郭旭暉,姚志易,馬維軍

(寧夏大學 信息工程學院， 寧夏 銀川 750021)

近年來，遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡在組合優(yōu)化、模式識別等領(lǐng)域得到了廣泛的應用[1-3]，引起了人們的廣泛關(guān)注.由于神經(jīng)網(wǎng)絡的動力學行為常常受到隨機和時滯等因素的影響，導致系統(tǒng)失穩(wěn)或震蕩.然而在工程應用中要求網(wǎng)絡必須是穩(wěn)定的，因此對于具有時變時滯的隨機遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性研究，無論是在理論研究還是實際應用中都十分重要.很多學者對隨機遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡進行了大量研究[4-5]，然而關(guān)于其優(yōu)化問題的研究結(jié)果相對較少.到目前為止，還沒有關(guān)于具有時變時滯的隨機遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡逆最優(yōu)控制的相關(guān)研究成果.本文基于逆最優(yōu)方法和Lyapunov函數(shù)，針對一類具有時變時滯的隨機遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡模型，討論了其全局漸近穩(wěn)定性問題.

1 模型描述

考慮如下具有時變時滯的隨機遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡模型

(1)

其中,x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T∈Rn表示狀態(tài)向量，A=diag(δ1,δ2,…,δn)是一對角矩陣且δi>0,i=1,2,…,n,B=(bij)n×n和C=(cij)n×n分別表示反饋矩陣和時滯反饋矩陣，τ(t)表示時變時滯，f(x(t))=(f1(x1(t)),f2(x2(t)),…,fn(xn(t)))T∈Rn表示非線性激勵函數(shù)，E是具有適當維數(shù)的控制輸入矩陣，u(t)為控制輸入，σ(t,x(t),x(t-τ(t)))∈Rn×n表示噪聲強度函數(shù)，ω(t)∈Rn是一個n維獨立標準的Wiener過程.

假設激勵函數(shù)fj(xj(t))，時變時滯τ(t)和噪聲強度函數(shù)σ(t,x(t),x(t-τ(t)))滿足以下條件.

(A1)?x,y∈R,?kj>0,使得|fj(yj)-fj(xj)|≤kj|yj-xj|;j=1,2,…,n.

(A2)σ(t,x(t),x(t-τ(t)))是全局Lipschitz連續(xù)且滿足Tr{σ(t,x(t),x(t-τ(t)))Tσ(t,x(t),x(t-τ(t)))}≤‖M1x(t)‖2+‖M2x(t-τ(t))‖2,其中，Tr表示矩陣的跡，M1∈Rn×n和M2∈Rn×n為矩陣.

(A3)fj(0)=0;σij(t,0,0)=0;i,j=1,2,…,n.

定義[6]對于一般的隨機非線性系統(tǒng)

dx=F(x)dt+G1(x)udt+G2(x)dω,

(2)

其中,x∈Rn表示n維狀態(tài)，u∈Rp表示狀態(tài)輸入，ω∈Rq是一個獨立標準的Wiener過程.

如果存在滿足以下Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程的正最優(yōu)值函數(shù)V(x)

(3)

則

(4)

是可以最小化性能函數(shù)的最優(yōu)穩(wěn)定控制

(5)

其中,對于所有的x，q(x)≥0和R(x)≥0.

2 主要結(jié)果

在開始證明定理之前，先對Lyapunov函數(shù)進行簡單計算.

對系統(tǒng)(1)構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

(6)

由假設(A1-A4)及不等式2xy≤xTx+yTy，利用It可得

≤-δxT(t)x(t)+xT(t)Eu(t)+

(7)

選擇控制輸入如下

(8)

將(8)代入(7)可得

LV≤-δxT(t)x(t)≤0.

因此，控制輸入(8)是一個穩(wěn)定控制.

根據(jù)非線性最優(yōu)控制，將Lyapunov函數(shù)(6)作為最優(yōu)值函數(shù)代入HJB方程(3)可得

(9)

在穩(wěn)定控制輸入(8)的基礎上，定義了一個新的控制(即對控制輸入(8)進行簡單修正)，

(10)

其中,λ>2是一個常數(shù).

由(3)和(7)可得

(11)

則

xT(t)[-Ax(t)+Bf(x(t))+Cf(x(t-τ(t)))+Eu(t)]-

(12)

定理對于系統(tǒng)(1)，存在正定函數(shù)q(x)(12)和嚴格正函數(shù)R(x)(11)，使系統(tǒng)(1)通過反饋控制律

(13)

在原點達到全局逆最優(yōu)，并使性能函數(shù)最小化

(14)

因此，最優(yōu)控制律(即控制輸入)能使系統(tǒng)(1)達到全局漸近穩(wěn)定.

證明根據(jù)Lyapunov函數(shù)(6)，系統(tǒng)(1)的無窮小生成元為

(15)

將控制輸入(13)代入(15)可得

≤0,?x≠0.

(16)

系統(tǒng)(1)通過控制器(13)在x=0處達到全局漸近穩(wěn)定狀態(tài).

下面，對q(x)和R(x)進行討論.

由(12)可得

(M2x(t-τ(t)))-xT(t)[-Ax(t)+Bf(x(t))+Cf(x(t-τ(t)))+Eu(t)]-

(17)

在上述中可知，δ>0,λ>2.則q(x)是正定的和徑向無界的.

由(11)可得

(18)

如果|E|≠0，則ETE>0，R(x)>0.通過選擇q(x)(12)和R(x)(11)，LV可表示為

LV=-q(x)-uTR(x)u+(u-u*)TR(x)(u-u*).

(19)

由文獻[7]可得

(20)

根據(jù)(16)可得，最優(yōu)控制u=u*是有意義的成本函數(shù)J的最優(yōu)解.

備注1 本文通過構(gòu)造適當?shù)腖yapunov函數(shù)，給出了穩(wěn)定控制(10).由于控制器的設計與參數(shù)有很大關(guān)系，在實際應用中，當激勵函數(shù)的權(quán)值和Lipschitz系數(shù)均為常數(shù)時，通過選擇合適的參數(shù)λ，使(11)中的R(x)變?yōu)槌?shù)，則控制輸入(11)就變成了易實現(xiàn)的常數(shù)狀態(tài)反饋控制器.

備注2 在控制工程應用中，最優(yōu)系統(tǒng)具有許多良好的特性，如穩(wěn)定性、魯棒性、降低靈敏度等[8].然而一般隨機非線性系統(tǒng)(2)的HJB方程(3)的解很難求得，在很多情況下，HJB方程沒有解或不存在唯一解.因此，逆最優(yōu)方法為求解非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題提供了可能，這種方法的優(yōu)點是不需要求解HJB方程.

備注3 文獻[9]和文獻[10]中指出，逆最優(yōu)控制方法是仿生學神經(jīng)網(wǎng)絡領(lǐng)域最有效的方法之一.然而，在特定任務中優(yōu)化確切的成本函數(shù)并不總是清楚的.因此，如何設計合適的控制器使所考慮的系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)，并使系統(tǒng)的成本函數(shù)達到最優(yōu)，是研究非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與控制十分重要的課題之一.

3 結(jié)論

本文對一類具有時變時滯的隨機遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡提出了一種新的全局漸近穩(wěn)定控制方法.因為求解HJB方程十分困難，很難設計出反饋控制器來實現(xiàn)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性.本文基于Lyapunov函數(shù)和逆最優(yōu)方法，我們得到了在逆最優(yōu)控制下的具有時變時滯的隨機遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡的全局漸近穩(wěn)定控制的充分條件.此外，本文的方法也可以推廣到文獻[5]的模型.