張鈺如 高飛 王友年

(大連理工大學(xué)物理學(xué)院, 三束材料改性教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 大連 116024)

感性耦合等離子體源具有放電氣壓低、等離子體密度高、裝置結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn), 因此常被用于材料刻蝕及表面處理工藝中.為了深入了解感性耦合等離子體的特性及其與表面的相互作用, 數(shù)值模擬成為了目前人們普遍采用的研究手段之一.針對(duì)具體問(wèn)題, 可以選擇不同的模擬方法, 如整體模型、流體力學(xué)模型、流體力學(xué)/蒙特卡羅碰撞混合模型、偏壓鞘層模型、粒子模擬/蒙特卡羅碰撞混合模型等.其中, 整體模型計(jì)算效率最高, 常被用于模擬復(fù)雜的反應(yīng)性氣體放電.但整體模型無(wú)法給出各物理量的空間分布, 因此二維及三維的流體力學(xué)模型, 也得到了人們的廣泛關(guān)注.在低氣壓等極端的放電條件下, 由于電子能量分布函數(shù)顯著偏離麥?zhǔn)戏植? 則需要耦合蒙特卡羅碰撞模型, 來(lái)精確地描述等離子體內(nèi)部的動(dòng)理學(xué)行為.此外, 通過(guò)耦合偏壓鞘層模型, 還可以自洽地模擬鞘層的瞬時(shí)振蕩行為對(duì)等離子體特性的影響.對(duì)于等離子體中的非局域及非熱平衡現(xiàn)象, 則需要采用基于第一性原理的粒子模擬方法來(lái)描述.最后對(duì)目前感性耦合放電中的前沿問(wèn)題進(jìn)行了展望.

1 引 言

早在1884 年, Hittorf[1]通過(guò)激發(fā)纏繞在真空管外側(cè)的線圈, 首次觀察到感性放電, 即“無(wú)電極的環(huán)形放電”.隨著人們對(duì)感性放電認(rèn)識(shí)的不斷加深, 感性放電得到了進(jìn)一步發(fā)展.目前, 等離子體材料處理工藝中普遍采用的感性耦合等離子體(inductively coupled plasma, ICP)源, 具有如下兩種結(jié)構(gòu): 當(dāng)驅(qū)動(dòng)線圈處在一個(gè)平面內(nèi), 被置于放電腔室上方時(shí), 稱為平面線圈ICP 或盤香形線圈ICP; 當(dāng)驅(qū)動(dòng)線圈纏繞在介質(zhì)管的外側(cè)時(shí), 稱為柱狀線圈ICP[2].

在感性耦合放電過(guò)程中, 當(dāng)在線圈中通入環(huán)向電流后, 會(huì)在整個(gè)放電裝置內(nèi)部激發(fā)出交變的磁場(chǎng).根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律, 交變的磁場(chǎng)又會(huì)感應(yīng)出環(huán)向電場(chǎng).在該電場(chǎng)的作用下, 放電腔室內(nèi)部的電子被加速, 通過(guò)電離碰撞等過(guò)程產(chǎn)生等離子體, 這一放電模式被稱為感性模式(或H 模式).如果線圈中通入的電流較低時(shí), 線圈兩端存在較高的電壓降, 此時(shí)的放電主要由容性耦合產(chǎn)生的靜電場(chǎng)來(lái)維持, 這一放電模式被稱為容性模式(或E 模式).與H 模式相比, 當(dāng)放電處于E 模式時(shí), 電子密度較低, 鞘層較厚, 實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到的發(fā)光強(qiáng)度較弱.由于在感性耦合放電中存在兩種放電模式, 當(dāng)往返調(diào)節(jié)通入線圈的電流或功率時(shí), 會(huì)觀察到模式轉(zhuǎn)換[3?6], 甚至回滯現(xiàn)象[7?10].

在感性耦合放電中, 尤其是當(dāng)放電處于H 模式時(shí), 大量的電子在感性電場(chǎng)的作用下做環(huán)向運(yùn)動(dòng), 增加了與背景氣體碰撞的概率.因此, 即使在較低的氣壓下, ICP 源仍具有較高的等離子體密度.與傳統(tǒng)的容性耦合等離子體(capacitively coupled plasma, CCP)源相比, ICP 源的密度要高1—2 個(gè)量級(jí).此外, 在ICP 放電中, 功率是通過(guò)介質(zhì)窗或器壁耦合給等離子體, 即在反應(yīng)腔室內(nèi)部并不需要高壓電極, 這顯著地降低了鞘層電勢(shì)降,并有效地抑制了由于高能離子轟擊而引起的污染及介電損傷.在CCP 源的發(fā)展歷程中, 為了實(shí)現(xiàn)對(duì)離子能量和離子通量的獨(dú)立控制, 人們采用雙頻源來(lái)驅(qū)動(dòng)放電.而在ICP 源中, 同樣可以通過(guò)在放置襯底的電極上施加一個(gè)容性耦合的射頻偏壓源,來(lái)實(shí)現(xiàn)這種獨(dú)立調(diào)控[11?14].

正是由于ICP 源具有上述優(yōu)點(diǎn), 因此得到了人們?cè)絹?lái)越廣泛的關(guān)注[15,16].但在實(shí)際的等離子體材料表面處理工藝中, 放電腔室內(nèi)部類似于一個(gè)“黑匣子”, 即人們對(duì)放電過(guò)程知之甚少, 只能通過(guò)材料表面的處理結(jié)果來(lái)推測(cè)所產(chǎn)生的等離子體的特性參數(shù).的確, 等離子體放電過(guò)程是極其復(fù)雜的.首先, 在實(shí)際的工藝過(guò)程中, 普遍采用反應(yīng)性氣體(如O2, CF4, Cl2, HBr 等)或更為復(fù)雜的混合氣體放電.在反應(yīng)腔室內(nèi)部, 除了大量的電子和各種正離子外, 還可能存在多種多樣的負(fù)離子、處于激發(fā)態(tài)的粒子及中性基團(tuán)等.各種粒子的不同屬性, 使得反應(yīng)腔室內(nèi)部存在復(fù)雜的物理化學(xué)過(guò)程.除了放電氣體的組分外, 等離子體的狀態(tài)還受到多種其他外界參數(shù)的影響, 如氣體的流速、氣壓, 電源的頻率、功率, 腔室的幾何尺寸和材料屬性等.此外, 在ICP 源內(nèi)部, 各物理量的變化存在多個(gè)空間尺度和多個(gè)時(shí)間尺度, 如圖1 所示.例如, 反應(yīng)腔室的尺寸在cm 到m 的量級(jí), 而電極表面的鞘層厚度為μm 到mm 的量級(jí), 刻蝕槽的線寬則在nm 量級(jí).在時(shí)間尺度方面, 電磁場(chǎng)變化的特征時(shí)間為ns 量級(jí), 等離子體輸運(yùn)的特征時(shí)間為μs 量級(jí), 而表面化學(xué)反應(yīng)的特征時(shí)間為s 量級(jí).

面對(duì)如此復(fù)雜的等離子體源, 如果無(wú)法對(duì)其內(nèi)部的放電過(guò)程進(jìn)行深入了解, 將在很大程度上限制對(duì)材料刻蝕及表面處理機(jī)制的理解.目前, 人們普遍采用的研究方法有實(shí)驗(yàn)診斷和數(shù)值模擬.在實(shí)驗(yàn)診斷方面, 通常是在ICP 源上搭載不同的診斷系統(tǒng), 如探針、光譜、質(zhì)譜儀等, 以實(shí)現(xiàn)對(duì)等離子體各狀態(tài)參數(shù)的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè).與實(shí)驗(yàn)診斷相比, 仿真模擬具有成本低、輸出參數(shù)全面等優(yōu)點(diǎn).因此, 仿真模擬可以作為一種經(jīng)濟(jì)、高效的手段, 用來(lái)預(yù)測(cè)工藝結(jié)果、優(yōu)化工藝過(guò)程, 并為ICP 源的進(jìn)一步發(fā)展提供科學(xué)依據(jù).

圖1 多時(shí)間尺度和多空間尺度變化示意圖Fig.1.Schematic diagram of multi-scale variations.

目前, 在ICP 源的模擬研究方面, 采用的模型主要有整體模型、流體力學(xué)模型、流體/蒙特卡羅碰撞混合模型、偏壓鞘層模型和粒子模擬.本文將詳細(xì)介紹這五種模型, 以及近年來(lái)所取得的研究進(jìn)展, 并對(duì)ICP 源的下一步發(fā)展進(jìn)行展望.

2 整體模型

2.1 理論模型

整體模型, 又稱零維模型, 即在模型中不考慮各種物理量的空間維度.正是由于該模型忽略了等離子體的空間變化, 因此計(jì)算效率較高, 常被用于定性地分析等離子體狀態(tài)隨外界放電參數(shù)的演化規(guī)律, 尤其適用于復(fù)雜的混合氣體放電.

在整體模型中, 通過(guò)聯(lián)立求解各種粒子的粒子數(shù)平衡方程及能量平衡方程, 來(lái)確定各種粒子的數(shù)密度和電子溫度[17?20].其中, 第j類粒子的粒子數(shù)平衡方程為

其中nj為第j類粒子的密度.可以認(rèn)為當(dāng)放電達(dá)到穩(wěn)態(tài)后, 第j類粒子的產(chǎn)生和損失相等.粒子的產(chǎn)生途徑包括氣體的泵入體區(qū)的化學(xué)反應(yīng)和表面反應(yīng); 而粒子的損失途徑包括氣體的泵出體區(qū)的化學(xué)反應(yīng)和器壁表面的碰撞過(guò)程氣體的泵入源項(xiàng)為

其中Qin為氣體的流速,V為反應(yīng)腔室的體積.由于在實(shí)際的放電過(guò)程中, 只會(huì)泵入原料氣體, 因此泵入源項(xiàng)只出現(xiàn)在原料氣體的粒子數(shù)守恒方程中.

氣體的泵出會(huì)導(dǎo)致粒子的損失

其中Pout為出口處的氣壓.由于負(fù)離子在鞘層電場(chǎng)的約束下, 只存在于放電腔室的中心處, 因此由于氣體泵出而引起的損失只會(huì)影響中性粒子和正離子的密度.在模擬中, 通過(guò)調(diào)節(jié)Pout, 使得腔室內(nèi)部的氣壓保持恒定.

以二體反應(yīng)為例, 由于體區(qū)的碰撞而引起的第j類粒子的產(chǎn)生項(xiàng)和損失項(xiàng)分別為

其中,kV為體區(qū)碰撞反應(yīng)的速率系數(shù);n1,n2和n3分別為反應(yīng)物的數(shù)密度.例如, 當(dāng)發(fā)生電離反應(yīng)e+A→2e+A+時(shí), 電子e 及離子A+的產(chǎn)生項(xiàng)以及中性粒子A 的損失項(xiàng)為kiznenA.其中kiz為該電離反應(yīng)的速率系數(shù),ne和nA分別為電子e 和中性粒子A 的密度.當(dāng)發(fā)生吸附反應(yīng) e +B→B?時(shí), 負(fù)離子B–的產(chǎn)生項(xiàng)以及電子e 和中性粒子B 的損失項(xiàng)為kattnenB.其中katt為該吸附反應(yīng)的速率系數(shù),ne和nB分別為電子e 和中性粒子B 的密度.

第j類粒子在器壁表面的損失, 可以表示為

由于負(fù)離子被限制在放電腔室的中心處, 不會(huì)到達(dá)器壁表面而損失, 因此假設(shè)表面損失項(xiàng)僅會(huì)出現(xiàn)在中性粒子和正離子的粒子數(shù)守恒方程中.此外, 根據(jù)表面反應(yīng)的具體產(chǎn)物, 需要在相應(yīng)的粒子數(shù)守恒方程中添加表面反應(yīng)的產(chǎn)生項(xiàng)例如,當(dāng)發(fā)生表面反應(yīng) A++wall→A 時(shí), 中性粒子A 的產(chǎn)生項(xiàng)以及離子A+的損失項(xiàng)為其中為該表面反應(yīng)的速率系數(shù),nA+為離子A+的密度.

對(duì)于中性粒子和正離子來(lái)說(shuō), 器壁表面的損失系數(shù)有所不同, 因此下面分開討論.如果第j類粒子為中性粒子(下文中標(biāo)記為n), 則損失系數(shù)為

其中,Λn是中性粒子的擴(kuò)散長(zhǎng)度, 在圓柱形腔室中, 其表達(dá)式為

Dn是中性粒子的擴(kuò)散系數(shù), 其表達(dá)式為

γn是中性粒子在器壁上的復(fù)合系數(shù),是中性粒子的平均熱速度,Tn,mn和λn分別是中性粒子的溫度、質(zhì)量和平均自由程;e是單位電荷;A是反應(yīng)腔室的表面積,L和R分別是腔室的高度和半徑.

對(duì)于正離子(下文中標(biāo)記為i)而言, 其在器壁表面的損失系數(shù)為

其中uB,i是玻姆速度, 即正離子進(jìn)入鞘層的最小速度.對(duì)于電正性等離子體來(lái)說(shuō), 玻姆速度的表達(dá)式為

在電負(fù)性氣體放電中, 需要對(duì)玻姆速度進(jìn)行修正

其中,mi是正離子的質(zhì)量,αs是鞘層邊界處的負(fù)離子密度與電子密度之比,γ?=Te/T?是電子溫度Te與負(fù)離子溫度T?的比值.

Aeff,i是正離子在器壁表面的有效損失面積

其中hL,i和hR,i分別是軸向和徑向邊界處的密度與中心處的密度之比.在電正性氣體放電中

式中的第三項(xiàng)代表高氣壓條件下擴(kuò)散過(guò)程對(duì)密度分布的影響.λi是正離子的平均自由程, J1(χ01) 是一階貝塞爾函數(shù),χ01≈2.405 是零階貝塞爾函數(shù)的第一個(gè)零點(diǎn).Da,i是正離子的雙極擴(kuò)散系數(shù)

其中Di是正離子的擴(kuò)散系數(shù),γ+=Te/T+是電子溫度Te與正離子溫度T+的比值.

在電負(fù)性氣體放電中, 同樣需要做修正.對(duì)于中等電負(fù)性的情況, 等離子體由一個(gè)電負(fù)性的核心區(qū)和一個(gè)電正性的邊界區(qū)組成, 且核心區(qū)的負(fù)離子密度分布近似呈拋物線形狀.需要注意的是: 在該電正性的邊界區(qū)域內(nèi), 并非凈電荷呈電正性, 而是此處的等離子體具有“電正性”的特點(diǎn), 即等離子體由電子和正離子組成, 負(fù)離子密度近似為零.在此放電條件下, 邊界處與中心處的密度比值為

其中,η=2T+/(T++T?) ,α0是放電中心處的電負(fù)度, 即放電中心處的負(fù)離子密度與電子密度之比.當(dāng)有負(fù)離子存在時(shí), 正離子的雙極擴(kuò)散系數(shù)修正為

隨著電負(fù)性的提高, 電正性的邊界區(qū)域會(huì)逐漸消失.當(dāng)電負(fù)性進(jìn)一步提高時(shí), 負(fù)離子不再處于玻爾茲曼平衡態(tài), 即電負(fù)性核心區(qū)的離子密度分布變得平坦(此現(xiàn)象一般出現(xiàn)在氣壓較高的情況下).此時(shí), 邊界處與中心處的密度比值可進(jìn)一步表示為

當(dāng)所有離子的密度確定后, 電子密度由準(zhǔn)中性條件給出

其中qi為第i類正離子或負(fù)離子所帶電荷量.

對(duì)于功率平衡方程, 可以認(rèn)為當(dāng)放電達(dá)到穩(wěn)態(tài)后, 等離子體的吸收功率與損耗功率相等, 即

其中,Pabs表示電子從電源中吸收的能量.在ICP放電中, 如果在下電極上施加一個(gè)射頻偏壓電源,則該項(xiàng)表示線圈功率與偏壓電源功率之和.PV表示電子在體區(qū)和中性粒子發(fā)生彈性及非彈性碰撞而引起的功率損失.當(dāng)放電中存在多種中性粒子時(shí), 該項(xiàng)需要對(duì)所有的中性粒子所引起的功率損失進(jìn)行求和, 即

其中,n(l)和m(l)分別是第l類中性粒子的密度和質(zhì)量;me是電子質(zhì)量;和分別表示電子與第l類中性粒子發(fā)生彈性碰撞、電離碰撞及其他類型的非彈性碰撞的速率系數(shù);分別表示電子與第l類中性粒子發(fā)生相應(yīng)碰撞的閾值能.

方程(24)中的PW表示帶電粒子流到器壁上引起的功率損失

其中Vs表示鞘層電勢(shì), 通過(guò)器壁處的通量平衡條件來(lái)獲得.

2.2 研究進(jìn)展

如前文所述, 整體模型常被用于研究復(fù)雜混合氣體放電中的等離子體特性, 如Ar/H2[21], Ar/N2[22],Ar/Cl2[19,23], Ar/Cl2/N2[24], SF6/Ar[25], SF6/Ar/O2[26]等.Kimura 和Kasugai 假設(shè)電子服從麥克斯韋分布, 采用整體模型研究了Ar/H2[21]和Ar/N2[22]混合氣體放電中氣體組分對(duì)等離子體特性的影響, 并將模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比.如圖2 所示, 在Ar/H2放電中, 隨著H2含量的增加,離子密度顯著增加, 并在H2含量高于20%時(shí)達(dá)到飽和; 由于Ar+-H2電荷交換碰撞反應(yīng)的增強(qiáng), Ar+離子密度顯著下降.在Ar/N2放電中, 隨著Ar 含量的增加, Ar+離子密度顯著增加, 而當(dāng)Ar 含量不超過(guò)80%時(shí), N+和離子密度幾乎不隨氣體組分而改變.

圖2 (a)氣壓為20 mTorr (1 mTorr ≈ 0.133 Pa)時(shí)Ar/H2放電[21]和(b)氣壓為30 mTorr 時(shí)Ar/N2 放電[22]中的正離子密度Fig.2.Positive ion densities calculated in (a) Ar/H2 discharges at 20 mTorr and (b) Ar/N2 discharges at 30 mTorr.Reprinted from Ref.[21, 22], with the permission of AIP Publishing.

基于Cl2的等離子體常用于刻蝕工藝, 如多晶硅的刻蝕等.Thorsteinsson 和Gudmundsson[19,23]采用整體模型, 針對(duì)Ar/Cl2混合氣體, 詳細(xì)研究了連續(xù)波放電和脈沖調(diào)制射頻放電中的等離子體特性, 并討論了各種粒子的產(chǎn)生和損失過(guò)程.研究結(jié)果表明: 在連續(xù)波放電中, 隨著Ar 含量的增加,Cl2分子的解離率增加, 電負(fù)性呈比例下降; 當(dāng)Ar含量不超過(guò)70%時(shí), Cl+離子的密度隨Ar 含量的增加而增加.當(dāng)射頻源被脈沖調(diào)制時(shí), 在脈沖周期的后輝光階段, 電子密度和正離子密度迅速下降,而負(fù)離子密度則維持在較高水平.此外, 由于在實(shí)際工藝中, 粒子通量直接影響刻蝕的選擇性及各向異性, 他們還討論了時(shí)間平均的Cl 原子通量與正離子通量之比隨Ar 含量等參數(shù)的變化趨勢(shì).Chanson等[24]在Ar/Cl2混合氣體中加入N2, 并系統(tǒng)研究了N2含量對(duì)各種粒子密度的影響.研究結(jié)果表明:隨著N2含量的增加, 電子密度有所降低, 電子溫度有所升高; 電負(fù)性的變化主要依賴于氣壓.

SF6作為原料氣體, 常被用于刻蝕硅及二氧化硅等材料.Yang 等[25]采用整體模型, 系統(tǒng)研究了SF6/Ar 混合氣體中, 不同的線圈功率和氣體比率下F 原子的產(chǎn)生和損失過(guò)程.圖3 給出了當(dāng)Ar 含量為30%時(shí), 不同氣壓下F 原子的產(chǎn)生和損失速率.結(jié)果表明: F2的分解反應(yīng)是F 原子最主要的產(chǎn)生渠道, 且該反應(yīng)的速率隨著氣壓的增加, 先增加后下降; F 原子在器壁表面生成F2, 是最主要的損失機(jī)制, 且該反應(yīng)的速率也隨著氣壓先增加后下降.

圖3 SF6/Ar 放電中, 當(dāng)Ar 含量為30%時(shí), F 原子的(a)產(chǎn)生和(b)損失速率[25]Fig.3.Relative (a) creation and (b) loss reaction rates of F atoms, as a function of pressure, for Ar fraction of 30% in the SF6/Ar plasma.Reprinted with permission from Ref.[25].Copyright [2016], American Vacuum Society.

通過(guò)在混合氣體中加入O2, 產(chǎn)生的O 原子可以增強(qiáng)側(cè)壁表面的鈍化過(guò)程, 從而降低橫向刻蝕速率.Pateau 等[26]研究了SF6/O2/Ar 混合氣體放電中, O2含量的影響.研究結(jié)果表明: 在幾十mTorr(1 mTorr ≈ 0.133 Pa)的氣壓范圍內(nèi), 當(dāng)O2含量從0 增加至40%時(shí), 盡管SF6的含量有所降低,F 原子的密度卻有所增加.這主要是由于: 一方面,SF6的分解率隨O2含量而增加; 另一方面, O 原子密度的增加會(huì)增強(qiáng)其與含F(xiàn) 類自由基的碰撞, 提高F 原子的產(chǎn)生率.此外, O(3p)是最主要的氧原子, 其密度隨O2的含量而增加, 并在40% O2含量時(shí)達(dá)到最大值.

此外, 整體模型還常被用于研究某些特定的物理化學(xué)過(guò)程對(duì)等離子體特性的影響.例如, Annusova 等[27]在模型中考慮了41 個(gè)O2的振動(dòng)激發(fā)態(tài), 系統(tǒng)研究了低氣壓感性放電中的振動(dòng)激發(fā)過(guò)程.研究結(jié)果表明: 模擬得到的O2(X,v= 4—18)密度與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果符合得較好; 除了負(fù)離子和臭氧分子外, 振動(dòng)激發(fā)過(guò)程對(duì)其他粒子的密度影響較小.Le Dain 等[28]采用整體模型, 研究發(fā)現(xiàn)在C4F8放電中, 隨著線圈功率的增加, 等離子體從電負(fù)性跳變?yōu)殡娬?這是由于當(dāng)功率較高時(shí), C4F8在電子的碰撞作用下會(huì)分解成較輕的分子, 如CF2, CF 等.這些分子與電子發(fā)生碰撞電離, 生成大量電子, 因此等離子體的電負(fù)性顯著下降.

3 流體力學(xué)模型

3.1 理論模型

在整體模型中, 通常假設(shè)等離子體是均勻分布的, 因此計(jì)算效率較高.但是, 采用整體模型無(wú)法得到各物理量的空間分布信息, 因此不能夠完全滿足感性耦合等離子體源的研究需求.

流體力學(xué)模型的基本思想是: 將等離子體看成一種流體, 通過(guò)一系列的流體力學(xué)方程, 來(lái)描述等離子體中各種粒子(如電子、離子、分子、自由基和激發(fā)態(tài)粒子等)的行為.在模擬過(guò)程中, 人們感興趣的是等離子體的一些宏觀行為, 如粒子的密度、平均速度和能量密度等.這些宏觀物理量的空間分布, 可以通過(guò)求解只含有位置坐標(biāo)和時(shí)間變量的宏觀守恒方程, 即玻爾茲曼的各階矩方程來(lái)獲得.

首先, 將玻爾茲曼方程在速度空間上積分, 即可得到連續(xù)性方程.電子、離子和中性粒子的連續(xù)性方程如下所示:

其中ne,ni和nn分別表示電子、離子和中性粒子的密度,Γe為電子通量,ui和un分別為離子和中性粒子的速度.以二體反應(yīng)為例,為電子的源項(xiàng), 角標(biāo)a表示產(chǎn)生電子的碰撞反應(yīng), 如電離反應(yīng)、解吸附反應(yīng)等; 角標(biāo)b表示損失電子的碰撞反應(yīng), 如吸附反應(yīng)、復(fù)合反應(yīng)等;ka和kb表示碰撞反應(yīng)的速率系數(shù),n1,n2和n3表示反應(yīng)物的密度.同理, 離子的源項(xiàng)為中性粒子的源項(xiàng)為

將玻爾茲曼方程兩端乘以v后, 對(duì)速度積分,即可得到動(dòng)量守恒方程.對(duì)于電子來(lái)說(shuō), 由于其質(zhì)量很小, 通?？梢院雎约铀俣软?xiàng)及慣性項(xiàng).因此,電子的運(yùn)動(dòng)可以采用漂移擴(kuò)散近似來(lái)描述:

其中,νen為電子與中性粒子的彈性碰撞頻率,me和Te分別為電子的質(zhì)量和溫度,kB為玻爾茲曼常數(shù),e為單位電荷,Es為電子所受的靜電場(chǎng)力.

對(duì)于離子和中性粒子的輸運(yùn)過(guò)程, 則采用完整的動(dòng)量方程來(lái)描述:

其中,mi和mn為離子和中性粒子的質(zhì)量,?pi和?pn為離子和中性粒子的壓力梯度項(xiàng),Zi為離子所帶電荷數(shù).πn為中性粒子的黏滯壓力張量

其中η為黏滯系數(shù).當(dāng)放電氣壓較低時(shí), 通常不考慮等離子體與背景氣體的黏滯輸運(yùn)過(guò)程, 即此項(xiàng)可以忽略.Mi和Mn分別表示由于離子與中性粒子碰撞而引起的動(dòng)量轉(zhuǎn)移, 表達(dá)式分別為

其中νin為離子與中性粒子發(fā)生彈性碰撞的頻率.

其中qe為能流密度, 其表達(dá)式為

在方程(39)中,We表示電子由于碰撞過(guò)程而引起的能量損失, 表達(dá)式為

其中,εj表示電子在碰撞反應(yīng)j中的能量交換,kj表示該反應(yīng)的速率系數(shù).當(dāng)εj為正時(shí), 表示電子通過(guò)碰撞過(guò)程損失能量, 如電離反應(yīng)、激發(fā)反應(yīng)等;當(dāng)εj為負(fù)時(shí), 表示電子通過(guò)碰撞過(guò)程獲得能量, 如超彈性碰撞反應(yīng)、退激發(fā)反應(yīng)等.Pind為感應(yīng)電場(chǎng)沉積功率

其中Jθ和Eθ分別為等離子體電流和感應(yīng)電場(chǎng)的角向分量.在感性放電中, 如果考慮E 模式狀態(tài), 則還需要將等離子體電流和感性電場(chǎng)的徑向分量和軸向分量的貢獻(xiàn)包含進(jìn)來(lái).

離子和中性粒子的能量守恒方程分別為

其中,Cv,i和Cv,n分別是離子和中性粒子的熱容,Ti和Tn分別是離子和中性粒子的溫度,qi和qn分別是離子和中性粒子的能流密度,Ei和En分別是離子和中性粒子由于碰撞而損失的能量, 具體形式可參考文獻(xiàn)[29, 30].對(duì)于低氣壓放電, 由于離子和中性粒子的溫度遠(yuǎn)小于電子溫度, 因此可以采用“冷流體”近似, 即認(rèn)為離子及中性粒子的溫度與室溫相同, 從而避免求解能量守恒方程.

在放電過(guò)程中, 由于電荷分離而產(chǎn)生的靜電場(chǎng), 通過(guò)求解泊松方程獲得

其中φ為靜電勢(shì),ε0為真空中的介電常數(shù).

由線圈中變化的電流引起的電磁場(chǎng)則通過(guò)麥克斯韋方程組來(lái)描述

其中E為感應(yīng)電場(chǎng);B為感應(yīng)磁場(chǎng);μ0為真空中的磁導(dǎo)率;J為等離子體電流, 表達(dá)式為

對(duì)于上述麥克斯韋方程組, 可以采用時(shí)域有限差分進(jìn)行數(shù)值求解, 并將計(jì)算得到的感應(yīng)電場(chǎng)和等離子體電流代入方程(42), 求解沉積功率Pind.

此外, 在單頻放電中, 還可以對(duì)電磁場(chǎng)及等離子體電流做諧波近似, 即假設(shè)等離子體中的電磁場(chǎng)及等離子體電流隨時(shí)間的變化是簡(jiǎn)諧的

其中,ω為電源的圓頻率.在此假設(shè)下, 麥克斯韋方程組可以轉(zhuǎn)化為

將(51)式兩邊取旋度, 將(52)式代入, 并利用廣義歐姆定律J=σpE, 整理可得

其中c為真空中的光速;σp為電導(dǎo)率, 表達(dá)式為

通過(guò)求解方程(53), 即可獲得電場(chǎng)各分量的空間分布, 及周期平均的感應(yīng)電場(chǎng)沉積功率

需要注意的是, 上面介紹的方程, 是流體模型中包含的最基本的物理過(guò)程.當(dāng)研究特定的物理問(wèn)題時(shí), 需要根據(jù)具體的放電條件對(duì)流體模型進(jìn)行修正.

3.2 研究進(jìn)展

Kudryavtsev 和Serditov[31]采用流體模型, 研究了雙腔室ICP 源中的非局域現(xiàn)象.其中, 射頻功率施加在源區(qū), 通過(guò)電子的熱傳導(dǎo)過(guò)程傳輸?shù)綌U(kuò)散腔室.研究結(jié)果表明: 在不同的氣壓下, 電子密度的空間分布有很大不同, 如圖4 所示.當(dāng)氣壓為50 mTorr 時(shí), 放電處于局域狀態(tài), 即電子密度的最大值局域在源區(qū).這是由于當(dāng)氣壓較高時(shí), 熱傳導(dǎo)過(guò)程的特征長(zhǎng)度小于擴(kuò)散過(guò)程的特征長(zhǎng)度, 即電子主要在源區(qū)吸收能量并引起電離.當(dāng)氣壓為5 mTorr 時(shí), 熱傳導(dǎo)過(guò)程的特征長(zhǎng)度有所增加.由于熱量的快速傳遞, 電子溫度在整個(gè)放電腔室內(nèi)部的分布都比較均勻, 即源區(qū)和擴(kuò)散區(qū)的電離過(guò)程相當(dāng).此外, 由于源區(qū)尺寸較小, 由擴(kuò)散過(guò)程引起的粒子損失較多, 因此密度最大值出現(xiàn)在擴(kuò)散腔室內(nèi)部.

圖4 當(dāng)氣壓分別為(a) 50 mTorr 和(b) 5 mTorr 時(shí), 雙腔室ICP 中的電子密度分布[31]Fig.4.Two dimensional distribution of the electron density in the considered two-chamber ICP source for 50 mTorr(a) and 5 mTorr (b).Reprinted from Ref.[31], with the permission of AIP Publishing.

Sun 等[32]針對(duì)大面積平面線圈ICP 放電過(guò)程, 研究了雙頻雙線圈參數(shù)對(duì)等離子體均勻性的影響.其中, 內(nèi)側(cè)五匝線圈, 頻率在2.26—6.78 MHz范圍內(nèi)可調(diào), 外側(cè)兩匝線圈, 頻率固定為13.56 MHz.首先, 雙頻線圈的電流固定為10 A, 研究發(fā)現(xiàn)隨著內(nèi)側(cè)線圈頻率的降低, 內(nèi)側(cè)線圈附近的角向電場(chǎng)逐漸減弱, 而外側(cè)線圈附近的角向電場(chǎng)基本不變.這使得電子密度的最大值從放電中心處逐漸向徑向邊緣處轉(zhuǎn)移.當(dāng)內(nèi)側(cè)線圈頻率為3.39 MHz 時(shí), 等離子體密度的徑向均勻性最好, 如圖5 所示.當(dāng)固定內(nèi)側(cè)線圈頻率為2.26 MHz 時(shí), 隨著內(nèi)側(cè)線圈電流從6 A 增加至18 A, 內(nèi)側(cè)線圈附近的角向電場(chǎng)顯著增強(qiáng), 放電中心處的等離子體密度有所提高.等離子體密度的徑向分布從邊緣高過(guò)度為中心高,徑向均勻性在14 A 時(shí)達(dá)到最佳.

為了進(jìn)一步優(yōu)化大面積放電中等離子體的徑向均勻性和角向均勻性, Brcka[33]提出了兩種新型的多線圈驅(qū)動(dòng)的ICP 放電裝置, 如圖6 所示.其中, 圖6(a)為分布式多線圈ICP (distributed multiple ICP, DM-ICP), 即四個(gè)獨(dú)立線圈均勻地分布在介質(zhì)窗上方.圖6(b)為集成式多線圈ICP (integrated multicoil ICP, IMC-ICP), 即四個(gè)線圈疊加放置在介質(zhì)窗上方.在放電過(guò)程中, 每個(gè)線圈的電流、頻率、相位等, 均會(huì)影響腔室內(nèi)部的等離子體特性.例如在DM-ICP 放電中, 當(dāng)四個(gè)線圈同相位時(shí), 由于相鄰位置的兩個(gè)線圈內(nèi)的電流方向相反, 感應(yīng)磁場(chǎng)互相抵消, 放電過(guò)程受到抑制, 因此等離子體密度較低.而當(dāng)相鄰的線圈反相位時(shí), 相鄰線圈內(nèi)的電流方向相同, 即等離子體的產(chǎn)生過(guò)程得到增強(qiáng).

Zheng 等[34]也提出了一種新型的ICP 源裝置, 即螺線管形線圈垂直放置于真空腔室內(nèi)部, 線圈的接地端置于介質(zhì)窗上方, 如圖7 所示.與傳統(tǒng)的平面線圈ICP 源相比, 該方法可以有效地降低等離子體與線圈之間的容性耦合.例如, 在平面線圈ICP 放電中, 隨著吸收功率從0.1 W 增加至15 W, 介質(zhì)窗下方的直流鞘層電勢(shì)降的最大值從40 V 增加至100 V.這一幅值超過(guò)了介電材料的濺射能量閾值, 因此會(huì)引起介質(zhì)窗的介電損傷, 并造成等離子體的嚴(yán)重污染.而在螺線管線圈放電中, 由于線圈的接地端置于介質(zhì)窗上方, 即使當(dāng)吸收功率為15 W 時(shí), 介質(zhì)窗下方的直流鞘層電勢(shì)降的最大值僅為18 V.正是由于在螺線管線圈放電中, 介質(zhì)窗上的電勢(shì)降被有效抑制, 離子轟擊到介質(zhì)窗和腔室器壁上引起的能量損失顯著下降.因此, 在相同的吸收功率下, 螺線管線圈ICP 源可以產(chǎn)生更高密度的等離子體.

圖5 不同低頻頻率下的離子密度分布 (a) 6.78 MHz; (b) 4.52 MHz; (c) 3.39 MHz; (d) 2.26 MHz[32]Fig.5.Distributions of the ion density at different LFs: (a) 6.78 MHz; (b) 4.52 MHz; (c) 3.39 MHz; (d) 2.26 MHz.Reprinted from Ref.[32], with the permission of AIP Publishing.

圖6 (a)分布式多線圈ICP; (b)集成式多線圈ICP[33]Fig.6.(a) DM-ICP and (b) IMC-ICP source configurations.Reprinted with permission from Ref.[33].Copyright (2016) The Japan Society of Applied Physics.

圖7 螺線管線圈示意圖[34]Fig.7.Schematic diagram of the solenoid coil.Reprinted from Ref.[34], with the permission of AIP Publishing.

Jeong 等[35]采用二維流體力學(xué)模型, 研究了在脈沖調(diào)制的帶有偏壓源的感性放電中電子密度和電子溫度隨時(shí)間的演化.其中, 線圈源始終采用脈沖調(diào)制, 偏壓源狀態(tài)可選關(guān)閉、連續(xù)波或同步脈沖調(diào)制.研究結(jié)果表明: 偏壓源的狀態(tài)對(duì)體區(qū)的等離子體參數(shù)和下極板表面的離子角度分布均有影響.Agarwal 等[36]采用三維流體力學(xué)模型, 研究了非軸對(duì)稱的感性放電過(guò)程.其中, 放電由四匝分段線圈聯(lián)合驅(qū)動(dòng), 角向分塊的法拉第屏蔽被鑲嵌在介質(zhì)窗上方.研究結(jié)果表明: 線圈接地端的位置(如置于介質(zhì)窗上方或法拉第屏蔽上方), 會(huì)顯著影響放電腔室內(nèi)部的電場(chǎng)分布, 進(jìn)而改變等離子體密度的均勻性.

此外, 流體力學(xué)模擬還可以用來(lái)輔助解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.例如, Zhang 等[37]在實(shí)驗(yàn)上觀察到在O2放電中, 當(dāng)氣壓為10 mTorr 時(shí), 基片表面的懸浮電勢(shì)呈凸形分布; 當(dāng)氣壓增加為100 mTorr 時(shí), 懸浮電勢(shì)呈凹形分布.由于在Ar 放電中, 并未觀察到懸浮電勢(shì)隨氣壓的變化, 因此推測(cè)在O2放電中,懸浮電勢(shì)的分布變化是由負(fù)離子引起的.模擬結(jié)果表明: 在O2放電中, 當(dāng)氣壓較低時(shí), 負(fù)離子被雙極場(chǎng)限制在放電中心處; 隨著氣壓的升高, 等離子體電負(fù)性增強(qiáng), 雙極擴(kuò)散過(guò)程受到抑制, 正負(fù)離子密度的峰值均出現(xiàn)在線圈附近.正是由于離子的擴(kuò)散過(guò)程受到抑制, 放電中心處的正離子通量有所降低, 因此高氣壓下懸浮電勢(shì)呈凹形分布.

4 流體力學(xué)/蒙特卡羅碰撞混合模型

4.1 理論模型

在流體力學(xué)模型中, 通常假設(shè)電子服從麥克斯韋分布.然而在實(shí)際的放電過(guò)程中, 尤其是當(dāng)放電氣壓較低且電場(chǎng)較強(qiáng)時(shí), 電子能量分布函數(shù)顯著偏離麥?zhǔn)戏植? 即此時(shí)流體力學(xué)模型無(wú)法精確地描述等離子體內(nèi)部的動(dòng)理學(xué)行為.為了克服流體力學(xué)模型的上述缺陷, 流體/蒙特卡羅碰撞(Monte Carlo collision, MCC)混合模型, 受到了人們?cè)絹?lái)越廣泛的關(guān)注.所謂的混合模型, 即采用電子MCC 模塊, 描述電子與中性粒子的碰撞過(guò)程.通過(guò)統(tǒng)計(jì)碰撞后所有粒子的動(dòng)理學(xué)信息, 自恰地求解電子能量分布函數(shù), 以及相應(yīng)的反應(yīng)速率系數(shù).隨后, 將相關(guān)結(jié)果輸入到流體力學(xué)模塊中, 進(jìn)一步計(jì)算等離子體密度、電場(chǎng)等參量的時(shí)空分布.而后, 電場(chǎng)分布又被反饋到MCC 模塊中, 用于推動(dòng)粒子.兩個(gè)模塊互相迭代, 直至收斂.

在MCC 模塊中, 通常采用偽碰撞技術(shù)來(lái)處理電子與中性粒子之間的碰撞過(guò)程[38].對(duì)于能量為εi的電子, 與密度為ng的中性粒子發(fā)生第j種碰撞的頻率為

其中σi,j為第j種碰撞在能量為εi時(shí)對(duì)應(yīng)的碰撞截面.假設(shè)在模型中, 考慮的碰撞類型共有Ntype種,則能量為εi的電子的總碰撞頻率為

最大碰撞頻率為

隨后, 對(duì)于能量為εi的電子, 產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)R(0 ≤R≤1), 并由此判斷即將發(fā)生的碰撞類型

如果電子發(fā)生偽碰撞, 則它的能量和速度均不會(huì)改變.如果電子發(fā)生彈性碰撞, 則根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律, 碰撞后電子的速度可由相關(guān)公式確定[39,40].如果電子發(fā)生激發(fā)碰撞或電離碰撞, 還需要考慮碰撞過(guò)程中電子損失的能量, 以及電離過(guò)程中新產(chǎn)生電子的能量分配.

此外, 電子在電磁場(chǎng)的作用下, 運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)發(fā)生改變, 因此可依據(jù)牛頓方程對(duì)電子的位置和速度進(jìn)行更新.為了提高程序的運(yùn)算效率, 還可以采用不等時(shí)間步長(zhǎng)等方法[41,42].

當(dāng)MCC 模塊運(yùn)行一定周期后, 通過(guò)統(tǒng)計(jì)一個(gè)周期內(nèi)不同時(shí)刻的所有電子的速度和位置信息, 可以得到時(shí)空分辨的電子能量分布函數(shù)f(ε,r,t).第j類碰撞反應(yīng)的系數(shù)kj(r,t) 可通過(guò)對(duì)相應(yīng)的碰撞截面σj(ε) 積分獲得

隨后, 該反應(yīng)系數(shù)被輸入到流體力學(xué)模塊中, 用于求解連續(xù)性方程中的源項(xiàng).

4.2 研究進(jìn)展

Kushner 教授是混合模擬領(lǐng)域的領(lǐng)軍人物,其團(tuán)隊(duì)開發(fā)的HPEM (hybrid plasma equipment model)包含多個(gè)模塊, 可用于模擬等離子體放電中的多種物理過(guò)程.在等離子體處理工藝中, 電子能量分布函數(shù)(electron energy distribution function, EEDF)至關(guān)重要, 直接決定了電子碰撞反應(yīng)的源項(xiàng), 以及晶圓表面各種活性粒子的通量.因此,Logue 和Kushner[43]采用HPEM 模型, 系統(tǒng)研究了在Ar/N2脈沖調(diào)制射頻感性耦合等離子體中,外界放電參數(shù)對(duì)EEDF 的調(diào)控.研究結(jié)果表明: 在脈沖周期的不同時(shí)刻, EEDF 呈現(xiàn)出不同的分布,但脈沖占空比不會(huì)對(duì)周期平均的EEDF 及電子碰撞反應(yīng)源項(xiàng)產(chǎn)生顯著影響, 如圖8 所示.此外, 氣壓對(duì)EEDF 的調(diào)控十分顯著: 隨著氣壓的增加, 電子能量弛豫距離縮短, 電子密度增加, 電磁波的趨膚深度減小, 這使得趨膚層外部EEDF 的高能尾顯著下降, 且不同軸向位置處的EEDF 差異變得明顯.

圖8 氣壓為50 mTorr 時(shí), 不同軸向位置處周期平均的EEDF[43]Fig.8.Pulse averaged f (ε) at different heights at 50 mTorr.Reprinted from Ref.[43], with the permission of AIP Publishing.

Tinck 和Bogaerts[44]采用HPEM 模型, 研究了復(fù)雜混合氣體CF4/CHF3/H2/Cl2/O2/HBr 中的化學(xué)反應(yīng)過(guò)程.在他們的模型中, 包含了30 種帶電粒子、35 種中性粒子, 以及約600 個(gè)反應(yīng).通過(guò)改變每種氣體的占比, 詳細(xì)研究了等離子體特性隨氣體組分的變化.研究結(jié)果表明: 隨著CF4含量的增加, F 原子密度增加, O 原子密度下降, 這使得刻蝕速率有所增加.隨著H2含量的增加, H+,和離子密度顯著增加.但由于這些離子質(zhì)量較輕、濺射產(chǎn)額較低, 因此整體而言, 濺射過(guò)程被抑制.隨著Cl2含量的增加, Cl 原子密度顯著增加.盡管F 原子活性更高, 但由于Cl 原子通量比F 原子高幾個(gè)量級(jí), Cl 原子成為最主要的刻蝕粒子.隨著HBr含量的增加, Cl 原子和F 原子的含量均有所降低, 這使得化學(xué)刻蝕過(guò)程有所減弱.同時(shí),由于HBr+和Br+離子密度的增加, 濺射速率有所上升.

最近, Qu 等[45]采用HPEM 模型研究了脈沖調(diào)制射頻Ar/Cl2感性放電中的等離子體特性.在后輝光階段, 脈沖不徹底關(guān)閉, 即此時(shí)采用較低功率維持放電.采用這種高低功率交替放電的好處是, 避免后輝光階段過(guò)低的密度引起的不穩(wěn)定性,并縮短下一脈沖周期的起輝時(shí)間.研究結(jié)果表明: 當(dāng)放電從低功率向高功率轉(zhuǎn)換時(shí), 趨膚層內(nèi)(高度為11 cm 處)的電子溫度會(huì)出現(xiàn)一個(gè)峰值;而當(dāng)放電從高功率向低功率轉(zhuǎn)換時(shí), 趨膚層內(nèi)的電子溫度會(huì)出現(xiàn)一個(gè)谷值.隨著高低功率轉(zhuǎn)換所對(duì)應(yīng)的上升沿和下降沿時(shí)間的延長(zhǎng), 電子溫度這一峰值和谷值會(huì)逐漸消失.此外, 隨著低功率幅值的增加,電子溫度這一峰值和谷值也會(huì)逐漸減弱.

在刻蝕過(guò)程中, 除了離子和自由基外, 光子也起著至關(guān)重要的作用, 例如光子會(huì)增強(qiáng)刻蝕過(guò)程中的協(xié)同反應(yīng)、對(duì)low-k材料造成損傷等.基于此,Tian 和Kushner[46]采用HPEM 模型, 研究了在Ar/Cl2混合氣體中等離子體特性及真空紫外光子隨放電參數(shù)的改變.研究結(jié)果表明: 隨著氣壓從10 mTorr 增加為100 mTorr, 體平均的電子密度下降, Cl–密度先上升后趨于飽和; Cl+密度顯著下降,密度顯著上升, 成為最主要的正離子; 由Ar(1s4)和Ar(1s2)輻射的光子密度有所下降, 而由Cl(3p44s)輻射的光子密度顯著增加; 轟擊到基片表面的光子通量逐漸超過(guò)總的離子通量.此外,材料表面Cl 原子的復(fù)合系數(shù)以及混合氣體中Cl2的含量, 均對(duì)光子通量有著顯著影響.

此外, Zhao 和Wang[47]采用自己開發(fā)的二維混合模型, 研究了Ar 感性放電中亞穩(wěn)態(tài)原子對(duì)模式跳變及回滯過(guò)程的影響.研究結(jié)果表明: 亞穩(wěn)態(tài)原子的存在會(huì)提高等離子體密度, 但并不會(huì)影響密度隨功率的變化趨勢(shì).此外, 亞穩(wěn)態(tài)原子對(duì)E 模式和H 模式下的EEDF 影響不大, 由此推測(cè)亞穩(wěn)態(tài)可能不是回滯發(fā)生的決定性因素.

Xu 等[48]在此模型的基礎(chǔ)上, 耦合等效回路模型, 研究了外部因素(如匹配網(wǎng)絡(luò))對(duì)H2放電中回滯現(xiàn)象的影響.在等效回路模型中, 各電路元件的值由電子密度、電子溫度、碰撞頻率以及空間電磁場(chǎng)等參數(shù)計(jì)算求得.研究結(jié)果表明: 當(dāng)氣壓為20 mTorr 時(shí), 通過(guò)往返調(diào)節(jié)串聯(lián)電容, 等離子體各狀態(tài)參量, 如密度、溫度等, 均發(fā)生明顯的跳變, 但沒有觀察到回滯現(xiàn)象.而當(dāng)氣壓升高至100 mTorr時(shí), 通過(guò)往返調(diào)節(jié)串聯(lián)電容, 發(fā)現(xiàn)了明顯的回滯環(huán),如圖9 所示.

圖9 不同氣壓下, 電子密度隨串聯(lián)電容的演化[48]Fig.9.Electron density ne versus the matching capacitance C 1.Reprinted with permission from Ref.[48].

5 偏壓鞘層模型

5.1 理論模型

盡管在ICP 源中, 放電主要靠感性電場(chǎng)維持,在某些放電條件下, 例如當(dāng)在基片臺(tái)上施加一個(gè)射頻偏壓源時(shí), 鞘層特性也會(huì)對(duì)放電過(guò)程產(chǎn)生顯著影響.因此, 需要采用獨(dú)立的偏壓鞘層模型, 來(lái)精確地描述鞘層的瞬時(shí)振蕩行為[49].

由于鞘層的厚度遠(yuǎn)小于極板半徑, 可以近似采用一維的鞘層模型.在鞘層中, 正離子的密度n+和速度u+采用連續(xù)性方程來(lái)描述

其中,e為單位電荷,Z+為正離子所帶電荷數(shù),m+為正離子的質(zhì)量,p+為正離子的壓力,M+為正離子與中性粒子碰撞而引起的動(dòng)量轉(zhuǎn)移.V為鞘層內(nèi)的電勢(shì), 通過(guò)求解泊松方程來(lái)獲得

其中,ε0為真空中的介電常數(shù),Z+和Z?分別為正離子和負(fù)離子所帶電荷數(shù).負(fù)離子密度n?和電子密度ne滿足玻爾茲曼分布

其中,n?0,ne0和Vp分別為等離子體和鞘層交界處的負(fù)離子密度、電子密度和等離子體電勢(shì),T?和Te分別為負(fù)離子溫度和電子溫度,kB為玻爾茲曼常數(shù).

如果在極板上施加一個(gè)電流偏壓源, 則根據(jù)電流平衡方程, 有

其中,I0和ω分別是偏壓源的電流幅值及圓頻率,Ii和Ie分別代表離子流和電子流.Id為位移電流,表達(dá)式為

式中Cs為鞘層等效電容, 表達(dá)式為

其中A為極板面積,ds為鞘層厚度.通過(guò)求解上述電流平衡方程, 可以得到極板表面的瞬時(shí)電勢(shì)Ve.

需要注意的是, 上述偏壓鞘層模型需要與相應(yīng)的等離子體模型進(jìn)行耦合, 來(lái)描述帶有偏壓源的感性放電過(guò)程.此外, 該偏壓鞘層模型還可以與離子MCC 模型進(jìn)行耦合, 用于模擬轟擊到基片表面的離子能量角度分布.首先, 將偏壓鞘層模型中計(jì)算得到的鞘層內(nèi)的電場(chǎng)等參數(shù)傳遞給離子MCC 模型.然后, 在離子MCC 模型中, 離子經(jīng)歷碰撞, 并且在電場(chǎng)的作用下, 其運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)發(fā)生改變.最后,通過(guò)統(tǒng)計(jì)到達(dá)基片表面的離子信息, 獲得離子的能量角度分布.

5.2 研究進(jìn)展

Zhang 等[50]將偏壓鞘層模型與二維流體力學(xué)模型耦合, 系統(tǒng)研究了帶有偏壓源的感性放電過(guò)程, 重點(diǎn)關(guān)注了在不同的線圈電流下, 偏壓源對(duì)等離子體特性的影響.研究結(jié)果表明: 當(dāng)線圈電流較低時(shí), 等離子體密度隨著偏壓幅值的增加而增加;而當(dāng)線圈電流較高時(shí), 等離子體密度隨著偏壓幅值呈現(xiàn)先下降后上升的趨勢(shì).此外, 通過(guò)電離率的時(shí)空分布也可以清楚地觀察到放電模式隨偏壓幅值的改變.圖10 給出了當(dāng)線圈電流為11 A, 頻率為13.56 MHz, 偏壓源頻率為2 MHz 時(shí), 不同偏壓幅值下電離率的時(shí)空分布.研究結(jié)果表明: 當(dāng)偏壓幅值為60 V 時(shí), 環(huán)向電流激發(fā)的感性電場(chǎng)對(duì)放電起主導(dǎo)作用, 因此電離率的峰值出現(xiàn)在介質(zhì)窗下方;隨著偏壓幅值的增加, 偏壓源的影響變得重要, 電離率的時(shí)空分布受到顯著影響, 即電離率的峰值出現(xiàn)在下極板附近偏壓鞘層擴(kuò)張的相位.

圖10 不同偏壓幅值下, r = 7 cm 處電離率的時(shí)空分布[50]Fig.10.Spatiotemporal distributions of the ionization rate at r = 7 cm at different bias voltages.Reprinted with permission from Ref.[50].Copyright [2015], American Vacuum Society.

Wen 等[51]將偏壓鞘層模型與整體模型和離子MCC 模型耦合, 研究了不同放電條件下的離子能量角度分布, 并與實(shí)驗(yàn)診斷結(jié)果進(jìn)行了比較.研究結(jié)果表明: 當(dāng)偏壓源的頻率由0.6 MHz 增加為13.56 MHz 時(shí), 高能峰和低能峰之間的能量間隔減小, 如圖11 所示.這是因?yàn)楫?dāng)偏壓源的頻率較低時(shí), 離子的渡越時(shí)間小于射頻周期, 即離子能量受到離子進(jìn)入鞘層時(shí)的相位的影響.當(dāng)偏壓源的頻率較高時(shí), 隨著偏壓的增加, 離子能量分布由單峰變成雙峰, 且雙峰的間隔變寬.這是由于隨著偏壓的增加, 鞘層電壓降增加, 離子渡越鞘層的時(shí)間變短.

圖11 不同偏壓頻率及幅值下的離子能量角度分布[51]Fig.11.IEADFs versus RF bias frequencies and amplitudes.Reprinted from Ref.[51], with the permission of IOP Publishing.

6 粒子模擬/蒙特卡羅碰撞混合模型

6.1 理論模型

上文中介紹的模型, 均是建立在一定的假設(shè)之上.如果要對(duì)等離子體放電過(guò)程進(jìn)行更為精確的模擬, 尤其是描述其中的非局域、非熱平衡現(xiàn)象, 則需要采用粒子模擬/蒙特卡羅碰撞(particle-incell/Monte Carlo collision, PIC/MCC)混合模型.PIC/MCC 模型是基于第一性原理的動(dòng)理學(xué)方法, 并且不存在數(shù)值耗散問(wèn)題, 因此模擬結(jié)果較為可靠.

在PIC/MCC 模型中, 通常假設(shè)中性粒子的分布是均勻的, 而帶電粒子的特性則通過(guò)追蹤大量的宏粒子來(lái)獲得[52,53].其中, 每個(gè)宏粒子可以代表103—109個(gè)真實(shí)粒子, 荷質(zhì)比與真實(shí)粒子相同.為了減少離散粒子的數(shù)值噪聲, 通常要求每個(gè)空間網(wǎng)格內(nèi)的宏粒子數(shù)目要遠(yuǎn)大于1.在模擬過(guò)程中, 首先需要根據(jù)每個(gè)宏粒子的坐標(biāo), 將其信息分配到臨近的格點(diǎn)上, 以獲得放電腔室內(nèi)部的電荷及電流分布.例如, 格點(diǎn) (xi,yj) 處的電荷密度為

其中,qp表示位于 (xp,yp) 處的宏粒子所帶電荷量,S(xp,yp,xi,yj)表示權(quán)重函數(shù).需要注意的是, 該權(quán)重函數(shù)的形式不是唯一的, 但需要滿足歸一化條件.以二維直角坐標(biāo)系為例, 假設(shè)宏粒子的坐標(biāo)位于xi

在獲得放電腔室內(nèi)部的電荷及電流密度分布后, 通過(guò)求解麥克斯韋方程組, 可以得到每個(gè)格點(diǎn)處的電場(chǎng)E(xi,yj) 及磁場(chǎng)B(xi,yj).然后采用相同的權(quán)重函數(shù), 將格點(diǎn)處的電磁場(chǎng)再次分配到宏粒子所在位置.隨后, 宏粒子在電磁場(chǎng)的作用下運(yùn)動(dòng)

其中m和q表示粒子的質(zhì)量和所帶電荷量,v和x表示粒子的速度和位置.

為了處理帶電粒子與中性粒子之間的碰撞過(guò)程, 還需要將上述PIC 模型與MCC 模型耦合[38,54].與第4 節(jié)介紹的模型相比, 本節(jié)采用的MCC 模型中, 還需要考慮離子與中性粒子的碰撞過(guò)程.其中,離子與中性粒子之間的彈性碰撞和電荷交換碰撞,可以采用硬球模型來(lái)描述[39].在分子氣體及電負(fù)性氣體放電中, 由于涉及到的碰撞過(guò)程更為復(fù)雜,需要根據(jù)具體的反應(yīng)類型選擇不同的處理方式.

需要注意的是, 為了提高程序的穩(wěn)定性, PIC/MCC 模型需要采用非常小的時(shí)間步長(zhǎng)和空間網(wǎng)格, 這使得該方法十分耗時(shí).此外, PIC/MCC 模型通常只能采用規(guī)則網(wǎng)格, 即只能模擬簡(jiǎn)單的放電腔室結(jié)構(gòu), 這在一定程度上限制了PIC/MCC 模型的應(yīng)用.

6.2 研究進(jìn)展

由于ICP 源中的等離子體密度比CCP 源高1—2 個(gè)量級(jí), 為了保證模擬結(jié)果的精確性, PIC/MCC 模型中的宏粒子數(shù)目也需要按比例增加, 這使得計(jì)算效率進(jìn)一步下降.因此, 針對(duì)ICP 源的PIC/MCC 模擬研究工作十分有限.

Takao 等[55,56]采用二維的PIC/MCC 模型,研究了微型ICP 源的特性及放電過(guò)程中的容性耦合效應(yīng).在他們的研究中, 腔室的半徑和高度均在mm 量級(jí), 線圈頻率高于100 MHz, 吸收功率僅為幾瓦甚至幾十毫瓦.研究結(jié)果表明: 在此放電條件下, 鞘層厚度約占腔室高度的10%, 說(shuō)明在微型ICP 源的模擬過(guò)程中, 鞘層不應(yīng)該被忽略.此外,盡管采用的放電氣壓較高, 為500 mTorr, 但整個(gè)腔室內(nèi)部的電子能量均偏離麥克斯韋分布.此外,當(dāng)模型中只包含感性耦合效應(yīng)時(shí), 功率沉積主要是由電子的角向運(yùn)動(dòng)引起的; 而當(dāng)模型中包含容性耦合效應(yīng)時(shí), 功率沉積主要是由電子的軸向運(yùn)動(dòng)引起的; 隨著頻率的降低和功率的提高, 容性耦合效應(yīng)有所增強(qiáng).

此外, Mattei 等[57]提出了一種隱式的電磁PIC/MCC 模型, 用來(lái)研究感性耦合Linac4 負(fù)氫離子源的特性.研究結(jié)果表明: 當(dāng)Linac4 負(fù)氫離子源運(yùn)行約0.15 μs 后, 放電模式發(fā)生轉(zhuǎn)化, 電子密度的空間分布也發(fā)生顯著改變[58].此外, H+及離子與中性粒子的碰撞過(guò)程, 并不會(huì)對(duì)放電模式的轉(zhuǎn)化產(chǎn)生影響, 但會(huì)影響H 模式下的等離子體特性[59].

7 結(jié) 論

目前, 芯片刻蝕工藝的發(fā)展趨勢(shì)是芯片尺寸越來(lái)越大、刻蝕線寬越來(lái)越窄, 這也對(duì)材料刻蝕工藝提出了更高要求, 如更好的均勻性、更高的各向異性、更高的刻蝕率及選擇性等.為了實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo),就需要不斷對(duì)感性耦合等離子體特性進(jìn)行調(diào)控.例如, 通過(guò)在下極板施加獨(dú)立的偏壓源, 并調(diào)控偏壓源的波形等, 以實(shí)現(xiàn)對(duì)轟擊到基片表面的離子能量和離子通量的獨(dú)立控制; 通過(guò)采用脈沖調(diào)制, 改變脈沖頻率、占空比等參數(shù), 對(duì)后輝光階段的等離子體特性進(jìn)行調(diào)控, 以實(shí)現(xiàn)對(duì)刻蝕剖面的優(yōu)化; 通過(guò)采用雙頻甚至多頻源驅(qū)動(dòng)放電, 并改變電源的頻率、相位及電流幅值比, 以實(shí)現(xiàn)對(duì)等離子體均勻性的調(diào)控等.此外, 放電過(guò)程中的模式跳變等現(xiàn)象,會(huì)引起放電的不穩(wěn)定性, 進(jìn)而影響刻蝕過(guò)程, 因此需要采用一定的方法來(lái)抑制.如通過(guò)增加法拉第屏蔽、改變介質(zhì)窗形狀、施加軸向磁場(chǎng)、改變線圈形狀等, 來(lái)降低放電過(guò)程中的容性耦合效應(yīng).總之,感性耦合等離子體源的數(shù)值模擬研究具有深遠(yuǎn)意義, 相關(guān)研究結(jié)果可以用來(lái)優(yōu)化工藝過(guò)程, 并為ICP 源的進(jìn)一步發(fā)展提供科學(xué)依據(jù).