霍振華 李曉莉 陳 靜 劉永柱

1.中國氣象局?jǐn)?shù)值預(yù)報中心，北京，100081

2.國家氣象中心，北京，100081

1 引 言

由于初始誤差、模式誤差的存在，以及大氣運動本身的混沌特性，單一確定性預(yù)報存在不確定性，集合預(yù)報正是解決這一問題的有效手段（Leith，1974）。作為制作集合預(yù)報的關(guān)鍵，初始擾動的生成極為重要，其始于20世紀(jì)70年代。幾十年來，國際上已發(fā)展了多種集合預(yù)報初值擾動方法。其中，奇異向量方法（Singular Vector，SV；Lorenz，1965；Mureau， et al， 1993； Molteni， et al， 1996； Buizza，1997；Leutbecher，et al，2008）已成功應(yīng)用于歐洲中期 天 氣 預(yù) 報 中 心 （ European Centre for Medium-Range Weather Forecasts，ECMWF）、日本氣象廳（Japan Meteorological Agency，JMA）、加拿大氣象局（Canadian Meteological Center，CMC）和中國氣象局（China Meteological Center，CMA）。

奇異向量（SV）基于非線性模式的切線性和伴隨模式計算得到，是線性模式中增長最快的初始擾動，可以描述大氣在中高緯度的斜壓不穩(wěn)定（Buizza，et al，1993；Hoskins，et al，2000）。此外，奇異向量方法在熱帶氣旋（Tropical cyclone，TC）集合預(yù)報方面具有較好的表現(xiàn)。熱帶地區(qū)的非絕熱過程很重要且具有很強的非線性，對于熱帶地區(qū)，奇異向量對切線性模式中非絕熱物理過程很敏感，如果計算整個熱帶地區(qū)的奇異向量（簡稱熱帶SV），有時會生成在非線性模式中不增長的虛假結(jié)構(gòu)（Barkmeijer，et al，2001）。因此，對于熱帶地區(qū)，當(dāng)存在熱帶氣旋時，ECMWF全球集合預(yù)報系統(tǒng)計算針對熱帶氣旋目標(biāo)區(qū)的濕（切線性和伴隨模式中使用非絕熱物理過程）奇異向量（即濕TCSV），以表征熱帶氣旋內(nèi)部及附近區(qū)域的初始不確定性（Barkmeijer，et al，2001；Puri，et al，2001），從而對熱帶氣旋預(yù)報比較有效。Zadra等（2004）指出，奇異向量對線性物理過程非常敏感，使用不同的線性物理過程組合可以得到具有不同結(jié)構(gòu)和發(fā)展特征的奇異向量。Kim等（2009）指出，濕線性物理過程和濕總能量范數(shù)可以增大奇異向量的增長率，使其具有更小尺度的水平結(jié)構(gòu)和更加集中在邊界層的擾動分布，使用濕線性物理過程和濕總能量范數(shù)得到的奇異向量其總能量大值集中在熱帶氣旋周圍。研究不同物理過程對奇異向量空間結(jié)構(gòu)及其增長特征的影響，不僅可以為熱帶氣旋集合預(yù)報初值擾動的生成提供科學(xué)依據(jù)，還可以幫助分析線性物理過程的合理性。

全球區(qū)域一體化同化預(yù)報系統(tǒng)（Global/Regional Assimilation and Prediction System， GRAPES）是在中華人民共和國科學(xué)技術(shù)部和中國氣象局支持下中國自主研發(fā)的新一代數(shù)值預(yù)報系統(tǒng)（陳德輝等，2006；薛紀(jì)善等，2008；Zhang，et al，2008；龔建東等，2016；蘇勇等，2018；劉艷等，2019）?；贕RAPES 全球預(yù)報系統(tǒng)（GRAPES Global Forecast System，GRAPES-GFS）的切線性和伴隨模式，中國氣象局?jǐn)?shù)值預(yù)報中心開展了基于總能量模的全球奇異向量求解技術(shù)及基于奇異向量產(chǎn)生集合預(yù)報初值擾動的研發(fā)（劉永柱等，2011，2013；李曉莉等，2019a，2019b；霍振華等，2020），并在 2018年 12月業(yè)務(wù)運行的GRAPES全球集合預(yù)報系統(tǒng)得到應(yīng)用。如前所述，切線性和伴隨模式中濕線性化物理過程方案的使用對TCSV的結(jié)構(gòu)有重要影響，目前在GRAPES_GEPS中，與中高緯度目標(biāo)區(qū)奇異向量計算設(shè)置相同，TCSV計算也采用干線性物理過程的設(shè)置（線性邊界層（Planetary Boundary Layer，PBL）方案和線性次網(wǎng)格尺度地形拖曳（Mountain Blocking，MB）方案），這會造成TCSV的結(jié)構(gòu)在某種程度上不能較好地體現(xiàn)熱帶氣旋初值的不確定性。隨著GRAPES-GFS切線性和伴隨模式的完善，包括了更多的線性化物理過程（劉永柱等，2019），尤其是濕線性物理過程如大尺度凝結(jié)和積云對流，這使得基于GRAPES-GFS開展不同線性物理過程對奇異向量，尤其是TCSV的影響研究成為可能。然而，在研究這些線性化物理過程對TCSV的影響時，發(fā)現(xiàn)存在部分奇異向量非線性積分崩潰的問題。這些非線性積分崩潰的奇異向量，一方面說明其結(jié)構(gòu)可能存在擾動變量之間不協(xié)調(diào)之處，另一方面阻礙分析線性物理過程對奇異向量的影響，從而影響到奇異向量初值擾動方法的優(yōu)化改進(jìn)。因此，有必要對原有的奇異向量求解方法進(jìn)行改進(jìn)，以解決奇異向量非線性積分崩潰問題，進(jìn)而改進(jìn)GRAPES全球集合預(yù)報效果。

GRAPES全球數(shù)值預(yù)報模式（薛紀(jì)善等，2008）是一個非靜力、半隱式半拉格朗日的均勻經(jīng)緯度格點模式，采用了高度地形追隨坐標(biāo)。為了提高垂直運動方程的計算精度，模式引入含復(fù)雜地形的參考大氣，參考大氣溫度為常數(shù)（T0），參考Exner氣壓變量（Πr）和參考位溫（θr）滿足靜力平衡關(guān)系。GRAPESGFS 在近些年得到了快速的發(fā)展（Huang Y Y，et al，2013；Huang B，et al，2014），可以較好地預(yù)報副熱帶高壓（Chen，et al，2008）。

在GRAPES全球數(shù)值預(yù)報模式的基礎(chǔ)上，中國氣象局?jǐn)?shù)值預(yù)報中心發(fā)展了預(yù)報時效為15 d的GRAPES全球集合預(yù)報系統(tǒng)（GRAPES-GEPS），集合成員數(shù)為 31，水平分辨率為 0.5°×0.5°，垂直層數(shù)為60。GRAPES-GEPS基于奇異向量方法產(chǎn)生初值擾動（劉永柱等，2011，2013；李曉莉等，2019a，2019b；霍振華等，2020），使用隨機物理傾向項擾動方 法 （Stochastically perturbed parameterization tendencies，SPPT；袁月等，2016；李曉莉等，2019a）和動能后向散射補償擾動方法（Stochastic Kinetic Energy Backscatter，SKEB；彭飛等，2019）對模式物理過程傾向進(jìn)行隨機擾動。作為GRAPES-GEPS的核心，奇異向量求解采用分目標(biāo)區(qū)計算，分別以北半球副熱帶地區(qū)、南半球副熱帶地區(qū)為目標(biāo)區(qū)域計算奇異向量，進(jìn)而對其進(jìn)行線性組合以產(chǎn)生初值擾動，并將初值擾動以正、負(fù)擾動對的形式疊加在分析場上生成擾動初值場。當(dāng)存在熱帶氣旋時，以熱帶氣旋為中心10°×10°的范圍為目標(biāo)區(qū)域求解TCSV，將TCSV和副熱帶SV及演化SV線性組合產(chǎn)生初值擾動。

針對TCSV在非線性積分時出現(xiàn)計算崩潰問題，為研究線性物理過程對奇異向量的影響創(chuàng)造條件，有必要改進(jìn)奇異向量求解方法，進(jìn)而改善GRAPES全球集合預(yù)報效果?；谝呀?jīng)建立的GRAPES-GEPS，改進(jìn)奇異向量求解方法，發(fā)展了靜力平衡奇異向量改進(jìn)方法，并進(jìn)行集合預(yù)報試驗，對比分析奇異向量求解方法改進(jìn)前、后TCSV的結(jié)構(gòu)特征和初值擾動特征，評估靜力平衡奇異向量改進(jìn)方法對北半球和南半球等壓面要素集合預(yù)報、熱帶氣旋路徑集合預(yù)報和中國地區(qū)24 h累計降水概率預(yù)報技巧的影響。

2 試驗方案與資料

2.1 試驗方案

2.1.1 原有的奇異向量求解方法

GRAPES全球模式奇異向量的計算需要使用相應(yīng)的切線性和伴隨模式。在計算奇異向量時，忽略初始時刻的垂直運動，GRAPES切線性模式的大氣基本狀態(tài)向量為（u，v，θ′，Π′），其擾動向量為GRAPES模式預(yù)報變量的擾動向量，分別由緯向風(fēng)擾動向量（u′）、經(jīng)向風(fēng)擾動向量（v′）、擾動位溫的擾動向量 (θ′)′和擾動Exner氣壓變量的擾動向量(Π′)′組成，即擾動向量x=(u′,v′,(θ′)′,(Π′)′)。有關(guān)奇異向量求解的細(xì)節(jié)參見劉永柱等（2011）。下面簡要介紹一下奇異向量的計算方案。

對于給定的權(quán)重模，奇異向量是在最優(yōu)化時間間隔內(nèi)增長最快的一組正交擾動。對于一個初始擾動向量x0，經(jīng)過GRAPES全球切線性模式（記為L）一定時間的向前積分可以獲得線性演化的擾動向量xt=Lx0。在本文中，取最優(yōu)化時間間隔為2 d，求解奇異向量和演化SV。GRAPES全球奇異向量的求解可歸結(jié)為演化擾動向量(xt)模與初始擾動向量(x0)模比值的最大化問題。

式中，λ為奇異向量值，E為度量擾動大小的權(quán)重模，P是投影算子，上標(biāo)T是轉(zhuǎn)置符號。為獲得某個特定目標(biāo)區(qū)域內(nèi)增長最快的奇異向量擾動，在此引入了投影算子P，通過該投影算子將實際計算過程中目標(biāo)區(qū)之外的擾動設(shè)置為0。式（1）可轉(zhuǎn)換為如下的奇異值分解問題。

式中，xi表示求解出的第i個奇異向量， λi為對應(yīng)的第i個奇異值。式中，LT為GRAPES全球切線性模式的轉(zhuǎn)置，也就是伴隨模式。對于式（2）定義的GRAPES奇異向量計算問題可以采用洛倫茲迭代算法求解，在迭代過程中需多次積分切線性模式L及伴隨模式LT。

在計算GRAPES奇異向量時，采用的權(quán)重模為總能量模（劉永柱等，2013），擾動量的總能量模（E）的計算如下

式中，前面兩項之和為擾動動能（kinetic energy，KE）模，后兩項之和表示擾動位能（potential energy，PE）模，其中第3項和第4項分別表示位能中擾動位 溫 (θ′)′和 擾 動 無 量 綱 氣 壓 (Π′)′分 量 的 貢 獻(xiàn) 。 式（3）中，為地形追隨坐標(biāo)，λ和 φ 分別代表模式球面坐標(biāo)系中的經(jīng)度和緯度，cp為干空氣的定壓比熱。Tr、θr、Πr和 ρr分別表示參考溫度、參考位溫、參考無量綱氣壓和參考密度，其計算公式分別為

式中，Rd為干空氣氣體常數(shù)，pr為標(biāo)準(zhǔn)大氣，Tr為參考溫度，g為重力加速度。

以2019年8月8日12時（世界時，下同）為初始時刻，此時存在1909號臺風(fēng)“利奇馬”和1910號臺風(fēng)“羅莎”。表1給出了不同試驗方案的配置，其中PBL為線性邊界層方案，MB為線性次網(wǎng)格尺度地形拖曳方案，LC為線性大尺度凝結(jié)方案，CU為線性積云對流方案。針對不同的試驗方案，以2019年8月8日12時為初始時刻，采用原有的奇異向量計算方法，求解了兩個臺風(fēng)對應(yīng)的前5個TCSV。針對表1中的5組試驗方案，分別進(jìn)行了計算出的奇異向量非線性積分試驗（積分48 h），以分析奇異向量擾動，特別是濕線性化物理過程奇異向量在非線性模式積分中的穩(wěn)定性。結(jié)果表明，試驗方案test_pbl、test_lc、test_cu、test_lc_cu兩個臺風(fēng)都存在對應(yīng)的TCSV非線性積分崩潰的情況。test_mb試驗第21個北半球奇異向量同樣出現(xiàn)了非線性積分崩潰的現(xiàn)象。這些非線性積分崩潰的奇異向量，一方面說明其結(jié)構(gòu)可能存在擾動變量之間不協(xié)調(diào)之處，另一方面阻礙分析線性物理過程對奇異向量的影響，從而影響到奇異向量初值擾動方法的優(yōu)化改進(jìn)。因此，需要改進(jìn)奇異向量求解方法，解決其非線性積分崩潰問題。

表1 不同試驗方案所使用的線性物理過程Table 1 Linearized physical processes used for different experiment schemes

2.1.2 靜力平衡奇異向量改進(jìn)方法

原奇異向量求解方法初始時刻，擾動位溫(θ′)′和擾動無量綱氣壓 (Π′)′分量是式（2）中需求解的奇異向量的兩個獨立擾動變量分量。在洛倫茲迭代算法流程中，獨立進(jìn)行切線性模式和伴隨模式循環(huán)積分迭代，最終獲得獨立的奇異向量擾動位溫和擾動無量綱氣壓分量。上述處理可能導(dǎo)致擾動初始場的靜力平衡關(guān)系（式（5））遭到較為嚴(yán)重破壞，從而使奇異向量在非線性模式積分時崩潰。奇異向量非線性積分崩潰，一方面說明其結(jié)構(gòu)可能存在擾動變量之間不協(xié)調(diào)之處，另一方面阻礙分析線性物理過程對奇異向量的影響，從而影響到奇異向量初值擾動方法的優(yōu)化改進(jìn)。為此，本研究對奇異向量計算流程（劉永柱等，2013）進(jìn)行改進(jìn)，使得擾動位溫和擾動無量綱氣壓分量之間符合靜力平衡關(guān)系。在迭代求解的每一步，對初始擾動向量（進(jìn)行切線性模式積分的擾動向量）中的氣壓擾動分量根據(jù)靜力平衡關(guān)系，由擾動向量中的位溫擾動和比濕擾動來獲得（如式（6）所示），其他計算流程和原奇異向量求解方法保持一致，進(jìn)而循環(huán)迭代獲得擾動變量具有靜力平衡關(guān)系特征的GRAPES SV。

式中，Π為無量綱氣壓，q為比濕，θ為位溫。

式中，q′為比濕擾動。目前，在GRAPES全球集合預(yù)報業(yè)務(wù)系統(tǒng)中，初值擾動尚未包括比濕擾動，奇異向量不包括比濕擾動。因此，在本研究中，q′=0。

基于靜力平衡奇異向量改進(jìn)方法，分別重新計算兩個臺風(fēng)對應(yīng)于表1中不同試驗方案的前5個TCSV，并進(jìn)行了對應(yīng)的非線性模式積分。結(jié)果表明，使用靜力平衡奇異向量改進(jìn)方法得到的TCSV，均可以正常非線性積分。此外，在新方案中采用test_mb方案時，北半球和南半球奇異向量都可以正常非線性積分，在原奇異向量計算方案中北半球第21個奇異向量非線性積分崩潰的問題也得到了解決。

靜力平衡奇異向量改進(jìn)方法可以解決奇異向量的非線性積分崩潰問題，然而奇異向量求解方法的最終目的是產(chǎn)生集合預(yù)報所需要的初值擾動以期得到具有較高技巧的集合預(yù)報結(jié)果，因此有必要分析該方法對奇異向量結(jié)構(gòu)、初值擾動及集合預(yù)報技巧的影響。目前GRAPES全球集合預(yù)報業(yè)務(wù)系統(tǒng)中使用的線性物理過程為PBL和MB，因此采用線性物理過程PBL和MB對比分析奇異向量求解方法改進(jìn)前、后TCSV和初值擾動的結(jié)構(gòu)特征及其集合預(yù)報技巧。原奇異向量求解方法簡稱為原方法，靜力平衡奇異向量改進(jìn)方法簡稱為新方法。

2.1.3 試驗設(shè)計

為分析新方法對GRAPES-GEPS奇異向量及初值擾動的影響，選取2019年8月8日12時為初始時刻，采用原方法和新方法，分別求解臺風(fēng)利奇馬和羅莎對應(yīng)的TCSV，分析了兩種方法對應(yīng)的TCSV和初值擾動的結(jié)構(gòu)特征。進(jìn)而開展了基于兩種方法初值擾動的集合預(yù)報試驗（2019年8月4、6、8、11、13和 15日每天進(jìn)行，12時起報），分析了兩組集合預(yù)報試驗對北半球和南半球等壓面要素集合預(yù)報、熱帶氣旋路徑集合預(yù)報和中國地區(qū)24 h累計降水概率預(yù)報技巧的差異。在進(jìn)行集合預(yù)報試驗時，采用SPPT和SKEB模式擾動方案，集合成員數(shù)為31個。

2.2 資 料

基于GRAPES-GEPS求解奇異向量并進(jìn)行集合預(yù)報試驗時，初值根據(jù)GRAPES-GFS業(yè)務(wù)同化分析場插值得到，初始時刻熱帶氣旋定位信息來自國家氣象信息中心GTS通訊網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)，臺風(fēng)路徑和強度集合預(yù)報檢驗評估采用中央氣象臺提供的熱帶氣旋最佳路徑數(shù)據(jù)，降水預(yù)報檢驗采用國家氣象信息中心2400多個國家級自動氣象觀測站的降水觀測資料。

3 靜力平衡奇異向量改進(jìn)方法對奇異向量和初值擾動結(jié)構(gòu)的影響

選取2019年8月8日12時為初始時刻，采用原方法和新方法，分別求解臺風(fēng)利奇馬和羅莎對應(yīng)的TCSV，分析了兩種方法對應(yīng)的TCSV和初值擾動的結(jié)構(gòu)特征。由于臺風(fēng)羅莎和利奇馬對應(yīng)的TCSV結(jié)構(gòu)類似，以下以臺風(fēng)利奇馬為例，分析兩種方法對應(yīng)的TCSV結(jié)構(gòu)特征。

3.1 熱帶氣旋奇異向量結(jié)構(gòu)分析

圖1給出了原方法和新方法臺風(fēng)利奇馬對應(yīng)的前5個TCSV（放大1000倍）對應(yīng)的能量分布特征，其中，圖1a1—a3和圖1b1—b3分別對應(yīng)的是原方法和新方法對應(yīng)的TCSV。圖1a1、b1對應(yīng)的是不同TCSV對應(yīng)的動能和位能分布，其中KE為動能，PE為位能；圖1a2、b2對應(yīng)的是5個TCSV動能和位能及總能量均值的垂直分布，其中TE為總能量；圖1a3、b3對應(yīng)的是5個TCSV動能和位能及總能量的能量譜均值分布。結(jié)果表明，無論采用原方法還是新方法求解奇異向量，TCSV具有類似的能量垂直和空間分布特征。

圖2給出了原方法和新方法臺風(fēng)利奇馬對應(yīng)的第3個TCSV（放大1000倍）的位溫擾動分量在模式第26層（大約500 hPa）的水平結(jié)構(gòu)和在25°N的垂直結(jié)構(gòu)?？梢钥闯?，兩種奇異向量計算方法獲得的TCSV中位溫擾動無論是初始時刻和線性演化位溫擾動的水平分布和垂直結(jié)構(gòu)是非常相似的，這說明即使改進(jìn)了奇異向量計算方案，也不會影響位溫擾動結(jié)構(gòu)。

圖1 臺風(fēng)利奇馬前 5個 TCSV（放大1000倍）對應(yīng)的能量分布特征 （a1—a3、b1—b3.原方法和新方法對應(yīng)的TCSV；a1、b1.不同TCSV對應(yīng)的動能和位能分布，a2、b2.5個TCSV動能和位能及總能量均值的垂直分布，a3、b3.5個TCSV動能和位能及總能量的能量譜均值分布；KE：動能，PE：位能，TE：總能量；初始時刻為2019年8月8日12時）Fig.1 Energy distribution characteristics for the first five TCSVs （multiplied by 1000） corresponding to typhoon Lekima（a1—a3， b1—b3 respectively represent the TCSVs corresponding to the original SV computation method and the improved computation scheme of SV based on the hydrostatic equilibrium； a1，b1.the Kinetic energy （KE） and Potential energy （PE） distribution for different TCSVs，a2，b2.vertical distributions of the averaged KE，PE and Total energy （TE） for the five TCSVs，a3，b3.averaged energy spectra of KE，PE and TE for the five TCSVs； The initial time is 12:00 UTC 8 August 2019）

圖2 基于原方法 （a1—a3、b1—b3） 和新方法 （c1—c3、d1—d3） 得到的臺風(fēng)利奇馬第 3 個 TCSV（放大 1000 倍）的位溫擾動結(jié)構(gòu) （a1—d1.初始擾動，a2—d2.TCSV 線性演變 48 h 后的擾動，a3—d3.TCSV 非線性演變 48 h 后的擾動；a1—a3 和 c1—c3.模式第26層的水平結(jié)構(gòu)，b1—b3和d1—d3.沿25°N的垂直剖面；初始時刻為2019年8月8日12時）Fig.2 Structures of the potential temperature perturbation component of the third TCSV （multiplied by 1000） corresponding to the typhoon Lekima from the original SV computation method （a1—a3，b1—b3） and the improved computation scheme（c1—c3，d1—d3） of SV based on the hydrostatic equilibrium （a1—d1.TCSV at the initial time，a2—d2.TCSV after 48 h of linear evolving，a3—d3.TCSV after 48 h of nonlinear evolving；a1—a3，c1—c3.horizontal structures at the model level 26，b1—b3，d1—d3.vertical structures at 25°N；The initial time is 12:00 UTC 8 August 2019）

圖3給出原方法和新方法臺風(fēng)利奇馬對應(yīng)的第3個TCSV（放大1000倍）的氣壓擾動分量在模式第26層的水平結(jié)構(gòu)和在25°N的垂直結(jié)構(gòu)。結(jié)果表明，初始時刻TCSV的氣壓擾動分量具有較大的差異，原方法對應(yīng)的TCSV氣壓擾動分量的分布存在著強的局地性，表現(xiàn)為非常小尺度的水平分布結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)不利于TCSV非線性積分時的計算穩(wěn)定性。奇異向量計算方法改進(jìn)后，TCSV的氣壓擾動分量的大值區(qū)位于臺風(fēng)利奇馬附近，更好地描述了熱帶氣旋初值的不確定性，與位溫擾動分量的分布更加協(xié)調(diào)，有利于TCSV非線性積分的穩(wěn)定性。對于兩種方法中氣壓擾動分量的線性演變和非線性演變特征，圖3中呈現(xiàn)出類似的結(jié)構(gòu)，這可能是因為與奇異向量的位溫擾動、緯向風(fēng)和經(jīng)向風(fēng)擾動量值相比，氣壓擾動分量的值過?。s小103倍），由于新方法對位溫擾動、緯向風(fēng)和經(jīng)向風(fēng)擾動的量值和結(jié)構(gòu)影響較小，這兩個方法中這些主導(dǎo)擾動分量的結(jié)構(gòu)類似，從而在演變過程中氣壓擾動分量的特征由其他變量的演變特征主導(dǎo)，使得兩個方法中氣壓擾動分量的演變特征類似。

圖3 同圖2，但為氣壓擾動分量的水平結(jié)構(gòu)Fig.3 The same as Fig.2 but for the pressure perturbation component

此外，對比兩種方法的氣壓擾動分量和位溫擾動分量的分布，可以看出新方法中這兩個擾動量分布特征更為協(xié)調(diào)，為產(chǎn)生更為協(xié)調(diào)的初值擾動奠定了基礎(chǔ)，可能有利于集合預(yù)報技巧的提高。

3.2 初值擾動結(jié)構(gòu)分析

基于兩種奇異向量求解方法，分別針對北半球副熱帶（30°—80°N）、南半球副熱帶（80°—30°S）和低緯度熱帶氣旋區(qū)域（以熱帶氣旋為中心的10個經(jīng)緯度區(qū)域）求解SV和演化SV，進(jìn)而將南北半球副熱帶SV、演化SV和TCSV通過高斯線性組合產(chǎn)生初值擾動。有關(guān)初值擾動構(gòu)造的細(xì)節(jié)參見李曉莉等（2019a）和霍振華等（2020）。

圖4和5分別給出了原方法和新方法第5個初值擾動在模式第40層（大約200 hPa）的水平分布和沿25°N的垂直剖面。可以看出，奇異向量求解方法改進(jìn)前、后初值擾動的位溫擾動分量和緯向風(fēng)擾動分量結(jié)構(gòu)類似；奇異向量求解方法改進(jìn)前，氣壓擾動分量的分布更加局地化，奇異向量求解方法改進(jìn)后，氣壓擾動分量的分布可以更好地描述副熱帶中高緯度地區(qū)的斜壓不穩(wěn)定和熱帶氣旋的初值不確定，在模式中、低層擾動值減小，與位溫擾動分量的分布更加協(xié)調(diào)，可能有利于集合預(yù)報成員的積分穩(wěn)定和集合預(yù)報技巧的提高。

圖4 基于原 SV 求解方法得到的第 5 個初值擾動在模式第 40 層的水平分布 （a1—a3） 和沿 25°N 的垂直剖面 （b1—b3）（a1、b1.位溫擾動，a2、b2.氣壓擾動，a3、b3.緯向風(fēng)擾動；初始時刻為 2019 年 8 月 8 日 12 時）Fig.4 Horizontal structure at model level 40 （a1—a3） and vertical profile at 25°N （b1—b3） of the fifth initial perturbation based on the original SV computation method （a1，b1.potential perturbation，a2，b2.pressure perturbation，a3，b3.zonal wind perturbation；The initial time is 12:00 UTC 8 August 2019）

續(xù)圖4Fig.4 Continued

圖5 同圖4，但SV求解方法為靜力平衡奇異向量改進(jìn)方法Fig.5 The same as Fig.4 but with the improved computation scheme of SVs based on the hydrostatic equilibrium

續(xù)圖5Fig.5 Continued

4 靜力平衡奇異向量改進(jìn)方法對集合預(yù)報技巧的影響

基于兩種奇異向量求解方法所獲得的分目標(biāo)區(qū)的SV，分別構(gòu)建集合預(yù)報擾動初值，并開展了兩組集合預(yù)報試驗（2019年 8月 4、6、8、11、13和15日每天進(jìn)行，12時起報），分析新方法對集合預(yù)報技巧的影響?；谒袀€例的集合預(yù)報技巧評分均值分析了新方法對北半球和南半球等壓面要素集合預(yù)報、熱帶氣旋路徑集合預(yù)報和中國地區(qū)24 h累計降水概率預(yù)報技巧的影響。由于新方法對北半球和南半球等壓面要素集合預(yù)報的影響類似，在此僅給出北半球等壓面要素集合預(yù)報技巧結(jié)果，南半球結(jié)果不再贅述。

4.1 北半球等壓面要素集合預(yù)報技巧

4.1.1 均方根誤差和集合離散度

均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）度量的是集合平均值與真值（觀測值或分析場，本試驗使用的是業(yè)務(wù)分析場作為真值）的偏差程度，均方根誤差越小，則預(yù)報越接近真值。集合離散度（SPREAD）衡量的是集合成員與集合平均值的差異，離散度過小，意味著不夠發(fā)散，不足以涵蓋到真值，容易導(dǎo)致漏報；離散度過高，則意味著集合成員太過發(fā)散，容易導(dǎo)致虛警。

圖6給出了北半球等壓面要素均方根誤差和集合離散度隨預(yù)報時效的演變。結(jié)果表明，奇異向量求解方法改進(jìn)后，預(yù)報前期，集合平均RMSE變化不大，集合離散度增大，集合離散度和集合平均RMSE的關(guān)系改善；預(yù)報后期，集合平均RMSE和集合離散度變化不大。

4.1.2 Outlier評分

預(yù)報失誤概率Outlier評分是由Talagrand直方圖進(jìn)一步發(fā)展出的評分，是分析（觀測）值落在Talagrand直方圖中最兩端的兩個盒子（bins）中的頻率，即分析（觀測）落在集合成員的預(yù)報值區(qū)間之外的平均頻率，以表示集合預(yù)報系統(tǒng)的漏報率。一個具有n個成員的理想集合預(yù)報系統(tǒng)，其實況落在集合預(yù)報區(qū)間之外的概率期望值為2/（n+1）。Outlier評分是評估集合預(yù)報系統(tǒng)可靠性指標(biāo)之一，Outlier值偏離2/（n+1）越多，說明預(yù)報失誤的概率越大；Outlier值偏離 2/（n+1）越少，則漏報率越低，系統(tǒng)越可靠。本研究中，集合成員個數(shù)為31，從而Outlier值的理想值是6.24%。

圖7分別給出了北半球等壓面要素Outlier評分隨預(yù)報時效的演變。結(jié)果表明，奇異向量計算方法改進(jìn)后，從整個預(yù)報時段來看，GRAPES全球集合預(yù)報系統(tǒng)等壓面要素的Outlier評分與概率期望值更接近，即預(yù)報失誤概率減小，概率預(yù)報技巧增加。

4.1.3 CRPS 評分

連續(xù)分級概率評分（Continuous Ranked Probability Score，CRPS）是評估集合預(yù)報系統(tǒng)整體性能常用的評分指標(biāo)，代表觀測和預(yù)報的累積分布函數(shù)的差別。CRPS值越大，觀測和預(yù)報的累積密度函數(shù)的差別越大，表示集合預(yù)報系統(tǒng)的預(yù)報能力越低。

圖8分別給出了北半球等壓面要素CRPS評分隨預(yù)報時效的演變。結(jié)果表明，奇異向量計算方法改進(jìn)后，GRAPES全球集合預(yù)報系統(tǒng)的北半球等壓面要素CRPS評分有一定降低，即CRPS概率預(yù)報技巧有所提高。

圖6 北半球等壓面要素的均方根誤差和集合離散度隨預(yù)報時效的演變 （黑色實線：對照預(yù)報的均方根誤差，藍(lán)色實線 （虛線）：基于原奇異向量求解方法得到的集合平均預(yù)報的均方根誤差 （集合離散度），紅色實線 （虛線）：用靜力平衡奇異向量改進(jìn)方法得到集合平均預(yù)報的均方根誤差（集合離散度）；a.500 hPa 位勢高度，b.850 hPa 溫度，c.250 hPa 緯向風(fēng)速，d.250 hPa 經(jīng)向風(fēng)速）Fig.6 Evolutions of RMSE and SPREAD for the northern hemisphere isobaric variables （black solid line: RMSE of the control forecast，bule solid （dashed） line: RMSE （SPREAD） of the ensemble mean （EM） obtained with original SVs computation method，red solid（dashed） line: RMSE （SPREAD） of EM obtained with the improved computation scheme of SVs based on hydrostatic equilibrium；a.geopential height at 500 hPa，b.temperature at 850 hPa，c.zonal wind at 250 hPa，d.meridional wind at 250 hPa）

圖7 北半球等壓面要素Outlier評分隨預(yù)報時效的演變 （藍(lán)色實線：原SV求解方法對應(yīng)的結(jié)果，紅色實線:靜力平衡奇異向量改進(jìn)方法對應(yīng)的結(jié)果，黑色虛線：Outlier期望值；a.500 hPa 位勢高度，b.850 hPa 溫度，c.250 hPa 緯向風(fēng)，d.250 hPa 經(jīng)向風(fēng)）Fig.7 Evolution of the Outlier scores for the northern hemisphere isobaric variables （blue solid line: the original SV computation method，red solid line: the improved computation scheme of SV based on hydrostatic equilibrium，black dashed line: the Outlier expectation；a.geopotentail height at 500 hPa，b.temperature at 850 hPa，c.zonal wind at 250 hPa，d.meridional wind at 250 hPa）

續(xù)圖7Fig.7 Continued

圖8 北半球等壓面要素CRPS評分隨預(yù)報時效的演變 （藍(lán)色實線：奇異向量求解方法結(jié)果，紅色實線：靜力平衡奇異向量改進(jìn)方法結(jié)果；a.500 hPa 位勢高度，b.850 hPa 溫度，c.250 hPa 緯向風(fēng)，d.250 hPa 經(jīng)向風(fēng)）Fig.8 Evolutions of the CRPS scores for the Northern isobaric variables （blue solid line: the original SV computation method，red solid line: the improved computation scheme of SV based on the hydrostatic equilibrium；a.geopotentail height at 500 hPa，b.temperature at 850 hPa，c.zonal wind at 250 hPa，d.meridional wind at 250 hPa）

4.2 臺風(fēng)集合預(yù)報技巧

圖9a給出了所有臺風(fēng)個例路徑預(yù)報誤差和集合離散度均值隨時間的演變。圖9b和c分別給出了路徑誤差和離散度的箱線圖。從圖9a來看，相對于原方法試驗，新方法試驗中臺風(fēng)路徑集合離散度增大，集合平均路徑預(yù)報誤差在預(yù)報前期略微增大，預(yù)報后期有一定減小，集合平均路徑預(yù)報誤差和路徑集合離散度的關(guān)系得到改善。從箱線圖（圖9b、c）來看，不同臺風(fēng)集合預(yù)報技巧隨時間變化各有不同，隨著預(yù)報時間延長，對照預(yù)報、集合平均誤差和離散度呈現(xiàn)增大的趨勢。從第一四分位數(shù)和第三四分位數(shù)來看，6—60 h集合平均誤差和對照預(yù)報誤差相差不大，66—120 h新方法集合平均誤差小于對照預(yù)報和舊方法集合平均。在整個預(yù)報時段，無論從第一四分位數(shù)、中位數(shù)還是第三四分位數(shù)來看，奇異向量計算方法改進(jìn)之后，臺風(fēng)路徑離散度明顯增大，與集合平均路徑預(yù)報誤差更接近。對原方法和新方法試驗中的集合平均路徑誤差（集合離散度）進(jìn)行了配對t檢驗，結(jié)果表明，對6—120 h內(nèi)的任一預(yù)報時次，原方法和新方法試驗集合平均路徑誤差的差異均沒有通過95%顯著性檢驗，原方法和新方法試驗集合離散度的差異均通過了95%的顯著性檢驗。這說明，新方法顯著地增加了臺風(fēng)路徑集合離散度，對集合平均路徑預(yù)報誤差沒有顯著影響。

圖9 臺風(fēng)路徑預(yù)報誤差和路徑集合離散度隨預(yù)報時效的演變 （Control：臺風(fēng)路徑預(yù)報誤差，EM_Old （EM_New）：原 （新） SV求解方法臺風(fēng)集合平均路徑預(yù)報誤差，SPD_Old（SPD_New）：原 （新） SV求解方法臺風(fēng)路徑集合離散度；a.所有臺風(fēng)個例對應(yīng)的路徑預(yù)報誤差和集合離散度均值，b.臺風(fēng)路徑誤差箱線圖，c.臺風(fēng)路徑集合離散度箱線圖）Fig.9 Evolutions of the yphoon track forecast error and ensemble spread （control：the typhoon track forecast error of control forecast，EM_Old （EM_New）：the ensemble mean track forecast error corresponding to the original （new） SVs computation method，SPD_Old （SPD_New）：the typhoon track ensemble spread corresponding to the original （new） SVs computation method；a.averaged typhoon track forecast error and ensemble spread for all TC cases，b.boxplot for the track forecast error，c.boxplot for the track ensemble spread）

4.3 中國地區(qū)24 h累計降水概率預(yù)報技巧

AROC評分和BS評分是業(yè)務(wù)上檢驗集合預(yù)報性能常用的評分，用來檢驗分級降水的預(yù)報能力。AROC評分越大，BS評分越小，則降水概率預(yù)報技巧越高。圖10和11分別給出了中國地區(qū)小雨、中雨、大雨、暴雨各量級24 h累計降水概率預(yù)報技巧評分AROC和BS隨預(yù)報時效的演變。結(jié)果表明，奇異向量計算方法改進(jìn)后，對于小雨、中雨、大雨，AROC評分增大，BS評分減小，即中國地區(qū)24 h累計降水概率預(yù)報技巧提高；對于暴雨，AROC評分某些時次增大，某些時次減小，BS評分在整個預(yù)報時段內(nèi)均減小?？傮w來看，采用新方法的集合預(yù)報能提高中國地區(qū)暴雨24 h累計降水概率預(yù)報技巧。

圖10 中國地區(qū)小雨、中雨、大雨、暴雨各量級24 h累計降水概率預(yù)報技巧評分AROC隨預(yù)報時效的演變（a.小雨，b.中雨，c.大雨，d.暴雨）Fig.10 Evolution of the precipitation probability forecast skill score AROC for 24 h accumulated precipitation over China（a.light rain，b.moderate rain，c.heavy rain，d.rainstorm）

5 總結(jié)和討論

基于奇異向量的初值擾動方法已應(yīng)用于GRAPES全球集合預(yù)報系統(tǒng)，為解決部分奇異向量非線性積分崩潰的問題，基于原有的GRAEPS全球奇異向量計算方案，發(fā)展了靜力平衡奇異向量改進(jìn)方法，在求解奇異向量時，將初始時刻的氣壓擾動分量根據(jù)靜力平衡關(guān)系得到，改進(jìn)了原有的奇異向量求解方法。基于兩種奇異向量求解方法構(gòu)建集合預(yù)報擾動初值，開展了集合預(yù)報試驗，分析了靜力平衡奇異向量改進(jìn)方法對集合預(yù)報技巧的影響。研究結(jié)果表明：

圖11 同圖10，但為 BS 評分Fig.11 The same as Fig.10 but for Brier score

（1）靜力平衡奇異向量改進(jìn)方法通過產(chǎn)生協(xié)調(diào)的氣壓擾動和位溫擾動場，解決了奇異向量非線性積分崩潰的問題，消除了原來不利于積分穩(wěn)定性的氣壓擾動過于局地化的小尺度結(jié)構(gòu)，使得氣壓擾動分量的分布更廣，與位溫擾動分量的分布更協(xié)調(diào)。同時，靜力平衡奇異向量改進(jìn)方法對奇異向量中位溫擾動分量和緯向風(fēng)擾動分量結(jié)構(gòu)影響較小，顯示了靜力平衡奇異向量改進(jìn)方法的合理性。

（2）基于新奇異向量求解方法分目標(biāo)區(qū)的SV構(gòu)建出的集合預(yù)報初值擾動中氣壓擾動結(jié)構(gòu)與其直接計算出奇異向量中的氣壓擾動分量的特征類似，明顯減小了氣壓擾動值的小局地化擾動特征，與初值擾動中位溫擾動分量的分布更加協(xié)調(diào)。

（3）從集合預(yù)報試驗的結(jié)果來看，新奇異向量求解方法在預(yù)報前期對集合平均的均方根誤差影響不大，但一定程度增加了集合離散度，使得集合離散度和集合平均的均方根誤差的關(guān)系得到改善；預(yù)報后期，集合平均的均方根誤差和集合離散度變化不大。從整個預(yù)報時段來看，基于新奇異向量求解方法的集合預(yù)報試驗中Outlier評分與概率期望值更接近，即預(yù)報失誤概率減小，同時，CRPS概率預(yù)報技巧有所提高。

（4）基于新奇異向量求解方法能改進(jìn)GRAPES全球集合預(yù)報的臺風(fēng)路徑集合離散度，使得集合平均路徑預(yù)報誤差和路徑集合離散度的關(guān)系得到改善，并提高了中國地區(qū)小雨、中雨、大雨、暴雨各量級24 h累計降水概率預(yù)報技巧。

總之，新發(fā)展的靜力平衡奇異向量改進(jìn)方法不僅解決了奇異向量非線性積分崩潰的問題，也對GRAPES全球集合預(yù)報效果有正貢獻(xiàn)，下一步，會將此方法應(yīng)用于GRAPES全球集合預(yù)報業(yè)務(wù)系統(tǒng)。需要指出的是，文中初步采用靜力平衡奇異向量改進(jìn)方法解決了采用濕線性物理方案時TCSV計算的穩(wěn)定性問題，隨著GRAPES切線性模式中線性化物理過程的完善，在未來的研究中，將繼續(xù)深入開展GRAPES全球模式濕線性物理過程對TCSV及熱帶氣旋集合預(yù)報技巧的影響研究。此外，盡管奇異向量方法已成功應(yīng)用于集合預(yù)報，但奇異向量基于線性理論，不能反映非線性物理過程對天氣和氣候可預(yù)報性的影響，在研究非線性模式中有限振幅初始擾動引起的可預(yù)報性問題方面具有局限性（Gilmour，et al，1997；Anderson，1997）。正交條件非 線性最 優(yōu) 擾動 （Conditional Nonlinear Optimal Perturbations，CNOP；Duan，et al，2016）方法可以獲得非線性模式中增長較快的初值擾動，在一定程度上克服了奇異向量方法的線性局限性。CNOP在集合預(yù)報中的應(yīng)用研究（Duan，et al，2016；Huo，et al，2019a，2019b）表明，使用正交 CNOP 方法可以得到較高的集合預(yù)報技巧，可以有效提高臺風(fēng)路徑的預(yù)報技巧，是一種有潛力的集合預(yù)報方法。為彌補奇異向量方法在GRAPES全球集合預(yù)報初值擾動構(gòu)造方面的線性局限性，在未來的研究中，將開展正交CNOP方法在GRAPES全球集合預(yù)報中的應(yīng)用研究，以期提高GRAPES全球集合預(yù)報尤其是臺風(fēng)集合預(yù)報方面的技巧。