張 學 福

（河西學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅 張掖 734000）

在概率統(tǒng)計和工程技術(shù)中，經(jīng)常遇到下述形式的含有參數(shù)α 的廣義積分

可以證明，當α ＞0 時，該積分收斂，積分值隨α 的變化而變化，稱之為Γ 函數(shù)［1］，記作Γ(α)，即

此函數(shù)的學習和在概率統(tǒng)計及工程技術(shù)中的應(yīng)用，教學中受知識梯度和認知水平的影響，一般安排在一元函數(shù)的廣義積分計算、極坐標下二重積分的計算和概率統(tǒng)計教學中分別進行.受教學時間跨度長、知識點零散、銜接不緊密等影響，在知識掌握和應(yīng)用上顯得系統(tǒng)性不強、效果不佳.所以有必要對其性質(zhì)和重要結(jié)論以及各種應(yīng)用作以歸納總結(jié)，使其零散的教學內(nèi)容系統(tǒng)完整，分段掌握的知識能夠形成一個整體，同時展示Γ 函數(shù)在概率統(tǒng)計和工程技術(shù)中的應(yīng)用和彰顯Γ 函數(shù)計算一類反常積分方便、快捷的優(yōu)勢.

1 Γ 函數(shù)收斂性

2 Γ 函數(shù)性質(zhì)

2.1 遞推公式

Γ(α+1)=αΓ(α)(α ＞0)，由分部積分法容易得到

一般地，對任何正整數(shù)n，有

因此，Γ 函數(shù)可以看成是階乘n!的推廣.

2.2 當α →0+時，Γ(α)→+∞. （Γ 函數(shù)在α ＞0 時連續(xù)）

2.3 余元公式［2］

在Γ 函數(shù)的定義式中，令x=t2，則有

3 Γ 函數(shù)的應(yīng)用

3.1 計算反常積分

等等.

3.2 計算概率論中隨機變量分布中參數(shù)、數(shù)學期望及方差

例1 設(shè)隨機變量X 服從麥克斯韋分布［4］，其密度函數(shù)為

解 由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知

代入已知條件得

其中σ ＞0 是常數(shù)，求E(x)和D(x).

3.3 數(shù)理統(tǒng)計的幾個常用分布中的應(yīng)用

（1） χ2分布

設(shè)n 個隨機變量X1,X2,…,Xn相互獨立，且都服從標準正態(tài)分布，可以證明函數(shù)

的概率密度為以上三種分布中的概率密度所含的廣義積分都可歸結(jié)為Γ 函數(shù)的計算.