曹 偉，李文靜，易海洋，王野馳，張紅芬

(1. 華北科技學(xué)院 建筑工程學(xué)院，北京 東燕郊065201； 2. 北京航空航天大學(xué) 交通科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191；3. 燕京理工學(xué)院 建筑學(xué)院，北京101601)

0 引言

滑坡是一種常見的地質(zhì)災(zāi)害，其穩(wěn)定性評價一直是巖土工程界的重點研究課題。傳統(tǒng)的邊坡穩(wěn)定分析方法假定土體的參數(shù)是一個定值，根據(jù)極限平衡法計算出安全系數(shù)，進而進行邊坡的穩(wěn)定性評價。然而實際的巖土工程問題往往具有的一定的不確定性，為了考慮這些不確定性，可靠度方法被用于邊坡的穩(wěn)定性分析[1-3]。該方法可以考慮土體參數(shù)的變異性和相關(guān)性，更符合巖土工程實際，因此越來越受到巖土工程界的關(guān)注，并逐漸成為一種趨勢[4]。常用的可靠度分析方法有一次二階矩法、概率矩點估計法、響應(yīng)面法及Monte Carlo模擬法等[5]。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，隨機分析理論與有限元法相互結(jié)合，形成了隨機有限元方法。隨機有限元方法采用強度折減法計算邊坡的安全系數(shù)，不需要預(yù)先假定臨界破壞面，被廣泛應(yīng)用于邊坡工程的可靠度分析[6]。

近年來，國內(nèi)外進行了很多邊坡可靠度方面的研究，取得了大量的研究成果。Lumb[7]在大量土工試驗的基礎(chǔ)上，提出大多數(shù)土體的參數(shù)都可以看作正態(tài)分布的隨機變量來考慮，并將可靠度的方法應(yīng)用于邊坡的設(shè)計和穩(wěn)定性評價。Nguyen[8]提出了一種具有相關(guān)隨機變量的Monte Carlo模擬方法，將其應(yīng)用于巖土工程的風(fēng)險分析，并取得了很好地模擬效果。Griffiths和 Fenton將有限元強度折減法與隨機場理論結(jié)合，提出隨機有限元的方法用于邊坡的可靠度分析[9-10]。楊明、孫小娜、陳將宏等利用Monte Carlo法，采用MATLAB軟件編制了程序，實現(xiàn)對土質(zhì)邊坡穩(wěn)定的可靠度分析，研究了土體參數(shù)變異性對邊坡穩(wěn)定性的影響[11-13]。朱瑜劼等[14]基于Monte Carlo法和GEO-SLOPE軟件，對三峽庫區(qū)泄灘邊坡的穩(wěn)定性進行了綜合評價，并對其進行支護設(shè)計。李典慶等[4，15，16]提出了非侵入式的隨機有限元法，用于計算考慮土體參數(shù)空間變異性的邊坡可靠度。該方法的計算程序NISFEM用MATLAB 語言編寫，并將GEO-SLOPE軟件視為黑箱子直接調(diào)用。

在上述研究中，采用MATLAB軟件編制的程序和巖土數(shù)值分析軟件GEO-SLOPE計算邊坡穩(wěn)定性都是基于極限平衡方法的，均需要事先假定臨界破壞面。相比較而言，ABAQUS、ANSYS等有限元軟件基于強度折減法計算邊坡的穩(wěn)定性，無需事先假定臨界破壞面，更符合實際情況，適用性更強。傳統(tǒng)的Monte Carlo抽樣方法收斂速度慢，需要較大的模擬次數(shù)，計算量非常大，而LHS抽樣可以使用較少的模擬次數(shù)達(dá)到收斂標(biāo)準(zhǔn)，從而提高抽樣的效率。目前現(xiàn)有的有限元軟件不能考慮參數(shù)的變異性和相關(guān)性，也沒有內(nèi)置LHS抽樣方法，不能直接進行用于可靠度分析，因此在使用這些軟件計算邊坡可靠度時需要其他軟件協(xié)同合作，不僅開發(fā)難度大，也難以進行推廣[17]。

本文基于LHS抽樣在有限元軟件ABAQUS中開發(fā)了邊坡可靠度自動計算的算法，用戶可以通過交互輸入?yún)?shù)調(diào)整土體的變異性和相關(guān)性，即可簡單方便地計算出邊坡的可靠度。通過典型的邊坡算例，利用開發(fā)的算法計算了邊坡的可靠度，并對可靠度的影響因素進行了分析。

1 邊坡可靠度分析的有限元-LHS法

1.1 有限元強度折減法

有限元強度折減法最早由Zienkiewicz等提出，已經(jīng)在邊坡工程中得到了廣泛應(yīng)用。與極限平衡法相比，有限元強度折減法[18-19]考慮了土體的非線性彈塑性本構(gòu)關(guān)系以及變形對應(yīng)力的影響，而且能夠模擬邊坡的失穩(wěn)過程及其滑動面形狀，無需提前對滑動面形狀和條塊條間力(無需進行條分)作任何假定。該方法通過將巖土體抗剪強度參數(shù)逐漸降低直到邊坡失穩(wěn)破壞，以臨界破壞的強度折減系數(shù)作為邊坡安全系數(shù)[20]。本文采用摩爾-庫倫強度模型，假定抗剪強度折減系數(shù)為Fr，為在計算過程中，將土體抗剪強度參數(shù)按照下面的公式進行折減：

(1)

(2)

式中，c和φ為土體的粘聚力和內(nèi)摩擦角；c′和φ′為折減后土體的粘聚力和內(nèi)摩擦角。

1.2 有限元-LHS法

拉丁超立方抽樣法(LHS)是一種分層抽樣方法。與傳統(tǒng)的Monte Carlo 抽樣法相比，LHS抽樣法更高效，能夠做到以較小的采樣規(guī)模獲得較高的采樣精度。在邊坡的可靠性分析中，可以將LHS抽樣法與有限元強度折減法結(jié)合起來，以Z=Fs-1作為邊坡的功能函數(shù)，先按照土體材料參數(shù)的分布函數(shù)生成n組隨機數(shù)(c1，φ1)，(c2，φ2)，…，(cn，φn)，把生成的n組隨機數(shù)作為土體的材料參數(shù)，采用有限元強度折減法分別計算邊坡的安全系數(shù)，從而得到安全系數(shù)的n個相對獨立的統(tǒng)計樣本值Fs1，F(xiàn)s2，… ，F(xiàn)sn。統(tǒng)計安全系數(shù)的樣本中滿足Fs<1的個數(shù)，假設(shè)為m。那么當(dāng)n足夠大時，由大數(shù)定律可知邊坡的失效概率為：

(3)

由安全系數(shù)的統(tǒng)計樣本可以較精確地得到安全系數(shù)的概率分布及其分布函數(shù)。安全系數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

(4)

(5)

若用β表示可靠指標(biāo)，并定義β=μZ/σZ，則失效概率：Pf=1-Φ(β)，其中Φ(β)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

2 邊坡可靠度自動計算流程

2.1 確定性分析模型的建立

在ABAQUS軟件中建立邊坡穩(wěn)定性的確定性分析模型，包括繪制邊坡剖面、賦予材料參數(shù)、劃分網(wǎng)格、設(shè)置荷載和邊界條件、設(shè)定分析步、通過場變量實現(xiàn)強度折減法進行計算等步驟。其中土的強度采用摩爾-庫倫模型，土體參數(shù)取均值。為了檢驗確定性分析模型的正確性，建立Job-0，并提交運算，查看計算得到的安全系數(shù)，并與其他穩(wěn)定性分析方法的計算結(jié)果進行對比。

2.2 輸入可靠度計算所需要的參數(shù)

可靠度計算需要輸入的參數(shù)有粘聚力c的均值和變異系數(shù)、內(nèi)摩擦角φ的均值和變異系數(shù)、c與φ的相關(guān)系數(shù)和LHS的模擬次數(shù)N等。為了方便用戶操作，在ABAQUS中利用Python語言開發(fā)了可靠度計算所需參數(shù)的接口。在ABAQUS軟件中打開建立好的邊坡確定性分析模型，然后運行腳本Parameters.py，在如圖1所示的窗口中就可以輸入這些計算參數(shù)，輸入?yún)?shù)以后，單擊“OK”鍵即可。

圖1 邊坡可靠度計算參數(shù)的輸入窗口

2.3 計算邊坡的可靠度

在ABAQUS軟件中運行Calculation.py腳本，ABAQUS會開始自動計算邊坡的可靠度，并將計算得到的多個安全系數(shù)樣本值和邊坡失效概率等結(jié)果輸出到文件中。程序的求解過程如圖2所示。

圖2 邊坡可靠度計算流程圖

3 算例分析

下面以圖3所示的邊坡為算例，利用開發(fā)的可靠度計算算法進行分析。在有限元軟件ABAQUS中建立邊坡的強度折減計算模型，邊坡的坡高為 10 m，坡度為 1∶1。單元采用平面應(yīng)變單元CPE4，共劃分成1210個單元。土體參數(shù)統(tǒng)計特征見表1，先取土的材料參數(shù)為其均值，計算得到邊坡的安全系數(shù)，并與經(jīng)典的邊坡穩(wěn)定分析方法的計算結(jié)果進行對比。通過表2可知，由ABAQUS強度折減法計算出的邊坡安全系數(shù)與其他三種經(jīng)典方法的結(jié)果基本一致，說明采用強度折減法計算邊坡安全系數(shù)是較為準(zhǔn)確的。

圖3 邊坡的有限元計算模型

表1 土體參數(shù)統(tǒng)計特征

表2 邊坡安全系數(shù)結(jié)果對比

3.1 邊坡可靠度的計算

取LHS模擬次數(shù)為5 000 次，利用在ABAQUS中開發(fā)的邊坡可靠度計算算法進行計算，得到安全系數(shù)樣本的散點圖如圖4(a)所示，可見安全系數(shù)大多分布在0.95～1.25之間。經(jīng)過統(tǒng)計可知，安全系數(shù)的均值為1.082，標(biāo)準(zhǔn)差為0.083，變異系數(shù)為0.077?？梢姲踩禂?shù)的變異系數(shù)要小于粘聚力和內(nèi)摩擦角的變異系數(shù)0.10。進一步計算得到，邊坡的失效概率為20.12%，對應(yīng)的可靠性指標(biāo)為0.8373。通過如圖4(b)所示的安全系數(shù)樣本的分布直方圖可以發(fā)現(xiàn)，安全系數(shù)近似服從正態(tài)分布。

圖4 安全系數(shù)樣本分布圖

3.2 邊坡可靠度影響因素分析

在利用開發(fā)的邊坡可靠度算法進行計算時，LHS模擬次數(shù)、土體參數(shù)變異性、土體參數(shù)相關(guān)性等因素對可靠度的計算結(jié)果均有影響，但影響大小不同。下面對這些邊坡可靠度的影響因素的進行研究。

3.2.1 模擬次數(shù)

取模擬次數(shù)100、250、500、750、1 000、2 000、3 000、4 000、5 000，分別計算邊坡的安全系數(shù)的樣本，統(tǒng)計得到安全系數(shù)樣本的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、失效概率和可靠度指標(biāo)等，分析模擬次數(shù)對于邊坡可靠度的影響。

如圖5所示，安全系數(shù)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、失效概率和可靠度指標(biāo)均隨著模擬次數(shù)的增加趨向于穩(wěn)定。當(dāng)采用LHS抽樣法時，在模擬次數(shù)達(dá)到1 000 次以上時，各項指標(biāo)已基本穩(wěn)定。而Monte Carlo 抽樣法當(dāng)模擬次數(shù)達(dá)到3 000 次以上時，才趨于穩(wěn)定。這表明LHS抽樣法比傳統(tǒng)Monte Carlo 抽樣法更高效，可以明顯的減少計算的工作量，更適用于計算邊坡的可靠度問題。

圖5 模擬次數(shù)對計算結(jié)果的影響

3.2.2 土體參數(shù)變異性

為了研究土體參數(shù)變異性對邊坡可靠度的影響，固定c和φ中的一個土體參數(shù)為其均值，另一個參數(shù)取不同變異系數(shù)的正態(tài)分布，LHS模擬次數(shù)為1 000 次，分別計算邊坡安全系數(shù)的樣本和可靠度，得到的結(jié)果如圖6所示。

由圖6可知，土體參數(shù)的變異性對于安全系數(shù)的均值幾乎無影響，安全系數(shù)的均值始終穩(wěn)定在1.084附近。安全系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差隨著土體參數(shù)的變異系數(shù)增加而增加，相對而言，在變異系數(shù)相同的條件下，內(nèi)摩擦角φ變化對應(yīng)的安全系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差要大于粘聚力c變化對應(yīng)的安全系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差，說明內(nèi)摩擦角對于邊坡穩(wěn)定性的影響要大于粘聚力。隨著土體參數(shù)變異系數(shù)的增加，失效概率Pf逐漸增加，對應(yīng)的可靠度指標(biāo)β逐漸降低。除去變異系數(shù)小于0.08的范圍之外，內(nèi)摩擦角φ變化對應(yīng)的可靠度指標(biāo)β均小于粘聚力c變化對應(yīng)的可靠度指標(biāo)β。當(dāng)變異系數(shù)小于0.15時，內(nèi)摩擦角φ變化引起的可靠度指標(biāo)β的下降幅度要大于粘聚力c，說明可靠度指標(biāo)β對于內(nèi)摩擦角φ變化更加敏感。當(dāng)變異系數(shù)大于0.15時，內(nèi)摩擦角φ變化與粘聚力c變化引起的可靠度指標(biāo)β的下降幅度大致相同。

圖6 土體參數(shù)變異性對計算結(jié)果的影響

3.2.3 土體參數(shù)相關(guān)性

在實際的邊坡中，土體參數(shù)并不是獨立隨機變量，而是具有一定的相關(guān)性，這種相關(guān)性會對邊坡的可靠度分析產(chǎn)生一定影響。對上述算例，取不同的相關(guān)系數(shù)，生成多個c、φ相關(guān)性不同的土體參數(shù)樣本，利用開發(fā)的可靠度算法分別計算邊坡的可靠度，研究c、φ相關(guān)性對邊坡可靠度的影響。計算得到的邊坡可靠度指標(biāo)β隨相關(guān)系數(shù)的變化關(guān)系見圖7。當(dāng)相關(guān)系數(shù)從-0.75變到0.75時，可靠度指標(biāo)β從1.55降低到了0.61，對應(yīng)的失效概率Pf從6.1%增加到了27.2%?？梢钥闯觯琧、φ的相關(guān)性對邊坡可靠度具有明顯的影響。c和φ的負(fù)相關(guān)性對邊坡的穩(wěn)定性是有利的，對應(yīng)的可靠度指標(biāo)β較高；相應(yīng)的，當(dāng)c和φ呈正相關(guān)時，若忽略變量的相關(guān)性，所得可靠度指標(biāo)高估了實際值，偏于不安全。在進行邊坡的可靠度分析時，要盡可能準(zhǔn)確地確定c和φ的相關(guān)性，從而得到更符合實際的結(jié)果。

圖7 可靠度指標(biāo)β隨相關(guān)系數(shù)的變化

4 結(jié)論

(1) 開發(fā)的邊坡可靠度自動計算算法是可靠的，用戶可以通過交互輸入?yún)?shù)，方便準(zhǔn)確地計算出邊坡的可靠度，解決了傳統(tǒng)可靠度計算需要多種軟件協(xié)同合作的難題。

(2) 模擬次數(shù)、土體參數(shù)變異性和c、φ的相關(guān)性對于可靠度的計算均有明顯的影響。邊坡可靠度隨著模擬次數(shù)的增加趨于穩(wěn)定，并且在計算邊坡可靠度時，LHS抽樣法比傳統(tǒng)Monte Carlo 抽樣法更為高效。當(dāng)采用LHS法，模擬次數(shù)達(dá)到1 000 次以上時，計算出的可靠度較為準(zhǔn)確。可靠度指標(biāo)β與土體參數(shù)變異系數(shù)呈負(fù)相關(guān)，隨著土體參數(shù)變異系數(shù)的增加，可靠度指標(biāo)β逐漸降低。相對而言，可靠度指標(biāo)β對于內(nèi)摩擦角變化更加敏感。c、φ的負(fù)相關(guān)性對邊坡的穩(wěn)定性是有利的，負(fù)相關(guān)性越強，邊坡的可靠度越高。