李 超 陳德輝 李興良 胡江林

國家氣象中心，北京，100081

1 引 言

地形對大氣運(yùn)動具有重要的動力和熱力作用。為了提高預(yù)報(bào)準(zhǔn)確率，數(shù)值預(yù)報(bào)模式需要正確地描述地形對天氣系統(tǒng)的影響。模式的垂直坐標(biāo)與地形直接相關(guān)：恰當(dāng)?shù)拇怪弊鴺?biāo)可以使復(fù)雜的控制方程組轉(zhuǎn)化為較簡單的形式，下邊界條件簡單易給，便于使用精度和效率較高的計(jì)算技術(shù)，有效地減 小 氣壓梯 度 力 （Pressure Gradient Force，簡稱PGF）以及其他與模式面水平差分計(jì)算有關(guān)項(xiàng)的計(jì)算誤差，從而正確描述模式中地形對大氣的作用。

為了提高數(shù)值預(yù)報(bào)模式的模擬與預(yù)報(bào)能力，提高模式水平分辨率是非常必要的。然而，隨著數(shù)值預(yù)報(bào)模式水平分辨率的不斷提高，模式地形越來越精細(xì)，模式能分辨的地形越來越陡峭，垂直坐標(biāo)面的坡度越來越大。采用傳統(tǒng)的地形追隨垂直坐標(biāo)（Gal-Chen，et al，1975；以下簡寫為 Gal.C.S 坐標(biāo)）引起的氣壓梯度力計(jì)算誤差會相應(yīng)增大，模擬的地形重力波形狀也被嚴(yán)重扭曲（Sch?r，et al，2002），對高分辨率數(shù)值模擬帶來不利影響。

中國氣象局自主研發(fā)的GRAPES模式目前采用傳統(tǒng)的高度地形追隨坐標(biāo)其中，Zs表 示地形高度，z表示坐標(biāo)面絕對高度，z?表示坐標(biāo)面相對高度，ZT為模式層頂高度。這種坐標(biāo)形式可以使模式計(jì)算在一個(gè)“矩形”的有界域里進(jìn)行，便于計(jì)算機(jī)編程自動計(jì)算；可以使實(shí)際大氣中不規(guī)則的下邊界變成光滑的、隨地形起伏的模式下邊界面，易于給定模式的下邊界條件，也更易于描述氣流隨地形起伏的運(yùn)動。地形追隨坐標(biāo)使得模式光滑的下邊界面成為地表（陸面、海面）邊界層的上邊界面，便于模式動力、熱力過程和地表邊界層過程參數(shù)化方案的耦合（Phillips，1957），地形的動力和熱力作用可以更準(zhǔn)確地傳遞給上層大氣。但是，Gal.C.S坐標(biāo)的問題也很突出。地形追隨坐標(biāo)是非嚴(yán)格意義上的正交坐標(biāo)（Zdunkowski，et al，2003），是由非地形追隨坐標(biāo)向地形追隨坐標(biāo)轉(zhuǎn)化時(shí)，氣壓梯度力計(jì)算由一項(xiàng)變成了量級相當(dāng)?shù)膬身?xiàng)的差，帶來不可避免的氣壓梯度力項(xiàng)計(jì)算誤差。地形追隨坐標(biāo)的坐標(biāo)面隨地形起伏，低層“隆起”的坐標(biāo)面會一直伸展至模式層頂部。雖然坐標(biāo)面的坡度隨高度升高會有所降低，模式大氣沿高層起伏模式面的運(yùn)動與實(shí)際大氣高層的準(zhǔn)水平運(yùn)動仍存在很大的偏差。隨著GRAPES模式分辨率的提高，Gal.C.S坐標(biāo)可識別的地形坡度增大，地形重力波會被嚴(yán)重歪曲，出現(xiàn)波動扭曲、破碎的現(xiàn)象。

Sch?r等（2002）提出平緩坐標(biāo)（smoothed-level coordinate，簡稱SLEVE坐標(biāo)）的概念，在不改變高度地形追隨坐標(biāo)定義的前提下，對坐標(biāo)形式做變形，通過隨高度變化的地形衰減系數(shù)控制各個(gè)模式面上的地形影響作用的大小，并設(shè)計(jì)試驗(yàn)比較了單尺度SLEVE1坐標(biāo)和雙尺度SLEVE2坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)兩種坐標(biāo)有效地減小了地形引起的各種模擬偏差，SLEVE2坐標(biāo)對緩解小尺度的模擬噪音效果更佳。李超等（2012a）選取不同的地形衰減函數(shù)，進(jìn)行了一系列理論分析和理想試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果展示了平緩-混合坐標(biāo)在減小氣壓梯度力計(jì)算誤差、平流耗散等方面的模擬優(yōu)勢。李超等（2012b）基于GRAPES模式選取Gal.C.S坐標(biāo)和平緩-混合SLEVE1坐標(biāo)進(jìn)行了初步的模式設(shè)計(jì)并進(jìn)行了簡單的個(gè)例模擬檢驗(yàn)分析，SLEVE1坐標(biāo)對預(yù)報(bào)量的小尺度噪音有所衰減，各個(gè)預(yù)報(bào)量的檢驗(yàn)誤差也有所減小。Li等（2015）基于 GRAPES模式選取 Gal.C.S坐標(biāo)、SLEVE1坐標(biāo)、SLEVE2坐標(biāo)和一種以余弦函數(shù)為衰減基函數(shù)的COS坐標(biāo)進(jìn)行了理想試驗(yàn)和實(shí)際批量模擬試驗(yàn)。各種形式平緩-混合坐標(biāo)相比較發(fā)現(xiàn)，SLEVE2坐標(biāo)對計(jì)算誤差衰減最大，較好地提高了預(yù)報(bào)能力。張旭等（2015）將 Klemp（2011）提出的一種隨高度逐層平滑地形作用的平緩-混合坐標(biāo)形式（下文簡稱Klemp坐標(biāo)）應(yīng)用于GRAPES區(qū)域模式，通過理想試驗(yàn)和簡單個(gè)例模擬試驗(yàn)對這種坐標(biāo)的優(yōu)勢進(jìn)行了初步的探討。李超等（2019）設(shè)計(jì)了一種新的COS坐標(biāo)，有效解決了Li等（2015）中COS坐標(biāo)理想試驗(yàn)結(jié)果最優(yōu)而實(shí)際模擬結(jié)果較差的問題，新的COS坐標(biāo)在底層設(shè)計(jì)也更加靈活。李超等（2020）比較了幾種平緩-混合地形追隨坐標(biāo)對典型個(gè)例模擬的影響，發(fā)現(xiàn)平緩-混合坐標(biāo)可以有效緩解GRAPES模式南風(fēng)偏大、虛假降水和虛假天氣系統(tǒng)等問題。

隨著GRAPES模式分辨率進(jìn)一步提高，GRAPES-3km模式中地形可識別的最大高度接近7 km，而上述基于 GRAPES-10km和 GRAPES-15km的模式研究工作最大識別地形均在6 km以下，更高分辨率下的平滑-混合坐標(biāo)模擬試驗(yàn)還需要進(jìn)行重新設(shè)計(jì)并檢驗(yàn)結(jié)果。另外，張旭等（2015）對Klemp（2011）坐標(biāo)的研究工作顯示，在較低分辨率的GRAPES模式中，該坐標(biāo)的個(gè)例模擬試驗(yàn)有較好的預(yù)報(bào)改進(jìn)效果，而在分辨率較高的GRAPES-3km模式中，該坐標(biāo)的批量預(yù)報(bào)試驗(yàn)效果還需要進(jìn)一步的研究。本研究選取前期研究效果較好的SLEVE1坐標(biāo)與Klemp坐標(biāo)基于GRAPES-3km模式進(jìn)行一系列的比較研究工作，為高分辨率GRAPES模式動力框架垂直坐標(biāo)的選擇提供一定的參考。

2 坐標(biāo)介紹

李超等（2012a）給出通用坐標(biāo)形式

式中，L為地形尺度譜的數(shù)目，為地形臨界衰減高度，bh?i為地形衰減系數(shù)，ZSi為地形高度，z為坐標(biāo)面絕對高度，為坐標(biāo)面相對高度。

對于GRAPES-3km模式目前采用的Gal.C.S坐標(biāo)有對于單尺度平緩SLEVE1坐標(biāo)有地形作用在高度上衰減為地形的1 / e。

Klemp （2011）提出在 COS坐標(biāo)（李超等，2012a）基礎(chǔ)上，對地形進(jìn)行逐層平滑，得到坐標(biāo)形式（簡稱Klemp坐標(biāo)）。

式中，

式中，Zc為 地形作用衰減為0的高度，ZSk為每層坐標(biāo)面上地形作用的高度。Klemp坐標(biāo)的地形濾波方案滿足圖1所列出的計(jì)算流程，其中m是每一層的平滑濾波次數(shù)，k是垂直層數(shù)。每一層都以上一層經(jīng)過m次濾波得到的地形為基礎(chǔ)進(jìn)行濾波。濾波采用拉普拉斯的二階濾波方法

圖1 Klemp 坐標(biāo)地形逐層濾波方案Fig.1 The terrain filter scheme of Klemp coordinate

式中，i和j為水平格點(diǎn)數(shù)。濾波系數(shù) βk是一個(gè)分段系數(shù)：表示坐標(biāo)面高度，在2倍的地形高度以下濾波系數(shù)隨高度升高線性增大，2倍的地形高度以上則為常數(shù)。

Klemp坐標(biāo)與其他平緩-混合地形追隨坐標(biāo)差別在于地形補(bǔ)償項(xiàng)中的ZSk是一個(gè)三維變量。需要注意的是，并不是把地形變成了三維變量，而是坐標(biāo)面上的地形作用隨高度是變化的。

高分辨率模式中可識別的地形更加精細(xì)。例如，GRAPES-15km模式可識別的地形最大高度是5800 m左右，而GRAPES-3km模式可識別的最大高度達(dá)到6800 m（圖2）。3 km分辨率模式垂直分為51層，比15 km模式的31分層更細(xì)，如果使用GRAPES-15km模式中平緩-混合坐標(biāo)的地形臨界衰減高度（Li，et al，2015），GRAPES-3km 模式中地形較高點(diǎn)上空的模式面厚度就會過薄，導(dǎo)致計(jì)算不穩(wěn)定。GRAPES-3km模式中平緩-混合坐標(biāo)的設(shè)計(jì)應(yīng)用面臨新的問題，Klemp坐標(biāo)對坐標(biāo)面的進(jìn)一步平滑會使這種計(jì)算不穩(wěn)定更容易出現(xiàn)。下面的實(shí)際模擬試驗(yàn)對坐標(biāo)的參數(shù)設(shè)計(jì)做了試驗(yàn)分析。

3 基于 Klemp 坐標(biāo)的動力框架方程推導(dǎo)

高度地形追隨坐標(biāo)中地形作用對模式動力框架的影響主要體現(xiàn)在氣壓梯度力、垂直速度、散度等物理量的計(jì)算上。下面就基于Klemp坐標(biāo)對垂直速度、散度等物理量做進(jìn)一步推導(dǎo)。

圖2 地形高度分布 （a.GRAPES-15km 模式，b.GRAPES-3km 模式；單位：m）Fig.2 Distribution of terrain height （a.GRAPES-15km model，b.GRAPES-3km model；unit：m）

（1）垂直速度

則：

又，

式中，z=Zs和z=ZT時(shí) ，w?Sk=0。

得出：

式中，

又，

（2）水平氣壓梯度力

式中， φSk(x,y,z)=gZSk(x,y,z)為坐標(biāo)面的位勢高度。

（3）球面坐標(biāo)下的水平散度

對于三維散度中的垂直速度的垂直變化，有：整理得

式中，

則

于是，三維散度（D3）可表示為

綜合上述公式推導(dǎo)可以看出，與Li等（2015）中動力框架方程推導(dǎo)相比，基于Klemp坐標(biāo)的模式動力框架中地形以及地形偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)的項(xiàng)有所改變，動力框架中涉及到垂直速度、散度等的線性項(xiàng)、非線性項(xiàng)以及亥姆赫茲方程中相關(guān)的系數(shù)也要做相應(yīng)的改變（薛紀(jì)善等，2008），這里不再做詳細(xì)介紹。

4 理想試驗(yàn)和實(shí)際試驗(yàn)

下面選擇GRAPES-3km模式目前采用的Gal.C.S坐標(biāo)、前期研究模擬結(jié)果較好的SLEVE1坐標(biāo)以及改進(jìn)的Klemp坐標(biāo)進(jìn)行一系列模擬試驗(yàn)，對比分析改進(jìn)的Klemp坐標(biāo)在GRAPES-3km模式中的模擬性能。

4.1 地形重力波理想試驗(yàn)

低層大氣中不同尺度的山脈會激發(fā)出形狀尺度不同、傳播方向各異的重力波。山脈重力波在大氣底層的結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，這也是引發(fā)天氣狀況的重要原因。下面是層結(jié)穩(wěn)定的干空氣穿過二維地形激發(fā)出山脈重力波的理想試驗(yàn)。上游大氣廓線設(shè)置為：布朗特?cái)?shù)N= 0.01，x方向水平速度U=10 m/s，上游地表面參考位溫為280 K。

鐘形地形疊加上小尺度的波動形成理想地形，其函數(shù)形式滿足

試驗(yàn)計(jì)算區(qū)域設(shè)置為：（?25000，25000）m×（0，21000）m，Δx=250m， Δ ξ =210m，下邊界為無通量的邊界條件，上邊界為9 km的吸收邊界，側(cè)邊界為開放邊界。無物理過程和擴(kuò)散的條件下積分10 h，比較各種坐標(biāo)的垂直風(fēng)速的分布。

從積分模擬結(jié)果（圖3）可見，平緩坐標(biāo)可以有效緩解地形追隨坐標(biāo)帶來的重力波變形破碎的問題。Klemp坐標(biāo)模擬的重力波（圖3d）形狀更接近解析解（圖3a），重力波變形的情況在中高層基本消失。

4.2 月連續(xù)試驗(yàn)

理論分析和理想試驗(yàn)中改進(jìn)的Klemp坐標(biāo)可以有效減小坐標(biāo)面地形影響，模擬出更接近解析值的重力波，而在實(shí)際應(yīng)用中地形更加復(fù)雜，物理和動力耦合起來后，坐標(biāo)參數(shù)設(shè)置考慮的因素也更加復(fù)雜。下面選用GRAPES-3km模式對2018年9月1—30日進(jìn)行24 h滾動預(yù)報(bào)，檢驗(yàn)Klemp坐標(biāo)在長期的批量預(yù)報(bào)試驗(yàn)中的改進(jìn)效果。該試驗(yàn)水平分辨率為0.03°×0.03°，垂直方向分為51層；積分時(shí)間步長為30 s；試驗(yàn)初始場和邊界場由分辨率為1°×1°的NCEP再分析資料提供，不做資料同化；模擬范圍為（10°—60°N，70°—145°E），選用一維大氣參考廓線。微物理過程采用WMS6方案，長波輻射過程采用RRTM方案，短波積云輻射過程采用SWRAD方案，地表層物理方案采用SFC方案，陸面過程采用NOAH方案，邊界層參數(shù)化采用NMRF方案，無積云參數(shù)化方案。

GRAPES-3km模式可識別的地形最大高度接近7 km，較小的臨界衰減高度（h?）易造成計(jì)算不穩(wěn)定，所以 SLEVE1坐標(biāo)h?取值 15 km，這相對于GRAPES_15km中SLEVE1坐標(biāo)h?有所增大（Li，et al，2015）。改進(jìn)的 Klemp 坐標(biāo)相對于 Klemp（2011）以及張旭等（2015）的參數(shù)設(shè)計(jì)也有所不同。考慮到3 km模式可識別的地形坡度較大、中國區(qū)域東西地形高度跨度較大、同一經(jīng)緯度坐標(biāo)面之間厚度差異較大也會帶來計(jì)算誤差，實(shí)際試驗(yàn)中改進(jìn)的Klemp坐標(biāo)各層平滑系數(shù)取每層平滑14次，衰減系數(shù)（bh?）中zc取值30 km，參數(shù)n取 值3，z0暫時(shí)取值為0?？梢钥闯鲞@里平滑系數(shù)較 Klemp（2011）以及張旭等（2015）有所提高，平滑次數(shù)有所減少，衰減參數(shù)相對李超等（2019）也有所改變。參數(shù)的設(shè)計(jì)目前還未找到定量的標(biāo)準(zhǔn)，在最大化減小坐標(biāo)面上地形影響作用的前提下，經(jīng)過多種嘗試獲得1組能夠較好體現(xiàn)預(yù)報(bào)效果的參數(shù)。在上述的參數(shù)設(shè)置下，3種坐標(biāo)的坐標(biāo)面分布如圖4所示。Klemp坐標(biāo)在SLEVE1坐標(biāo)的基礎(chǔ)上對坐標(biāo)面上的小尺度地形進(jìn)一步衰減，由此帶來的氣壓梯度力計(jì)算誤差和平流輸送誤差也會進(jìn)一步減?。ɡ畛?，2012a）。

圖3 穩(wěn)定氣流過山積分10 h三種坐標(biāo)的垂直速度分布與解析值比較（a.解析值，b.Gal.C.S 坐標(biāo)，c.SLEVE1 坐標(biāo)，d.Klemp 坐標(biāo)；等值線間隔為 0.05 m/s；時(shí)間步長為 0.3 s；橫坐標(biāo)是偏離中心位置的距離，縱坐標(biāo)是距離地面的高度）Fig.3 Cross-section of vertical velocity after 10 hours of integration for steady-state flow over belle-shaped mountain（a.analytic solution，b.with Gal.C.S，c.with SLEVE1，d.with Klemp；the contour interval is 0.05 m/s；the abscissa denotes the distance away from the domain center，the coordinate denotes the vertical level height above the ground surface）

批量試驗(yàn)結(jié)果顯示，與FNL再分析資料相比，SLEVE1和Klemp坐標(biāo)的高層溫度場24 h預(yù)報(bào)平均偏差有較明顯減小。100和250 hPa溫度場偏差（圖5）相比GRAPES-3km模式中目前的Gal.C.S坐標(biāo)在青藏高原和蒙古國上空有兩個(gè)較集中的減小區(qū)域。沿28°N剖面的V風(fēng)場平均偏差（圖6）顯示平緩坐標(biāo)在高層的偏差有較明顯的減小，特別是平滑地形的Klemp坐標(biāo)在100 hPa以上幾個(gè)偏差大值中心均消失。為分區(qū)域檢驗(yàn)降水預(yù)報(bào)結(jié)果，將中國劃分為8個(gè)區(qū)域（圖7）分別檢驗(yàn)24 h降水累加ETS評分（圖8），結(jié)果顯示：從中國區(qū)域來看，Klemp坐標(biāo)對中雨、大雨、暴雨的評分較Gal C.S坐標(biāo)有一定程度提高，也整體優(yōu)于SLEVE1坐標(biāo)。對受青藏高原大地形影響較明顯的長江中下游、華南、西南東部地區(qū)，Klemp坐標(biāo)小雨評分較高，可能與其對小尺度地形的平滑作用有關(guān)。其他降水量級的評分沒有特別顯著的規(guī)律。但是在西南東部地區(qū)，平緩混合坐標(biāo)的評分幾乎全部優(yōu)于Gal.C.S坐標(biāo)，特別是Klemp坐標(biāo)的降水評分有較大程度地提高。這也說明平緩混合坐標(biāo)帶來的計(jì)算誤差對西南東部地區(qū)即青藏高原下游的云貴高原和四川盆地等地的降水有較大影響。

圖4 GRAPES-3km 模式中 3 種坐標(biāo)沿 28°N 的模式面分布 （a.Gal.C.S 坐標(biāo)，b.SLEVE1 坐標(biāo)，c.Klemp 坐標(biāo)）Fig.4 Coordinate surfaces of the GRAPES-3km model along 28°N （a.for Gal.C.S，b.for SLEVE1，c.for Klemp）

圖5 3 種坐標(biāo) （a.Gal.C.S 坐標(biāo)，b.SLEVE1 坐標(biāo)，c.Klemp 坐標(biāo)） 批量試驗(yàn) 24 h 預(yù)報(bào)100 hPa （a1—c1） 和 250 hPa （a2—c2） 溫度平均偏差場 （單位：K）Fig.5 Monthly averaged 24 h forecast bias of temperature at 100 hPa （a1—c1） and 250 hPa （a2—c2） against analysis with （a） the Gal.C.S，（b） the SLEVE1 and （c） the Klemp coordinate （unit：K）

圖6 3 種坐標(biāo) （a.Gal.C.S 坐標(biāo)，b.SLEVE1 坐標(biāo)，c.Klemp 坐標(biāo)） 批量試驗(yàn) 24 h 預(yù)報(bào)沿 28°N 剖面 V 風(fēng)速的平均偏差場 （單位：m/s）Fig.6 Longitude-height cross sections along 28°N of monthly averaged 24 h forecast bias of V wind against analysis with（a） the Gal.C.S，（b） the SLEVE1 and （c） the Klemp coordinate （unit：m/s）

圖7 降水評分中國區(qū)域劃分 （1.東北地區(qū)，2.新疆地區(qū)，3.西北地區(qū)，4.華北地區(qū)，5.西藏地區(qū)，6.西南地區(qū)東部，7.長江中下游地區(qū)，8.華南區(qū)）Fig.7 Subregions in China for precipitation ETS score（1.Northeast China，2.Xinjiang region，3.Northwest China，4.North China，5.Tibet region，6.Southwest China，7.the middle-lower reaches of Yangtze River，8.South China）

圖8 2018 年 9 月 1—30 日 24 h 降水預(yù)報(bào)累加檢驗(yàn)平均 ETS 評分（a.中國區(qū)域，b.長江中下游區(qū)域，c.華南區(qū)域，d.西南東部區(qū)域）Fig.8 Precipitation ETS scores for 24 h forecast（a.entire China，b.the middle-lower reaches of Yangtze River，c.South China，d.Southwest China）

5 結(jié) 論

平緩地形追隨坐標(biāo)可以通過調(diào)整地形衰減系數(shù)來約束坐標(biāo)面上的地形作用，在這個(gè)基礎(chǔ)上進(jìn)一步對逐層坐標(biāo)面進(jìn)行平滑又可以將小尺度的地形影響剔除，得到更加平滑的坐標(biāo)面，進(jìn)一步減小各種計(jì)算誤差。

文中將逐層平滑地形的平緩地形追隨坐標(biāo)應(yīng)用到高分辨率的GRAPES-3km模式中進(jìn)行理想試驗(yàn)和批量模擬試驗(yàn)，得到如下的初步結(jié)論：

（1）相對于其他平緩地形追隨坐標(biāo)，逐層平滑地形的平緩地形追隨坐標(biāo)地形重力波模擬更接近解析值，波形變形和破碎問題進(jìn)一步緩解。

（2）月連續(xù)模擬試驗(yàn)中逐層平滑地形的平緩地形追隨坐標(biāo)對高層月平均的溫度場、風(fēng)場模擬誤差有一定程度減小，中國范圍內(nèi)月平均的降水評分也有所提高，西南地區(qū)東部的評分提高更加明顯。

（3）無論是普通的平緩地形追隨坐標(biāo)還是平滑地形的平緩地形追隨坐標(biāo)，參數(shù)的設(shè)置都至關(guān)重要。高分辨率的GRAPES-3km模式對中國范圍的模擬對坐標(biāo)參數(shù)的設(shè)置更加敏感。保證計(jì)算穩(wěn)定、追求坐標(biāo)面平滑、得到較好的模擬結(jié)果三者同時(shí)達(dá)到需要對參數(shù)反復(fù)試驗(yàn)調(diào)整。

平滑地形的平緩地形追隨坐標(biāo)是目前國際上最先進(jìn)的平緩地形追隨坐標(biāo)形式，也在高分辨率的GRAPES模式中得到了較好的應(yīng)用結(jié)果。該坐標(biāo)對模式分辨率、模式分層等有較高的依賴，所以在對業(yè)務(wù)模式進(jìn)行改進(jìn)升級時(shí)，也需要同步地調(diào)整該坐標(biāo)的參數(shù)設(shè)置。