紀翀，杜一豪，姜勝超

(1.大連理工大學 船舶工程學院，遼寧 大連 116024;2.大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024)

近些年，海上資源開采逐漸向深海發(fā)展，浮式海洋平臺逐漸受到了越來越廣泛的關(guān)注，這些平臺通常由多根大直徑立柱組成，在某些惡劣海況下，波浪上涌對平臺下甲板產(chǎn)生沖擊，產(chǎn)生較大的作用力與傾覆力矩。因此，充分考慮波浪作用下立柱作用力及附近自由水面變化是浮式海洋平臺設計的關(guān)鍵。目前在波浪干涉現(xiàn)象領(lǐng)域已經(jīng)有了大量研究，Maniar等[1]對100根直線排列的圓柱的波浪力進行了研究，發(fā)現(xiàn)在某一頻率作用下，圓柱所受波浪力顯著增大，出現(xiàn)類似準陷波的現(xiàn)象。Evans等[2]研究了波浪作用下柱群內(nèi)部產(chǎn)生的一階準陷波現(xiàn)象，并發(fā)現(xiàn)準陷波現(xiàn)象發(fā)生頻率與結(jié)構(gòu)的尺寸和布置形式密切相關(guān)，且發(fā)現(xiàn)時的波面分布具有明顯的對稱與反對稱特征。OHL等[3-4]對規(guī)則波和不規(guī)則波作用下張力腿平臺附近的波浪場變化進行研究。通過數(shù)值結(jié)果與實驗資料的對比，發(fā)現(xiàn)通過線性繞射理論獲得的數(shù)值計算結(jié)果和實際情況較為擬合。然而，該工作并沒有對復雜的準陷波現(xiàn)象開展深入的研究。文獻[5-9]對多柱結(jié)構(gòu)準陷波現(xiàn)象展開了更加深入的研究工作。在水槽中圓柱體繞射研究領(lǐng)域中，Ursell[9]和Masashi[10]分別提出了高效求解圓柱體的二維繞射問題和將水槽中的格林函數(shù)分解的方法。Bennet等[11]提出了基于波長遠小于水槽寬度的平面波近似方法，可以求解任意形狀的軸對稱體。寧德志[12]將快速多極子展開的方法用于水波問題的計算，基于非線性時域理論，對數(shù)值波浪水槽中圓柱周圍波面與波浪載荷計算結(jié)果與開敞海域進行對比。趙一帆[13]采用源匯分布法，以滿足水槽邊壁條件的格林函數(shù)建立了數(shù)值模型，以水槽中座底且穿透水面的等截面柱體為研究對象，并利用波能流守恒關(guān)系驗證了計算方法的正確性。

在對多柱結(jié)構(gòu)周圍波面分布的研究中，通常會采用模型實驗的方法，而模型試驗往往在水槽中間進行。為了探究邊壁效應對準陷波現(xiàn)象的影響，本文基于理想流體假設的勢流理論，借助水動力計算軟件HydroStar對三維圓柱狀浮體的波浪繞射進行分析，研究勢流對波浪與四柱結(jié)構(gòu)相互作用問題，分別對有無邊壁水槽時四柱結(jié)構(gòu)周圍波面特征進行對比，并著重分析了圓柱半徑對準陷波現(xiàn)象的影響規(guī)律。

1 勢流理論與常數(shù)元方法

在理想不可壓縮流體且運動無旋假設下，流體運動存在速度勢Φ(x,t)，其滿足拉普拉斯方程為：

2Φ(x,t)=0

(1)

波陡ε為：

ε=kA

(2)

式中：k為波數(shù)；A為波幅。

對速度勢Φ(x,t)按ε進行攝動展開，取一階近似。當入射波頻率為ω時，將時間因子e-iωt分離，從而變?yōu)椋?/p>

Φ(x,t)=Re[φ(x)e-iωt]

(3)

式中：φ為空間復速度勢，仍然滿足拉普拉斯方程。對于固定不動的物體，可以將空間復速度勢進一步分解為入射勢φi與繞射勢φd，其中，繞射勢φd應滿足自由水面、物面、水底、無窮遠以及水槽側(cè)壁邊界條件。

取能同時滿足條件的格林函數(shù)G(x,x0)，并對其與繞射勢應用第二格林定理，采用常數(shù)元方法進行離散，可建立積分方程為：

(4)

式中n為物面法向量(以指出流體為正)。

開敞水域的情況，采用John推導的滿足自由水面邊界條件格林函數(shù)的形式為：

(5)

對于考慮水槽邊壁時的情況，采用源像法消除水槽側(cè)壁積分[13]，引入水槽格林函數(shù)為：

(6)

式中：αm=(m2π2-k2W2)1/2=-i(m2π2-k2W2)1/2；εm是諾依曼符號：ε0=1；εm=2，m≥1;W是水槽寬度。

對于規(guī)則波入射的情況，波面為：

ζ=Re[η(x,y)e-iωt]

(7)

其中：

(8)

式中：g為重力加速度，繞射勢φd可通過下述方程求出：

(9)

2 數(shù)值試驗設置及網(wǎng)格劃分

對四柱結(jié)構(gòu)的波浪繞射問題進行數(shù)值模擬。數(shù)值模型如圖1所示，以靜水面上各圓柱中心圍成正方形對角線交點為坐標原點建立直角坐標系，圓柱中心軸線分別位于(±1.45,0)和(0,±1.45)處，圓柱半徑為r=a，相鄰圓柱軸線間的距離為L=2.05 m，對角圓柱軸線間的距離為P=2.9 m，吃水深度T=0.5 m，水深d=3.65 m，規(guī)則波沿x軸正方向入射。

圖1 波浪作用下的四柱結(jié)構(gòu)Fig.1 Four-cylinder structure in regular wave

為了保障數(shù)值計算精度，本文采用較密的網(wǎng)格剖分形式，如圖2所示。其中，每根圓柱面環(huán)向網(wǎng)格劃分64個，垂向和柱底徑向均劃分16個，四根圓柱表面共計劃分2 048×4個單元；在進行波面計算時，自由水面使用10 000個四邊形結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。為了驗證所選網(wǎng)格的收斂性，分別采用前述的遠場方法和近場方法對a=0.30 m的四柱結(jié)構(gòu)在x軸方向上的二階漂移力進行了計算，比較結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看出，近場與遠場方法計算結(jié)果一致，說明本文網(wǎng)格可以獲得收斂結(jié)果。

圖2 四柱結(jié)構(gòu)的物面與自由水面網(wǎng)格劃分Fig.2 Sketch definition of four-cylinder structure and the mesh generation

圖3 遠場方法和近場方法的二階漂移力比較Fig.3 Comparison of the second order drift force by far field and near field methods

將本文常數(shù)元方法無因次化計算結(jié)果與文獻[6]的高階邊界元方法對比，取r=a，L=4a布置下的四柱結(jié)構(gòu)進行數(shù)值模擬，對圓柱內(nèi)外2側(cè)測點處波高變化進行研究。從圖4中可以看出，本文計算結(jié)果與文獻[6]的數(shù)值結(jié)果符合較好，說明本文數(shù)值模擬的正確性。進一步對本文布置下各圓柱內(nèi)外兩側(cè)關(guān)鍵點波浪爬行情況可以看出，當入射波頻率為ka=1.66 時，圓柱內(nèi)側(cè)測點A出現(xiàn)明顯的波面升高，而外側(cè)測點B處波面顯著降低，說明波浪能量向圓柱內(nèi)側(cè)集中，該現(xiàn)象稱為準陷波現(xiàn)象。通過上述對比可以看出，本文方法可以對該現(xiàn)象進行正確的模擬，可以應用于后文的數(shù)值分析。

圖4 數(shù)值模型的驗證Fig.4 Verification of numerical models

3 開敞海域中圓柱半徑對結(jié)構(gòu)附近波浪分布的影響

為考慮圓柱半徑對準陷波現(xiàn)象的影響，分別取a為0.30、0.35和0.40 m 3種情況進行研究。如圖1(a)與表1所示，在每根圓柱內(nèi)外2側(cè)距離柱心1.1a處選取共8個測點記錄其位置的波高變化，計算結(jié)果如圖5所示。從圖中可以看出，當入射頻率ω為5.3、6.8、7.8 左右時各圓柱內(nèi)側(cè)測點處的波高均出現(xiàn)明顯的峰值。對應地，外側(cè)測點在該頻率波高較低，波能由圓柱外側(cè)向內(nèi)側(cè)集中，發(fā)生準陷波現(xiàn)象。上述3個頻率分別對應著一階、二階和三階準陷波模態(tài)。圓柱半徑的變化對圓柱內(nèi)側(cè)測點的波高產(chǎn)生的影響明顯大于外側(cè)測點，隨著圓柱半徑的增大，圓柱內(nèi)外2側(cè)波面高度分別增大和減小，意味著更多能量從圓柱外側(cè)向內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)移，更多的能量被“俘獲”在四柱結(jié)構(gòu)中。這是由于圓柱半徑的增加會導致圓柱側(cè)壁間距離的減小，導致結(jié)構(gòu)內(nèi)外水體接觸部分降低，增大了“俘獲”效果。

表1 四柱結(jié)構(gòu)附近波高測點的坐標值Table 1 Coordinates of measuring points near the structure

圖5 開敞海域中各測點處無因次波高隨頻率變化對比Fig.5 Variation of wave elevations at typical points under regular wave in open sea area

為了更好地觀察準陷波現(xiàn)象對整體波面的影響，給出3組工況下各階準陷波現(xiàn)象發(fā)生時結(jié)構(gòu)附近無因次波高分布，如圖6所示。

從圖6中可以看出，各階準陷波模態(tài)的主要差異在于圓柱間波高的分布情況。一、二、三階準陷波模態(tài)分別對應相鄰圓柱間存在1、2、3個波，且最大波浪振幅總是出現(xiàn)在圓柱內(nèi)側(cè)。結(jié)構(gòu)后方出現(xiàn)明顯的低波高區(qū)域，進一步說明波能被四柱結(jié)構(gòu)所“俘獲”，無法傳播到結(jié)構(gòu)后方。相對而言，二階與三階準陷波模態(tài)后方波高明顯小于一階準陷波模態(tài)的情況，這主要是由于高階模態(tài)對應頻率較高，波長較小，因而結(jié)構(gòu)物遮擋效應更為明顯。進一步對圖5與圖6中準陷波模態(tài)發(fā)生時圓柱內(nèi)側(cè)波面隨圓柱半徑的變化進行研究，根據(jù)文獻[1-3]的理論解，準陷波模態(tài)對應波數(shù)為kL=nπ，(n=0,1,2,…)，即準陷波現(xiàn)象發(fā)生頻率只與圓柱間距有關(guān)。但是，根據(jù)本文數(shù)值結(jié)果，半徑的增大可以使準陷波模態(tài)的頻率向高頻移動，且對高階準陷波模態(tài)影響較為顯著，如表2所示。這主要是由于理論解基于無窮多個圓柱平行放置的假設，并且在推導過程中，將圓柱間距轉(zhuǎn)化為水槽寬度。實際上，圓柱半徑對準陷波模態(tài)的影響不可忽略，導致準陷波現(xiàn)象發(fā)生的關(guān)鍵因素實際為圓柱側(cè)壁間距。為驗證這一結(jié)論，表2給出了準陷波模態(tài)發(fā)生時圓柱側(cè)壁間距與波長的變化，可以看出，不同條件下kl可以更好地滿足nπ的關(guān)系，尤其是對于圓柱半徑較大的情況。進一步對比可以發(fā)現(xiàn)，三階準陷波模態(tài)所對應的自振頻率與kl=nπ的關(guān)系相比更遠，這主要是由于三階準陷波模態(tài)發(fā)生時，圓柱間形成的駐波并未在相鄰圓柱中心連線附近，而是偏向于結(jié)構(gòu)的外側(cè)，如圖6(c)、(f)、(i)所示。上述對比說明了圓柱半徑對準陷波模態(tài)有顯著影響，不僅導致其自振頻率的變化，也會導致波面分布特征的改變。

表2 四柱結(jié)構(gòu)各階準陷波模態(tài)的發(fā)生頻率Table 2 Frequency of different order near-trapped modes of a four-cylinder structure

圖6 開敞海域中準陷波現(xiàn)象發(fā)生時四柱結(jié)構(gòu)周圍波面分布Fig.6 Wave distribution around four-cylinder structure when near-trapping phenomenon occurs in open sea area

4 水槽邊壁效應對準陷波現(xiàn)象的影響

在上述分析的基礎(chǔ)上，對物理模型實驗中水槽邊壁對準陷波模態(tài)的影響進行研究，模型布置如圖1(b)所示。以開敞海域下半徑a=0.30 m的四柱結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，考慮該結(jié)構(gòu)在W=7 m寬的水槽中心條件下各測點的波面變化情況。從圖7中可以看出，在考慮邊壁效應的影響后，各測點波面隨波浪頻率的變化曲線呈現(xiàn)更加劇烈的上下振蕩特征，原開敞海域準陷波現(xiàn)象發(fā)生頻率處的波高顯著增加，說明水槽邊壁效應對準陷波現(xiàn)象具有顯著影響。

圖7 水槽側(cè)壁對四柱結(jié)構(gòu)內(nèi)外側(cè)測點波高變化的影響(r=0.30 m)Fig.7 Influence of sidewall on wave elevations at typical measuring points under regular wave (r=0.3 m)

為對比不同圓柱半徑條件下水槽邊壁效應的影響，圖8給出了3種半徑時后方圓柱內(nèi)外兩側(cè)測點波高隨頻率的變化情況。水槽邊壁效應對不同半徑圓柱條件下準陷波模態(tài)的影響基本相似，各測點波面隨波浪頻率仍呈現(xiàn)劇烈震蕩特征，且峰值個數(shù)與發(fā)生頻率基本一致。為進一步探索上述現(xiàn)象的原因，水槽寬度為波長整數(shù)倍時對應頻率即為水槽橫向自振頻率[13]，表3通過對比發(fā)現(xiàn)橫向立波自振頻率與圖8中的波高變化峰值基本對應。進一步將結(jié)構(gòu)準陷波模態(tài)頻率與水槽共振頻率進行對比，可以看出，水槽共振頻率與準陷波頻率存在耦合作用，一、二、三階準陷波頻率分別與水槽橫向立波自振頻率的二、四、五階模態(tài)接近，2種共振模態(tài)同時激發(fā)，導致對應頻率下波高峰值的顯著增加，說明水槽物理邊壁對準陷波現(xiàn)象具有顯著影響。

表3 水槽橫向共振頻率與準陷波頻率的對比Table 3 Frequency of horizontal resonance and near-trapping

圖8 不同圓柱半徑時水槽側(cè)壁對后方圓柱內(nèi)外兩側(cè)測點波高的影響Fig.8 The influence of the side wall of the flume on the wave elevation at typical measuring points of the rear cylinder

進一步對比發(fā)現(xiàn)，盡管圓柱半徑對準陷波模態(tài)頻率有一定影響，但總是對應于水槽橫向立波二、四、五階自振頻率，因而水槽邊壁效應對圓柱半徑的影響并不敏感。

為進一步考慮水槽側(cè)壁對準陷波模態(tài)的影響，圖9給出了水槽側(cè)壁影響下準陷波現(xiàn)象發(fā)生時結(jié)構(gòu)周圍的波面分布情況。相比而言，圖6中圓柱附近波浪分布多數(shù)沿圓柱結(jié)構(gòu)±60°方向呈現(xiàn)條狀分布，而圖9中圓柱附近波浪呈現(xiàn)出塊狀分布，尤其是對于二階與三階準陷波模態(tài)時短波的情況，這主要是由于波浪作用于圓柱后繞射波作用在水槽側(cè)壁后反射的結(jié)果。通過與圖6對比可以看出，結(jié)構(gòu)附近大波高區(qū)域與小波高區(qū)域分布總體上更加清晰，說明邊壁效應影響下波能向圓柱內(nèi)側(cè)集中的趨勢更加明顯。但是，圖6與圖9中所給出不同準陷波模態(tài)時最大波高分布基本相同。通過上述對比可以看出，與開敞海域相比，由于水槽中邊壁的反射作用導致水槽橫向立波自振模態(tài)的產(chǎn)生，更重要的是，波浪在作用于圓柱以后，由于繞射波受到水槽邊壁的反射作用，導致波浪波能無法輻射到遠場，而是集中于水槽內(nèi)向下游傳播，導致圓柱附近波浪運動顯著增大，且波能向圓柱內(nèi)側(cè)集中的趨勢更加明顯，這也導致了結(jié)構(gòu)附近最大波高的增加。

圖9 水槽中四柱結(jié)構(gòu)周圍的波面分布Fig.9 Wave distribution around four-cylinder structure in channel

5 結(jié)論

1)圓柱半徑的變化對圓柱內(nèi)側(cè)測點的波高產(chǎn)生的影響明顯大于外側(cè)測點，發(fā)生準陷波現(xiàn)象時此差異更為明顯。圓柱側(cè)壁間距的改變不僅導致準陷波模態(tài)自振頻率的變化，也會導致波面分布特征的改變。圓柱側(cè)壁間距離的減小導致結(jié)構(gòu)內(nèi)外水體接觸減少，更多的波能集中到結(jié)構(gòu)內(nèi)側(cè)。

2)與開敞海域相比，水槽中邊壁的反射作用會導致水槽橫向立波自振模態(tài)的產(chǎn)生。水槽邊壁的反射作用，導致波浪波能無法輻射到遠場，導致圓柱附近波浪運動顯著增大，且波能向圓柱內(nèi)側(cè)集中的趨勢更加明顯，這也導致了結(jié)構(gòu)附近最大波浪爬高的增加。

本文的研究工作忽略了圓柱壁附近的流體粘性阻尼和能量耗散對波面的影響，且實際情況下海洋平臺并非一直處于靜止狀態(tài)，所以需要借助Navier-Stokes方程數(shù)值求解實現(xiàn)更深入的工作，并對水流和波浪共同作用下的多樁柱式結(jié)構(gòu)水動力特性進行拓展研究。雖然本文的研究工作尚有不足，但對開展水槽物理模型試驗和優(yōu)化多樁柱式海洋平臺工程設計是具有意義的。