張惠茹，賈利民，王 莉

(1.北京交通大學(xué) 軌道交通控制與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044； 2.北京交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，北京 100044；3.北京市城市交通信息智能感知與服務(wù)工程技術(shù)研究中心，北京 100044; 4.城市軌道交通系統(tǒng)安全與運(yùn)維保障國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510330)

隨著鐵路運(yùn)營(yíng)里程的不斷增長(zhǎng)和運(yùn)行速度的不斷提升，鐵路領(lǐng)域的可持續(xù)發(fā)展受到越來(lái)越多的關(guān)注，而節(jié)能駕駛是目前最直接的有效舉措。實(shí)際的列車(chē)操縱是一個(gè)能耗與時(shí)間相博弈的過(guò)程，即多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。目前國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者在列車(chē)節(jié)能駕駛模式和多目標(biāo)優(yōu)化等方面做了積極的探索。

文獻(xiàn)[1]最早研究了列車(chē)節(jié)能駕駛策略，并利用Pontryagin最大原則求解限速條件下的最優(yōu)控制問(wèn)題；文獻(xiàn)[2]進(jìn)一步推導(dǎo)出地鐵系統(tǒng)的最優(yōu)控制序列，不含勻速階段；文獻(xiàn)[3]利用Hamiltonian函數(shù)推導(dǎo)出勻速運(yùn)行以及惰行點(diǎn)是列車(chē)節(jié)能的關(guān)鍵。以上文獻(xiàn)所述為擁有嚴(yán)謹(jǐn)理論推導(dǎo)的第一類(lèi)方法，但需對(duì)列車(chē)、線路等條件進(jìn)行簡(jiǎn)化，而如果考慮實(shí)際運(yùn)行環(huán)境引入復(fù)雜的非線性方程或約束，則問(wèn)題的簡(jiǎn)化會(huì)很困難。文獻(xiàn)[4]將基本的列車(chē)模型改寫(xiě)為以動(dòng)能和時(shí)間為狀態(tài)量的連續(xù)空間模型，并運(yùn)用分段仿射近似為混合整數(shù)規(guī)劃求解。這種方法為第二類(lèi)算法，即將原始問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)優(yōu)化問(wèn)題然后直接求解，但是該類(lèi)方法建立在大量的假設(shè)基礎(chǔ)上，且對(duì)模型精度要求高。文獻(xiàn)[5]提出一種通過(guò)仿真分配列車(chē)富余時(shí)間以達(dá)到節(jié)能控制的方法；文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)了一種基于啟發(fā)式遺傳算法的列車(chē)牽引運(yùn)行算法。這兩種方法為結(jié)合仿真或進(jìn)化算法的第三類(lèi)方法，得益于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，列車(chē)、線路、牽引模式等復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)條件可以很容易地加入到模型中，從而得到更加符合實(shí)際情況的有效的駕駛模式。

對(duì)于所得的駕駛策略，除了賦予目標(biāo)不同權(quán)重得到一個(gè)最優(yōu)解[5]，也可將列車(chē)節(jié)能駕駛抽象為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題獲得一組解，而后者為鐵路管理者提供了可行的備選方案?；诘罔F列車(chē)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)提供的加速度、減速度、勻速度以及惰行速度的范圍，文獻(xiàn)[7]提出了一種多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法，并基于仿真得到了Pareto前沿。文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)一種多目標(biāo)混合整數(shù)精英遺傳算法，在離散化軌道線路的基礎(chǔ)上，獲得了地鐵系統(tǒng)能耗與時(shí)間的Pareto曲線。文獻(xiàn)[9]針對(duì)高速鐵路系統(tǒng)的節(jié)能駕駛問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種結(jié)合仿真的多目標(biāo)求解算法，但利用平均等效坡度對(duì)線路條件進(jìn)行了較大程度的簡(jiǎn)化

綜上，既有研究多以地鐵為研究對(duì)象，操縱策略較為簡(jiǎn)單，且很少考慮實(shí)際的復(fù)雜線路條件；部分涉及高速鐵路的研究中，也往往將復(fù)雜的模型參數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，以便快速求得單一的列車(chē)運(yùn)行操縱策略。本文在考慮高速鐵路實(shí)際線路條件基礎(chǔ)上，重點(diǎn)面向列車(chē)運(yùn)行環(huán)境復(fù)雜多樣、易受不同程度的擾動(dòng)，從而偏離基本計(jì)劃的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，建立以能耗、時(shí)間為目標(biāo)，以列車(chē)受力、區(qū)間限速等為約束的多目標(biāo)列車(chē)操縱優(yōu)化模型，同時(shí)設(shè)計(jì)復(fù)雜線路條件簡(jiǎn)化方法以及改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法，并結(jié)合變步長(zhǎng)仿真，實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)節(jié)能駕駛曲線集的生成。該研究結(jié)果可針對(duì)不同運(yùn)行條件提供豐富的列車(chē)節(jié)能操縱策略。

1 問(wèn)題描述

高速鐵路相鄰站間線路距離長(zhǎng)，且線型條件復(fù)雜，包括頻繁變化的坡度、曲線、線路限速等。在進(jìn)行牽引計(jì)算時(shí)，可以根據(jù)線路條件劃分計(jì)算區(qū)段，即一個(gè)計(jì)算區(qū)段內(nèi)線路條件相同。本文采用最大加速度加速、無(wú)制動(dòng)調(diào)速，以及停車(chē)前最大減速度制動(dòng)三種節(jié)能策略[10]。其中，在加速階段使用最大加速度、制動(dòng)階段使用最大減速度已經(jīng)被證明是有效的節(jié)能策略[1]?？紤]到制動(dòng)過(guò)程將造成能耗浪費(fèi)，節(jié)能駕駛策略應(yīng)盡量避免非必要的制動(dòng)，因此采用無(wú)制動(dòng)調(diào)速，即在非停車(chē)計(jì)算區(qū)段，列車(chē)采用牽引或惰行工況調(diào)節(jié)速度的策略。

如圖1所示，根據(jù)坡度、曲線和限速條件，線路分為4個(gè)計(jì)算區(qū)段(Seg1—Seg4)，由相鄰計(jì)算區(qū)段的速度連續(xù)關(guān)系，即可得到整個(gè)區(qū)間的速度-距離曲線，而列車(chē)節(jié)能的關(guān)鍵在于不同計(jì)算區(qū)段內(nèi)駕駛策略的選擇。

圖1 一種節(jié)能駕駛的速度-距離曲線示意

2 模型建立

基于列車(chē)運(yùn)行特性及本文所采用的節(jié)能策略，在滿足受力、速度、距離等約束條件下，建立多目標(biāo)優(yōu)化模型。

2.1 假設(shè)與變量

為方便描述問(wèn)題，作以下假設(shè)：

(1)列車(chē)為有質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)，非勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)需考慮牽引回轉(zhuǎn)系數(shù)。

(2)車(chē)站抽象為節(jié)點(diǎn)，區(qū)間線路抽象為弧。

(3)列車(chē)可以輸出當(dāng)前速度下不大于最大牽引力的任意大小的牽引力。

文中主要參數(shù)定義及變量說(shuō)明見(jiàn)表1。

表1 主要參數(shù)定義及變量說(shuō)明

2.2 模型及約束條件

目標(biāo)函數(shù)為能耗和時(shí)間總體最優(yōu)，即

minf(X)=(fe(X),ft(X))

(1)

式中：f(X)為總的優(yōu)化目標(biāo)；fe(X)為列車(chē)消耗的能量；ft(X)為運(yùn)行所需的時(shí)間(X的求解方法將在下一節(jié)展開(kāi))。這里以s為自變量建立模型。其中，

(2)

受到以下條件約束：

(3)

Fr=μ+κ·v+γ·v2

(4)

Fg≈M·g·θ

(5)

(6)

式中：μ,κ和γ為戴維斯公式中的相關(guān)參數(shù)；g為重力加速度；θ為線路坡度；A為一個(gè)經(jīng)驗(yàn)常數(shù)；R為線路的半徑；Ltrain和Lline分別為列車(chē)和曲線的長(zhǎng)度。

約束式(3)～式(6)為列車(chē)運(yùn)行過(guò)程中的受力約束。

(7)

(8)

3 模型求解

考慮到實(shí)際線路距離長(zhǎng)且線型條件變化頻繁，直接劃分的計(jì)算區(qū)段數(shù)目太多將消耗較大的計(jì)算資源，因此提出一種計(jì)算區(qū)段簡(jiǎn)化方法。同時(shí)針對(duì)基本NSGA-Ⅱ算法收斂速度慢、解分布不夠均勻的問(wèn)題，設(shè)計(jì)一種以計(jì)算區(qū)段目標(biāo)速度為自變量的改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法，并基于變步長(zhǎng)仿真獲得解所對(duì)應(yīng)的能耗與時(shí)間值。

3.1 計(jì)算區(qū)段簡(jiǎn)化

由式(4)～式(6)可知，隨著列車(chē)速度的增加，F(xiàn)r成為影響運(yùn)行的主要阻力，因此本文僅對(duì)列車(chē)速度較大的計(jì)算區(qū)段進(jìn)行簡(jiǎn)化。

(3)加算坡度。針對(duì){p,…,k,…,q}，根據(jù)TB/T 1407—1998《列車(chē)牽引計(jì)算規(guī)程》[11]，將曲線附加阻力換算為折算坡度ic，合并相近坡度得化簡(jiǎn)坡度ig，則加算坡度iall=ic+ig。

(4)根據(jù)iall重新劃分計(jì)算區(qū)段。從計(jì)算區(qū)段p開(kāi)始，把相同iall的線路劃分為一個(gè)計(jì)算區(qū)段，iall值發(fā)生改變，則進(jìn)入下一個(gè)計(jì)算區(qū)段，依此類(lèi)推，直到計(jì)算區(qū)段q停止。

3.2 操縱策略與仿真

(3)如果與制動(dòng)曲線相交，則根據(jù)制動(dòng)曲線操縱。

為了加快仿真速度，采用100、10、1 m變步長(zhǎng)仿真。計(jì)算距離數(shù)組tag，如果區(qū)間距離為12 345 m，則tag=[123,4,5]。

Step1初始化：令步長(zhǎng)ds=100，累計(jì)距離l=0，索引i=0，(s,t,E)=(0, 0, 0)；輸入速度v，距離數(shù)組tag。

Step2Do:

Fori=0 to 2

Do Whiles

s=s+ds

v1=(v2+ 2 ·a·ds)0.5

t=t+ (v1-v) /a

v=v1

E=E+Ff·ds

EndIf

tag[i+1]=10

s=s-ds

break

EndIf

break

EndIf

EndWhile

ds=ds/10

l=s

EndFor

Step3Ifl

Step4以速度v運(yùn)行剩下的距離，轉(zhuǎn)Step 5。

Step5輸出(v,s,t,E)

其中，F(xiàn)all為附加阻力。

對(duì)于惰行過(guò)程

a=-(Fr+Fall)/(1+ρ)·M

(9)

制動(dòng)過(guò)程

a=-(Fb+Fr+Fall)/(1+ρ)·M

(10)

由此即可獲得X操縱策略下列車(chē)消耗的能量與時(shí)間值。

3.3 改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法

將差分進(jìn)化算法作為交叉算子，同時(shí)設(shè)計(jì)一種三點(diǎn)擁擠距離算子，通過(guò)改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法迭代獲得能耗-時(shí)間Pareto最優(yōu)的X集合。

(11)

式中：β是控制參數(shù)。

判斷解的優(yōu)劣包括兩步：①通過(guò)非支配排序計(jì)算支配等級(jí)，等級(jí)越低越優(yōu)；②同等級(jí)，則計(jì)算擁擠距離為D。

(12)

4 算例研究

以京滬線北京南—廊坊、廊坊—天津南2個(gè)區(qū)間進(jìn)行算例研究。線路、車(chē)輛等相關(guān)數(shù)據(jù)由項(xiàng)目調(diào)研得到。同時(shí)，根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)，在計(jì)算牽引力時(shí)，乘一個(gè)牽引力使用系數(shù)，見(jiàn)表2。使用Python工具，在64位Windows操作系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn)高速鐵路列車(chē)節(jié)能駕駛曲線集的生成。

表2 相關(guān)參數(shù)與值

4.1 線路簡(jiǎn)化有效性證明

通過(guò)化簡(jiǎn)，北京南—廊坊段計(jì)算區(qū)段從88個(gè)(見(jiàn)圖2(a))減少為33個(gè)(見(jiàn)圖2(b))，僅占原區(qū)段數(shù)目的37.5%。其中簡(jiǎn)化后最長(zhǎng)計(jì)算區(qū)段5.10 km，最短0.85 km，平均1.79 km。需要說(shuō)明的是，因?yàn)椴糠智€值遠(yuǎn)大于限速與坡度值，圖2(a)中曲線值除以200以便顯示。

圖2 簡(jiǎn)化前后線路條件對(duì)比

最短時(shí)間條件下簡(jiǎn)化前后的駕駛曲線對(duì)比見(jiàn)圖3。簡(jiǎn)化前采用1 m的步長(zhǎng)精確仿真，可以看出，2條曲線基本重合。在20 km附近，簡(jiǎn)化后藍(lán)色實(shí)線略滯后于紅色實(shí)線，是因?yàn)橄嘟木€路被合并，而限速取其中較小的值，所以藍(lán)色線保持270 km/h限速運(yùn)行一段距離，才被允許加速。簡(jiǎn)化前能耗9.29×109J，簡(jiǎn)化后為9.28×109J，誤差僅占簡(jiǎn)化前的0.07%。簡(jiǎn)化前計(jì)算時(shí)間為23.32 s，簡(jiǎn)化后時(shí)間為1.52 s，計(jì)算速度約為原計(jì)算方式的15倍。

圖3 簡(jiǎn)化前后最短時(shí)間條件下速度-距離曲線

在最短時(shí)間條件下運(yùn)行時(shí)，列車(chē)能耗最高，但是可以最快地彌補(bǔ)延誤。下面選擇一種時(shí)間較為充足，列車(chē)可以采用惰行操縱的情況，進(jìn)一步對(duì)比簡(jiǎn)化前后仿真的結(jié)果。

簡(jiǎn)化前后T=1 220 S條件下速度-距離曲線見(jiàn)圖4。由圖4可見(jiàn)，2條曲線整體趨勢(shì)基本相同，在10～20 km范圍偏差較明顯，這是因?yàn)楹?jiǎn)化前后的線型條件對(duì)應(yīng)了不同的最優(yōu)操縱策略。簡(jiǎn)化前后能耗分別為4.17×109、4.18×109J，相對(duì)誤差為0.09%；計(jì)算時(shí)間分別為15.06、1.36 s，計(jì)算速度是原計(jì)算方式的11倍。

圖4 簡(jiǎn)化前后T=1 220 s條件下速度-距離曲線

通過(guò)兩種時(shí)間條件下仿真結(jié)果的對(duì)比可知，簡(jiǎn)化后能耗誤差較小，而計(jì)算效率大大提升，說(shuō)明了簡(jiǎn)化方法的有效性。下面的計(jì)算都將在簡(jiǎn)化線路的基礎(chǔ)上進(jìn)行。

4.2 單區(qū)間Pareto曲線

分別用基本NSGA-Ⅱ算法和改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法，計(jì)算北京南-廊坊段的Pareto曲線，見(jiàn)圖5。圖5(a)為基本NSGA-Ⅱ算法所得的不同迭代次數(shù)條件下的能耗-時(shí)間Pareto曲線，其中第30代到50代產(chǎn)生了較多重復(fù)的解，第50代仍未完全收斂且解的分布非常不均勻。圖5(b)為改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法的Pareto曲線，從第30代開(kāi)始，基本趨勢(shì)已經(jīng)比較明顯，至第50代新生成的解仍在趨勢(shì)內(nèi)，因此，我們認(rèn)為此時(shí)已完全收斂。相比傳統(tǒng)算法，改進(jìn)NSGA-Ⅱ的收斂速度更快、解的分布更均勻。

圖5 兩種方法不同迭代次數(shù)的Pareto曲線

為了進(jìn)一步分析能耗-時(shí)間的數(shù)值關(guān)系，利用matlab中的fit函數(shù)擬合所獲得的Pareto曲線。Pareto曲線擬合見(jiàn)圖6。

圖6 Pareto曲線擬合

綜合比較，六階擬合效果最佳，曲線擬合方程為

f1=p1·x6+p2·x5+p3·x4+p4·x3+

p5·x2+p6·x+p7

(13)

式中：p1、p2、p3、p4、p5、p6、p7為系數(shù)。

曲線擬合方程系數(shù)見(jiàn)表3。

表3 北京南—廊坊段曲線擬合方程系數(shù)

同理，獲得廊坊—天津南段的Pareto曲線，五階擬合效果最佳，曲線擬合方程為

f2=p1·x5+p2·x4+p3·x3+

p4·x2+p5·x+p6

(14)

曲線擬合方程系數(shù)見(jiàn)表4。

表4 廊坊—天津南段曲線擬合方程系數(shù)

4.3 多區(qū)間擾動(dòng)情況下節(jié)能駕駛

假設(shè)列車(chē)從北京南站始發(fā)，經(jīng)停廊坊站，終到天津南站。北京南—廊坊段最小運(yùn)行時(shí)間、計(jì)劃運(yùn)行時(shí)間、最大運(yùn)行時(shí)間分別為16、21、24 min；廊坊—天津南段分別為15、18、24 min。假設(shè)列車(chē)因擾動(dòng)始發(fā)晚點(diǎn)5 min?，F(xiàn)采用兩種策略：①在北京南—廊坊段以最高速度彌補(bǔ)晚點(diǎn)；②保證終到時(shí)間不變，利用Pareto曲線尋找可替代節(jié)能策略。兩種策略條件下的速度-距離曲線見(jiàn)圖7。

圖7 兩種策略條件下的速度-距離曲線

策略1：該策略條件下總能耗為1.78×1010J，總運(yùn)行時(shí)間為34 min。因未獲得列車(chē)在實(shí)際運(yùn)行條件下的速度-距離曲線，故廊坊—天津南段采用本文提出的對(duì)應(yīng)時(shí)間條件下的最優(yōu)駕駛曲線。

策略2：根據(jù)獲得的能耗-時(shí)間擬合方程，建立數(shù)學(xué)模型為

minz=f1(x1)+f2(x2)

s.t.x1+x2=34 16≤x1≤24 15≤x2≤24

(15)

通過(guò)求解獲得，當(dāng)x1=1 013 s，x2=1 027 s時(shí)，線路總能耗為1.66×1010J。

對(duì)比兩種策略可得：①策略2比策略1節(jié)能7.1%；②策略2中列車(chē)在2個(gè)區(qū)間速度分布更加均衡；③兩種策略總的運(yùn)行時(shí)間相同，且到達(dá)終到站時(shí)間均無(wú)延誤。

5 結(jié)論

針對(duì)高速鐵路線路距離長(zhǎng)、線型條件變化頻繁，以及列車(chē)運(yùn)行易受擾動(dòng)偏離基本計(jì)劃的特點(diǎn)，本文提出了一種高速鐵路列車(chē)節(jié)能駕駛曲線集生成方法，通過(guò)簡(jiǎn)化復(fù)雜線路條件，在保證結(jié)果準(zhǔn)確性的同時(shí)提高了計(jì)算速度；設(shè)計(jì)了一種多目標(biāo)求解算法，基于變步長(zhǎng)仿真獲得解所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值；生成一組能耗-時(shí)間平衡的Pareto解集，既可以面向常規(guī)條件下的列車(chē)節(jié)能操縱的優(yōu)化，也可以處理特殊條件下的列車(chē)節(jié)能調(diào)度。通過(guò)以上工作得出以下結(jié)論：

(1)本文采用的簡(jiǎn)化頻繁變化線路條件的方法，計(jì)算區(qū)段縮減為原來(lái)的37.5%。

(2)以各計(jì)算區(qū)段目標(biāo)速度為決策變量，運(yùn)用變步長(zhǎng)仿真法，實(shí)例顯示，誤差僅占簡(jiǎn)化前逐步精確仿真的0.07%～0.09%，而計(jì)算速度是原計(jì)算方式的11～15倍。

(3)本文提出的結(jié)合差分進(jìn)化算法和新?lián)頂D距離算子的改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法，收斂速度更快，且解的分布性更好，實(shí)例中在第30代收斂趨勢(shì)明顯，第50代已完全收斂。

(4)通過(guò)fit函數(shù)獲得不同區(qū)間Pareto前沿的擬合曲線，在擾動(dòng)發(fā)生條件下，較最高速度彌補(bǔ)晚點(diǎn)節(jié)能7.1%，為鐵路管理者提供了不同運(yùn)行條件下的節(jié)能備選方案，也為節(jié)能時(shí)刻表的優(yōu)化奠定了基礎(chǔ)。