凌 瓏，黃 瑞，俞小莉

(浙江大學(xué)能源工程學(xué)院，浙江杭州310027)

0 引言

受益于新能源汽車的快速發(fā)展，鋰離子電池是目前發(fā)展最快的儲能方式與最有前景的汽車動力源[1]。SOC作為電池管理系統(tǒng)的關(guān)鍵狀態(tài)量，是整車能量管理與剩余行駛里程計算的主要依據(jù)。精確的SOC對于提高能量利用率，防止過充、過放，保障電池的安全與長壽命運行至關(guān)重要。由于SOC不能直接測得，所以需要進行估計，但電池系統(tǒng)動態(tài)的非線性特性使得SOC的準確估計具有較大難度[2]。

常用的SOC估計方法可以分為四類：基于開路電壓模型或阻抗的查表法、安時積分法、基于模型的方法以及基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法[3]。其中，查表法需要長時間放置電池來確保內(nèi)部電化學(xué)的穩(wěn)定性，不適合實時SOC估計。安時積分法由于對SOC初值非常敏感，且易受電流傳感器測量噪聲的干擾，同時估計誤差還會不斷累積，所以精度較低?；跀?shù)據(jù)驅(qū)動的方法則需要大量的計算資源來訓(xùn)練模型，且結(jié)果高度依賴訓(xùn)練樣本，同時響應(yīng)較慢[3]。基于模型的方法可實現(xiàn)閉環(huán)估計，同時復(fù)雜度較低，已被證明是準確且可在線實施的[4]。研究較多的電池模型可分為三類：電化學(xué)模型、等效電路模型(ECM)、電化學(xué)阻抗模型。由于ECM能夠準確描述電池的各種動態(tài)行為，且具備良好的適用性與可拓展性，因此在基于模型的SOC估計方法中應(yīng)用最為廣泛[5]。

基于ECM的方法包含基于濾波器或觀測器兩種策略，與后者相比，前者在估計穩(wěn)定性以及處理各種不確定性上具有諸多優(yōu)勢，已成為SOC估計的通用技術(shù)[6]。文獻[7，8]比較了擴展卡爾曼濾波(EKF)、無跡卡爾曼濾波(UKF)、容積卡爾曼濾波(CKF)以及粒子濾波(PF)算法在SOC估計中的表現(xiàn)，得出綜合考慮精度與計算復(fù)雜度，基于CKF的SOC估計算法更適合在嵌入式平臺上進行部署。

盡管CKF能以3階泰勒精度逼近高斯非線性系統(tǒng)狀態(tài)量的均值和協(xié)方差，但在實際應(yīng)用中噪聲的先驗統(tǒng)計信息是很難準確獲取的，當非線性度較大時SOC估計可能會出現(xiàn)較大的誤差甚至發(fā)散[6，9]。為了限制不確定性因素對SOC估計精度的影響，文獻[6]將基于5階球面徑向容積規(guī)則的AHCKF應(yīng)用于SOC估計，由于AHCKF出色的逼近能力，其在動態(tài)壓力測試(DST)與國際輕型車測試循環(huán)(WLTC)兩個工況下的估計精度與魯棒性均優(yōu)于ACKF。

然而，在不確定因素的干擾下，濾波算法逼近的對象本身可能存在偏差。由于AHCKF逼近能力更強，其受影響程度更大。考慮到容積卡爾曼濾波算法的精度是其先驗過程采樣點對真值逼近，以及后驗過程對先驗值校正綜合作用的結(jié)果，當先驗誤差較大時，AHCKF的校正能力可能不足以使其相對ACKF還有優(yōu)勢。這意味著AHCKF可能無法在整個SOC估計期間都比ACKF具有更低的誤差，即二者的精度優(yōu)劣具有一定的隨機效應(yīng)，是不斷變化的。為了進一步提高SOC估計的精度，本文充分利用這一特性，提出一種將兩種自適應(yīng)容積卡爾曼算法結(jié)果進行融合的SOC估計方法。

1 電池建模和參數(shù)辨識

1.1 電池建模

1.1.1 SOC定義

SOC定義為當前剩余容量Qa與最大可用容量Qn的比值，如式(1)所示：

(1)

借助上述定義可以推導(dǎo)出電池在充放電過程中的SOC值，即安時積分法：

(2)

式中，SOC(t)與SOC(t0)分別表示電池在t時刻、t0時刻的SOC值，I(t)表示t時刻的電流，η表示電池的充放電庫倫效率。安時積分法由于精度較低，通常與其他方法結(jié)合使用，在本文中其將與CKF一起進行SOC估計。

1.1.2 戴維南模型

由于基于CKF的SOC估計方法的精度高度依賴于電池模型的準確性，且嵌入式硬件的計算能力有限，所以電池模型應(yīng)具有較高的精度以及較低的計算復(fù)雜度。并行RC網(wǎng)絡(luò)的ECM由電壓源和并列的電阻、電容網(wǎng)絡(luò)組成，是采用最多的解決方案。其特征在于RC網(wǎng)絡(luò)的數(shù)量越多，模型的精度越高，但同時計算負載也越大。文獻[10]綜合考慮電池模型的精度、復(fù)雜度與泛化性比較了12種常用的ECM結(jié)構(gòu)，認為復(fù)雜的模型通常需要更高的計算成本且易受不確定性的影響，因此具有足夠準確性且簡單的模型是SOC估計的首選。文獻[4]將CKF分別與1RC等效電路模型和分數(shù)階模型相結(jié)合進行SOC估計，比較得出CKF與1RC模型的組合方式更適合嵌入微型處理器。綜上，本文選擇1RC等效電路模型，即戴維南模型作為研究對象。

如圖1所示，UOCV表示電池的開路電壓(OCV)，Up和Ut分別表示電池的極化電壓以及端電壓。R0、Rp與Cp分別代表電池的歐姆電阻、極化電阻與極化電容。iL表示負載電流，放電時為正，充電時為負。

圖1 戴維南模型示意圖

假設(shè)x(=[SOCUp]T)表示狀態(tài)量，iL表示輸入量，Ut表示輸出量，戴維南模型的離散時間狀態(tài)方程可表述為：

(3)

其中，xk、uk和yk分別表示時間步長k處的狀態(tài)量、輸入量與輸出量。wk與vk分別表示時間步長k處的過程噪聲與測量噪聲，都服從均值為0的高斯分布。f(·)和h(·)分別代表過程方程與測量方程，由于戴維南模型的f(·)是線性的，而h(·)由于OCV與SOC的非線性對應(yīng)關(guān)系是非線性的，方程組(3)可進一步表達為以下形式：

(4)

根據(jù)戴維南模型，可以推導(dǎo)出其工作時電學(xué)關(guān)系的微分方程：

(5)

將方程式(5)進行離散化可進一步得到戴維南模型離散時間狀態(tài)方程的具體表達形式，離散后的過程方程為：

(6)

測量方程為：

Ut，k=UOCV，k-Up，k-iL，kR0，k-1

(7)

其中，下標k與k-1均指時間步長，Δt表示采樣時間間隔。根據(jù)方程組(6)與方程(7)可得：

(8)

1.2 參數(shù)辨識

為使基于戴維南模型的容積卡爾曼濾波SOC估計方法正常工作，需要確定OCV與SOC的映射關(guān)系，以及模型參數(shù)R0、Rp與Cp的數(shù)值。

1.2.1 開路電壓模型

本文采用的電池實驗數(shù)據(jù)來源于NASA PCoE，其通過使鋰離子電池以0.04 A的低電流持續(xù)放電來觀察電池OCV與SOC的對應(yīng)關(guān)系[11]。借助函數(shù)對低電流測試基礎(chǔ)上選取的采樣點進行擬合，可以得到該映射關(guān)系?，F(xiàn)有研究多采用n次多項式來進行擬合，其特征在于多項式階數(shù)過低會導(dǎo)致擬合誤差較大，多項式階數(shù)過高會出現(xiàn)過擬合。因此，應(yīng)謹慎確定多項式階數(shù)，經(jīng)過對比本文選擇的多項式階數(shù)為12，如式(9)所示，圖2給出了擬合結(jié)果。

UOCV=a0+a1×SOC+a2×SOC2+…+a11×SOC11+a12×SOC12

(9)

從圖2中可以看出，根據(jù)采樣點進行擬合后的OCV-SOC曲線幾乎與原測試曲線完全重合，擬合精度非常高，能夠滿足本文的研究需要。n階多項式的各階系數(shù)如表1所示。

圖2 低電流測試下的OCV-SOC曲線擬合結(jié)果

表1 OCV模型各階系數(shù)

1.2.2 在線參數(shù)辨識

由于模型參數(shù)會隨SOC變化而改變，因此采用固定的模型參數(shù)勢必會引入一定的模型誤差，進而影響SOC估計的精度。帶遺忘因子的遞推最小二乘法可有效避免最小二乘法在遞推過程中舊數(shù)據(jù)逐步積累，進而導(dǎo)致遞推結(jié)果不能良好反應(yīng)新數(shù)據(jù)特性的弊端[12]。因此，本文采用該方法在線辨識電池模型的參數(shù)，針對戴維南模型的參數(shù)在線辨識步驟如下：

令Zk(=UOCV，k-Ut，k)表示觀測矩陣，Фk(=[zk-1iL，kiL，k-1])表示輸入輸出序列，θk(=[a1a2a3]T)表示待辨識的參數(shù)，可得：

zk=φkθk

(10)

進一步引入帶遺忘因子的遞推最小二乘法：

(11)

其中，K與P分別表示增益矩陣和協(xié)方差矩陣，I是單位矩陣。λ為遺忘因子，當λ=1時，該算法退化為普通的遞推最小二乘法。λ越小跟蹤能力越強，但波動也越大，通常在(0.95，1)之間進行取值。最終可以得出電池模型參數(shù)的表達式：

(12)

2 基于容積卡爾曼濾波融合的鋰離子電池SOC估計

在高斯近似下，貝葉斯濾波器的函數(shù)遞歸簡化為代數(shù)遞歸，即在時間更新與測量更新時計算條件概率密度函數(shù)的均值和協(xié)方差。由此可見，濾波過程的核心在于如何計算被積體形式為非線性函數(shù)×高斯概率密度函數(shù)的高斯權(quán)重積分[13]，如式(13)所示：

(13)

p(x)是任意函數(shù)，D?Rn表示積分域，權(quán)重函數(shù)w(x)≥0，x=[x1x2…xn]∈D。通常來說，該積分的數(shù)值計算方法是尋找一系列具有權(quán)重Wi的點xi加權(quán)求和來進行逼近，如式(14)所示：

(14)

2.1 自適應(yīng)容積卡爾曼濾波

如1.1.2所述，由于狀態(tài)量與觀測量服從均值為0的高斯分布，CKF算法假設(shè)過程噪聲與測量噪聲的協(xié)方差分別為Q和R。Q和R的值會影響濾波過程中過程信息與測量信息的權(quán)重，如果與真實值相差太遠，會導(dǎo)致濾波結(jié)果出現(xiàn)較大偏差甚至發(fā)散[15]。由于噪聲的統(tǒng)計信息隨估計進行是不斷變化的，因此應(yīng)對Q、R進行實時更新。文獻[16]提到了四種自適應(yīng)卡爾曼濾波策略，其中基于協(xié)方差匹配思想的策略應(yīng)用最為廣泛。因此，本文采用移動窗口法，根據(jù)固定窗口內(nèi)的新息序列對噪聲協(xié)方差進行自適應(yīng)更新[17]。綜上，基于自適應(yīng)容積卡爾曼濾波(ACKF)的SOC估計方法步驟如下：

1)初始化參數(shù)

2)時間更新

分解后驗誤差協(xié)方差：

(15)

生成容積點：

(16)

(17)

其中，m(=2n)表示容積點數(shù)目，n(=2)表示戴維南模型的狀態(tài)量數(shù)目。[1]i代表式(18)的第i列：

(18)

ACKF容積點權(quán)重：

(19)

容積點傳播：

(20)

預(yù)測狀態(tài)量：

(21)

估計先驗誤差協(xié)方差：

(22)

3)測量更新

分解先驗誤差協(xié)方差：

(23)

生成容積點：

(24)

傳播容積點：

Zi，k|k-1=h(Xi，k|k-1，uk)

(25)

預(yù)測測量值：

(26)

估計新息協(xié)方差：

(27)

估計互協(xié)方差：

(28)

估計卡爾曼增益：

(29)

估計后驗狀態(tài)量：

(30)

更新后驗誤差協(xié)方差：

(31)

4)噪聲自適應(yīng)

(32)

更新過程噪聲協(xié)方差：

(33)

更新測量噪聲協(xié)方差：

(34)

(35)

2.2 自適應(yīng)高階容積卡爾曼濾波

本文研究涉及的高階容積卡爾曼濾波基于5階球面徑向容積規(guī)則[6]，其與ACKF的不同之處主要在于容積點的生成方式以及權(quán)重分配，以下簡稱AHCKF。

AHCKF容積點展開方式：

ξ1，k-1=0

(36)

(37)

(38)

(39)

Ij、Ik分別代表n×n的單位矩陣的第j列與第k列。

AHCKF容積點權(quán)重：

(40)

2.3 基于濾波算法融合的鋰離子電池SOC估計

由于AHCKF理論上能夠達到5階泰勒精度，相比ACKF具有更強的逼近能力，故其對初始誤差的收斂速度以及真值的跟蹤效果都應(yīng)更好。然而，如引言所述，在不確定因素的干擾下AHCKF可能會產(chǎn)生較大的先驗誤差，其校正能力可能不足以使其估計誤差還低于ACKF。因此，兩種算法精度的高低會具有一定的隨機效應(yīng)。也就是說，盡管AHCKF總體誤差更小，但單個步長下的精度優(yōu)勢其無法在整個SOC估計期間一直保持。因此，為了提高SOC估計的精度，應(yīng)該充分利用這一特性，即在估計過程中選擇誤差絕對值更小的SOC值作為最終的SOC估計結(jié)果。為此，本文并行ACKF與AHCKF以在每個步長估計結(jié)束后對最優(yōu)SOC值進行篩選保存。具體的融合流程如圖3所示。

圖3 基于濾波算法融合的SOC估計示意圖

3 實驗和仿真分析

為評估上述融合SOC估計方法的效果，本文使用NASA PCoE發(fā)布的鋰離子電池隨機充放電使用數(shù)據(jù)集(RBUDS)來進行SOC估計。

3.1 電池實驗介紹

RBUDS包含4節(jié)18650鋰離子電池的試驗數(shù)據(jù)，本文選擇的是標號為“RW9”的實驗結(jié)果。這些電池在常溫下被隨機加載-4.5 A到4.5 A之間的充電或放電電流并持續(xù)運行，當電池電壓超過截止電壓(3.2 V，4.2 V)或5 min的加載周期后，當前電流加載停止。每個加載周期之間會有一段小于1 s的休息期，以便選擇下一個加載電流。部分實驗的電池電流與端電壓數(shù)據(jù)如圖4和圖5所示。

3.2 估計結(jié)果分析

由于電池在車載條件下易受環(huán)境因素干擾，且SOC可能存在累計誤差，為評估融合算法在SOC估計中的表現(xiàn)，本文設(shè)置了最大幅值為0.05 V的隨機電壓噪聲和30%的SOC初始誤差，估計結(jié)果通過平均絕對誤差(MAE)以及均方根誤差(RMSE)來進行描述。

圖4 隨機充放電下的電池電流曲線 圖5 隨機充放電下的電池端電壓曲線

3.2.1 電池模型與參數(shù)驗證

仿真分析選取了兩個小時的電池隨機充放電實驗數(shù)據(jù)，為了驗證電池模型以及參數(shù)辨識的精度，本文將端電壓的測量值與估計值進行對比，結(jié)果如圖6所示。從圖6中可以看出，基于ACKF與AHCKF估計的電池端電壓與其測量值在大部分時候是非常接近的。端電壓的誤差曲線如圖7所示，不難發(fā)現(xiàn)ACKF與AHCKF的端電壓誤差大部分時候在±0.05 V間波動。其中，間隔出現(xiàn)的誤差階躍是由于電池在休息期靜置，采樣時間間隔發(fā)生突變，同時電壓因歐姆極化迅速上升或下降，對參數(shù)辨識算法影響較大造成的。由于該影響時間很短，且誤差快速收斂，因此可以忽略。最終ACKF與AHCKF端電壓估計的MAE均為0.0189 V，RMSE分別為0.0282 V和0.0298 V。這說明電池模型能夠很好地模擬電池的動態(tài)特性，且開路電壓模型和參數(shù)辨識均具有較高的精度。

圖6 端電壓估計結(jié)果 圖7 端電壓估計誤差曲線

3.2.2 SOC估計結(jié)果

圖8與圖9分別展現(xiàn)了融合算法估計的結(jié)果和誤差情況。從圖9中可以發(fā)現(xiàn)，由于AHCKF對誤差收斂能力更強，其誤差曲線相比ACKF更快到達0值附近。緊接著，受測量噪聲干擾，兩種算法同時呈現(xiàn)不同程度的波動，且AHCKF波動更大。隨估計進行，二者的誤差大小不斷變化，精度交替領(lǐng)先，這印證了2.3中對兩種算法性能的討論。

圖8 融合SOC估計結(jié)果 圖9 融合SOC估計誤差

此外，圖9還可顯示融合算法估計結(jié)果能夠時刻與精度較高的估計結(jié)果保持一致。在圖8中也可看出，融合后結(jié)果與安時積分參考值非常接近。如表2所示，融合算法估計的MAE與RMSE分別為0.53%和0.75%，相比ACKF與AHCKF，MAE分別減少了26.39%和11.67%，RMSE分別減少了20.21%和 6.25%。這表明所提出算法能夠很好地利用ACKF與AHCKF估計精度優(yōu)劣不斷變化的特性，較大程度地提高SOC估計的精度。

表2 SOC估計誤差比較

4 結(jié)論

通過將ACKF與AHCKF應(yīng)用于鋰離子電池隨機充放電工況下進行SOC估計，本文發(fā)現(xiàn)：盡管AHCKF的總體精度比ACKF的更高，但在估計過程中二者的精度優(yōu)劣是不斷變化的。考慮到容積卡爾曼濾波的這種特性，本文對兩種算法估計結(jié)果進行擇優(yōu)選擇，提出了一種基于容積卡爾曼濾波算法融合的SOC估計方法。進一步，本文應(yīng)用該融合算法在同一工況下進行仿真分析，驗證了該算法能有效利用上述特性。比較發(fā)現(xiàn)，融合后SOC估計方法的精度相對于ACKF和AHCKF有較大程度的提高。