Fig.1 Measuring principle

2 單顆磁性磨粒所受磁場力數(shù)學(xué)模型

2.1 受力理論分析

如圖2 所示，在永磁極產(chǎn)生的非均勻磁場中磁性磨粒受到磁力的作用。由于永磁極產(chǎn)生的磁場為非均勻磁場，在磁場的不同位置其磁場強(qiáng)度的大小和方向不同，磁場的非均勻性可用磁場梯度來表示，它表示為磁場空間內(nèi)的某點(diǎn)沿著磁場強(qiáng)度變化率最大的方向上，單位距離內(nèi)的磁場強(qiáng)度變化率，記做gradH。磁場梯度的大小為該距離上磁場強(qiáng)度變化率的最大值，方向?yàn)槠渥兓首畲蟮姆较颉?/p>

在磁場不均勻性的作用下，單顆磁性磨粒所受磁場力的表達(dá)式為［14］

式中：V 為磨粒的體積，m3；χ 為磨粒的物體比磁化率，m3·kg-1；H 為外部磁場強(qiáng)度，A·m-1；gradH 為磁場梯度，A·m-2。

將磁性磨粒視作球形，則單顆磁性磨粒所受磁場力Fm為

式中：d為磨粒的直徑，m。

磁性磨粒在磁場中所受的磁力Fm的方向是沿著磁場梯度的方向，由磁場強(qiáng)度低的點(diǎn)指向磁場強(qiáng)度高的點(diǎn)。為了簡化分析，把矢量磁力Fm在直角坐標(biāo)系中分解成X、Y、Z三個(gè)方向上的標(biāo)量。由N極的法面沿Z軸磁場強(qiáng)度逐步遞減，磁場梯度逐步減小。當(dāng)磁性磨粒的位置向N極法面接近時(shí)磁力Fm與Z軸方向上的分量Fz的夾角θ 慢慢變小，分量Fz逐漸增大，分量Fx逐漸減小，假設(shè)磨粒只在X、Z 平面內(nèi)沿Z軸運(yùn)動則分量Fy=0，分量Fx很小可忽略不計(jì)，則磁力Fm=Fz，為了簡化計(jì)算，用磁力在Z 軸上的分量Fz代替Fm，則

圖2 磁性磨粒受力Fig.2 Force of magnetic abrasive particles

由于永磁極產(chǎn)生的非均勻磁場分布復(fù)雜，在磁場空間內(nèi)不同位置處的磁場強(qiáng)度以及磁場梯度各不相同，通過特斯拉儀等儀器可以測得磁場空間內(nèi)各點(diǎn)處的磁場強(qiáng)度的大小，但磁場強(qiáng)度的方向是隨位置的變化而變化的，所以很難通過儀器設(shè)備來精準(zhǔn)測量，因此借助Ansoft Maxwell 有限元仿真軟件來獲取磁場空間內(nèi)不同位置處磁場強(qiáng)度的方向及分布。

2.2 非均勻磁場仿真模擬分析

通過Ansoft Maxwell有限元仿真軟件對圓柱形永磁極進(jìn)行磁場強(qiáng)度仿真模擬。在永磁極產(chǎn)生的非均勻磁場中，磁場強(qiáng)度的大小隨空間內(nèi)位置的變化而變化。圖3（a）為永磁極在YZ 平面上的磁場強(qiáng)度分布圖，由圖中可看出圓柱形永磁極在空氣中其磁場強(qiáng)度大小的分布。圓柱形永磁極上下兩個(gè)表面處磁場強(qiáng)度最大，沿永磁極表面向四周磁場強(qiáng)度依次減弱。在永磁極產(chǎn)生的非均勻磁場中，磁場強(qiáng)度的方向隨空間內(nèi)位置的變化而變化，如圖3（b）所示軸向充磁的圓柱形永磁極其磁場強(qiáng)度方向圖。為了方便分析和計(jì)算，取特殊位置：沿Z軸方向上的磁場強(qiáng)度，由圖可知Z 軸方向上的磁場強(qiáng)度在近距離內(nèi)方向變化較小，垂直于磁極的法面。Z 軸方向上的磁場強(qiáng)度大小隨距離的增加而減小。使用特斯拉儀測量沿Z軸方向上的磁場強(qiáng)度大小。

2.3 磁場力參數(shù)測量及數(shù)學(xué)模型

2.3.1 磨粒物體比磁化率的測量

導(dǎo)磁性是磁性磨粒的重要性能，在磁場中導(dǎo)磁性是檢驗(yàn)磁性磨粒所受磁場力大小的一種能力，磁性磨粒的導(dǎo)磁性大，在加工時(shí)所受的磁場力大，被磁化的能力較強(qiáng)使得磁性磨粒在加工區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的研磨壓力較強(qiáng)，可提高研磨加工時(shí)的效率。

如圖4 所示，選用VSM 振動樣品磁強(qiáng)計(jì)來測量磁性磨粒的磁化率。首先啟動振動樣品磁強(qiáng)計(jì)，定標(biāo)后將被測磁性磨粒樣品固定在振動頭上，通過調(diào)整電流的大小來改變磁場的大小使得被測磁性磨粒樣品磁化并達(dá)到飽和磁化狀態(tài)，依次退零且距離10個(gè)點(diǎn)記錄一次磁化強(qiáng)度值。換相后依次調(diào)至最大值距離10個(gè)點(diǎn)記錄一次磁化強(qiáng)度值且重復(fù)測量一次，得到一組磁化曲線。

如圖5 所示，通過磁性磨粒的M-H 曲線可以獲得磁性磨粒的物體比磁化率χ，χ=0.763 m3·kg-1。

2.3.2 永磁極磁場強(qiáng)度的測量

如圖6 所示，將圓柱形永磁極吸附在車床三角卡盤上，特斯拉儀的測量探頭夾持在刀架上并使之與圓柱形永磁極的軸線相對中，借助車床刀架上的滑板裝置實(shí)現(xiàn)圓柱形永磁極軸線方向上不同位置磁場強(qiáng)度的測量。距離從零開始逐次遞增，每隔0.5 mm 記錄一次磁感應(yīng)強(qiáng)度數(shù)值，根據(jù)B=μ0H 可以得到相對應(yīng)的永磁極磁場強(qiáng)度值，其中μ0為真空磁導(dǎo)率。

圖3 永磁極磁場強(qiáng)度模擬云圖Fig.3 Simulation cloud diagram of permanent magnetic pole magnetic field intensity

圖4 振動樣品磁強(qiáng)計(jì)Fig.4 Vibrating sample magnetometer

圓柱形永磁極軸線方向上不同位置的磁場強(qiáng)度大小如表1所示。

圖6 磁場強(qiáng)度測量裝置Fig.6 Magnetic field strength measuring device

2.3.3 磁場力數(shù)學(xué)模型

用MATLAB 對所測量的軸線上不同位置磁場強(qiáng)度值進(jìn)行曲線擬合，如圖7 所示。該擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式為：

式中：z為沿Z軸距離磁極法面的距離，mm。該擬合曲線的誤差平方和SSE 為0.01436，復(fù)相關(guān)系數(shù)為0.9997>0.9接近1，均方根RMSE為0.02907。

已知Z 軸上磁場強(qiáng)度的擬合曲線，便可用數(shù)值計(jì)算的方法求得Z 軸方向上的磁場強(qiáng)度梯度，從而避免了非均勻磁場中復(fù)雜空間內(nèi)磁場強(qiáng)度梯度的測量，從另一方面解決了磁場強(qiáng)度梯度難以測量的問題。通過磁場強(qiáng)度的擬合曲線可求得磁場強(qiáng)度梯度函數(shù)gradH為：

表1 測量點(diǎn)磁場強(qiáng)度值Tab.1 Magnetic field intensity value at measuring point

圖7 磁場強(qiáng)度擬合曲線Fig.7 Magnetic field intensity fitting curve

圖8 為磁場梯度函gradH 曲線圖，由圖8 可知在起始點(diǎn)0 mm 處的|gradH|值最大，隨著沿Z 軸方向上距離的增大，|gradH|逐漸減小。說明在接近磁極表面的時(shí)候，磁場強(qiáng)度變化大，單顆磁性磨粒在非均勻磁場中所受到的磁場力大，當(dāng)距離磁極表面較遠(yuǎn)時(shí)，磁場梯度慢慢減小磁場強(qiáng)度趨于穩(wěn)定，可以預(yù)測當(dāng)單顆磁性磨粒距離永磁極過遠(yuǎn)脫離非均勻磁場時(shí)，磁場強(qiáng)度和磁場梯度同時(shí)減弱至零，磁性磨粒將不受磁場力的作用。

圖8 磁場梯度曲線Fig.8 Magnetic field gradient curve

將公式（4）、（5）代入式（3）中可推得磁性磨粒在沿Z軸方向運(yùn)動中所受磁場力數(shù)學(xué)模型：

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置

圖9 為單顆磁性磨粒磁場力測量裝置，所用圓柱形永磁極為強(qiáng)磁性材料釹鐵硼（Nd-Fe-B），其直徑15 mm、高度20 mm，重41 g。螺旋千分尺量程25 mm。磨粒存儲器為SLA工藝的半透明樹脂材料3D 打印件，下端內(nèi)徑6 mm，外徑8 mm。磁性磨粒為燒結(jié)法自制，材料構(gòu)成是：鐵磁相Fe 與研磨相Al2O3其質(zhì)量比為4∶1，燒結(jié)溫度1200 ℃，燒結(jié)時(shí)間3 h。其平均粒徑為0.25 mm，粒徑誤差為±4%，總質(zhì)量為0.199 g。所用電子天平為沈陽龍騰電子有限公司生產(chǎn)的JD1000-3 精密電子天平。將圓柱形永磁極放置在精密電子天平上，磁性磨粒裝滿磨粒存儲器內(nèi)部的球形空間，磨粒存儲器的上端通過過盈配合與螺旋千分尺的螺桿連接并置于圓柱形永磁極的正上方。

圖9 磁場力測量裝置Fig.9 Magnetic field force measuring device

3.2 測量方法

將圓柱形永磁極放于精密電子天平上測得其質(zhì)量m0，通過調(diào)節(jié)支撐架上螺母的位置來調(diào)節(jié)與螺旋千分尺相連的磨粒存儲器距離圓柱形永磁極的位置，當(dāng)精密電子天平穩(wěn)定后記下示數(shù)m1，則磨粒存儲器中所有磁性磨粒所受的磁場力Fm1為：

式中：g為重力加速度，m·s-2。

單顆磁性磨粒與磨粒存儲器體積比為：

式中：k 為體積比系數(shù)；d1為單顆磁性磨粒的粒徑，mm；d2為磨粒存儲器的直徑，mm。

單顆磁性磨粒所受的磁場力F1為：

通過公式（9）可算出單顆磁性磨粒在磁場中所受的磁場力。

3.3 結(jié)果分析

依次調(diào)整磨粒存儲器與圓柱形永磁極間的間隙為1.5、3.5、5.5、7.5 和9.5 mm。可得到5 組不同位置處磨粒存儲器內(nèi)磁性磨粒所受磁場力的大小，如表2所示。

將表2 中試驗(yàn)點(diǎn)的坐標(biāo)值與其坐標(biāo)值相對應(yīng)的磁場強(qiáng)度值分別代入所推導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型公式（6）中，比較試驗(yàn)點(diǎn)的數(shù)學(xué)擬合值和實(shí)際測量值，以此來驗(yàn)證所推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。磨粒存儲器內(nèi)磁性磨粒磁場力的數(shù)學(xué)擬合值和實(shí)驗(yàn)值對比如圖10所示。

表2 不同位置處磁場力大小Tab.2 Magnetic field force at different positions

圖10 擬合值與測量值對比圖Fig.10 Comparison chart of fitted value and measured value

對比圖10可知，所取的這5個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，其擬合值與實(shí)際測量值的均方根誤差RMSE為0.01366，擬合值與實(shí)際測量值的均方根誤差小，表明擬合值與實(shí)際測量值間的偏差較小，所推導(dǎo)的磁場力數(shù)學(xué)模型具有較高的可靠性。

4 結(jié)論

（1）利用Maxwell 軟件對圓柱形永磁極進(jìn)行磁場強(qiáng)度的仿真模擬，從仿真結(jié)果可以看出：圓柱形永磁極磁場強(qiáng)度的大小在磁極表面最強(qiáng)，向四周逐漸遞減；圓柱形永磁極磁場強(qiáng)度的方向隨空間位置的變化而變化，沿磁極軸線方向上的變化較小可作為特殊位置以測量磁場強(qiáng)度。

（2）通過對永磁極軸線方向上磁場強(qiáng)度的測量，利用MATLAB對所測磁場強(qiáng)度值進(jìn)行數(shù)值擬合，建立測量間隙與磁場強(qiáng)度的數(shù)值方程，對所得數(shù)值方程進(jìn)行求導(dǎo)得出沿永磁極軸向方向上磁場強(qiáng)度梯度的數(shù)值方程，結(jié)合磁性磨粒在磁場中所受的磁場力公式，推得便于數(shù)值計(jì)算及定量分析的單顆磨粒所受磁場力數(shù)學(xué)模型。

（3）設(shè)計(jì)了一種新的單顆磁性磨粒所受磁場力測量裝置，利用精密電子天平，測得在被磁化后一定體積磁性磨粒磁場力的作用下，永磁極重量的改變量來計(jì)算一定體積磁性磨粒所受磁場力的大小，通過體積比來計(jì)算單顆磨粒所受磁場力的大小。通過實(shí)際測量一定體積磁性磨粒磁場力的大小與相同體積、相同磁場強(qiáng)度下的數(shù)學(xué)擬合值相對比，得出其均方根誤差為0.01366，驗(yàn)證了所得磁場力數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。