嚴(yán)柏楊，張京伍，朱德勝，葛 彬，舒 爽

(1.河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210098；2.東華理工大學(xué) 土木與建筑工程學(xué)院，江西 南昌 330013；3.揚(yáng)州大學(xué) 建筑科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225009)

基礎(chǔ)的極限承載力一直是巖土工程界關(guān)注的熱點(diǎn)問題，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者在基礎(chǔ)的承載力方面運(yùn)用數(shù)值方法[1-2]，實(shí)驗(yàn)方法[3-4]和理論方法[5-6]進(jìn)行了深入研究，并且獲得了豐碩的成果。然而，在這些研究中土體的參數(shù)都被考慮成確定性的。由于沉積和沉積后的過程，即使在均勻土層內(nèi)，土體性質(zhì)也會(huì)在空間上發(fā)生變化。土體性質(zhì)的內(nèi)在固有空間變異性是巖土工程不確定性的主要來源之一，對(duì)基礎(chǔ)承載力有著重要的影響。近年來采用隨機(jī)場(chǎng)理論來分析巖土工程相關(guān)問題已經(jīng)越來越受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，例如陳朝暉等[7]分析了土的抗剪強(qiáng)度參數(shù)空間變異性對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響，并與三種典型極限平衡法進(jìn)行了對(duì)比；Griffiths和Fenton[8]建立了二維情況下基礎(chǔ)不均勻沉降的隨機(jī)有限元模型，并分析了相關(guān)距離和變異系數(shù)對(duì)基礎(chǔ)不均勻沉降的影響。在地基承載力方面，倪紅等[9]結(jié)合工程實(shí)例分析了土性參數(shù)特性對(duì)地基承載力可靠度指標(biāo)的影響規(guī)律；張春會(huì)等[10]研究了黏土粘聚力的變異系數(shù)對(duì)條形基礎(chǔ)地基承載力的影響。然而這些研究沒有考慮到土體參數(shù)隨著深度線性增加的變異趨勢(shì)。Li等[11]指出，使用土體不排水強(qiáng)度的平穩(wěn)隨機(jī)場(chǎng)不能準(zhǔn)確地評(píng)估基礎(chǔ)失效概率。在目前的文獻(xiàn)中，鮮有非平穩(wěn)隨機(jī)場(chǎng)模型中基礎(chǔ)極限承載力的分析。

本文以條形淺基礎(chǔ)為例，探究土體不排水強(qiáng)度的非平穩(wěn)性以及相關(guān)距離對(duì)極限承載力的影響。結(jié)合隨機(jī)有限單元法與蒙特卡羅模擬，對(duì)條形基礎(chǔ)的承載力和可靠性進(jìn)行了分析，探討了土體參數(shù)非平穩(wěn)程度和相關(guān)距離對(duì)承載力隨機(jī)響應(yīng)的影響。從實(shí)際工程設(shè)計(jì)角度出發(fā)，給出了失效概率的變化規(guī)律和相應(yīng)的安全系數(shù)取值。

1 隨機(jī)場(chǎng)理論

本文以模擬土體不排水抗剪強(qiáng)度su的變異來分析極限承載力的隨機(jī)響應(yīng)問題。不排水抗剪強(qiáng)度的空間變異性一般用均值、變異系數(shù)和相關(guān)距離來表征。不排水抗剪強(qiáng)度的均值符合對(duì)數(shù)正態(tài)分布，并隨著深度線性增長(zhǎng)，滿足如下關(guān)系：

su=su0+kz

(1)

式(1)中su0為土體表面的不排水抗剪強(qiáng)度，k和z分別為非平穩(wěn)系數(shù)和深度。su0的典型值在 0到10 kPa之間，k的取值范圍在0～3.5 kPa/m之間[12]。變異系數(shù)的建議值在10%～50%之間。目前文獻(xiàn)中對(duì)不排水抗剪強(qiáng)度相關(guān)距離的闡述較少，本文選取各向同性的相關(guān)距離進(jìn)行研究，采用的分析參數(shù)具體見表1。

表1 隨機(jī)場(chǎng)模擬參數(shù)

2 隨機(jī)有限元模型

使用有限元軟件Abaqus 6.14版本在二維平面應(yīng)變條件下建模并進(jìn)行極限承載力的分析。如圖1所示，假設(shè)條形基礎(chǔ)為粗糙剛體，置于土層上部，寬度B=10 m，高度H=1 m。條形基礎(chǔ)與土的接觸面使用軟件中的“tie”類型進(jìn)行約束，確?；A(chǔ)與土體之間無相對(duì)位移。土體本構(gòu)模型采用線性-彈性完全塑性本構(gòu)模型，采用Tresca破壞準(zhǔn)則。彈性響應(yīng)由楊氏模量和泊松比定義，楊氏模量與不排水抗剪強(qiáng)度滿足關(guān)系E=500su，這樣既不影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，同時(shí)又可以提高計(jì)算效率；泊松比設(shè)置為0.495，以模擬無體積變化的不排水條件。

圖1 有限元模型Fig.1 Finite element model

土體區(qū)域模型高度為20 m (2B)，寬度為70 m (7B)，可以確保無明顯的邊界效應(yīng)產(chǎn)生。土體左右邊界被限制水平位移，下部邊界的水平和豎向位移被同時(shí)限定。依據(jù)Der Kiureghian和Ke[13]的研究結(jié)果，為了在隨機(jī)有限元分析中保證結(jié)果的準(zhǔn)確性，網(wǎng)格的尺寸不應(yīng)超過水平或豎直相關(guān)距離的0.5倍。本文考慮的最小相關(guān)距離為1 m，因此網(wǎng)格尺寸設(shè)定為0.5 m×0.5 m，類型為四結(jié)點(diǎn)雙線性平面應(yīng)變減縮積分四邊形單元。

以確定性情況下su=10 kPa為例來驗(yàn)證有限元模型的合理性。根據(jù)傳統(tǒng)的承載力系數(shù)定義Nc=q/su0(q為計(jì)算得到的極限承載力)，本文模型的結(jié)果為5.37，比Prandlt解Nc=5.14高出了約4%。與Cassidy等[14]的數(shù)值解Nc=5.28相比高出了約1.6%，這主要是由于本文比較粗糙的網(wǎng)格劃分導(dǎo)致的，進(jìn)一步細(xì)化網(wǎng)格可以使結(jié)果更加接近于Prandtl解析解和Cassidy等[14]的數(shù)值解。

3 結(jié)果與討論

蒙特卡羅模擬的次數(shù)對(duì)隨機(jī)場(chǎng)結(jié)果的精度有很大的影響，為了獲得較好的計(jì)算精度，本文所有工況采用500次蒙特卡羅模擬。圖2以工況k=0，L=1 m為例，展示了承載力系數(shù)隨機(jī)響應(yīng)的均值與方差隨著蒙特卡羅模擬次數(shù)變化的規(guī)律。可以看出隨著模擬次數(shù)的增加，承載力的均值與方差約在第350次模擬時(shí)基本趨于平緩，由此可見本文采用的500次蒙特卡羅模擬完全可以獲得良好的隨機(jī)響應(yīng)精度。

圖2 k=0，L=1 m工況下蒙特卡羅模擬次數(shù)對(duì)承載力的影響Fig.2 The effect of Monte Carlo simulations on bearing capacity when k=0，L=1 m

圖3展現(xiàn)了不同相關(guān)距離對(duì)基礎(chǔ)承載力系數(shù)的影響。圖片縱軸為承載力系數(shù)，即承載力均值與之相對(duì)的確定性結(jié)果歸一化之后的結(jié)果，可以看出當(dāng)引入隨機(jī)場(chǎng)進(jìn)行分析后這些值均小于1。隨著相關(guān)距離的增大，承載力系數(shù)先減小再增大。對(duì)于不同非平穩(wěn)程度，最小值均出現(xiàn)在L=10 m處，即相關(guān)距離與基礎(chǔ)寬度相等，這與Griffiths等[8]的結(jié)果一致。相關(guān)距離較大時(shí)，土體參數(shù)局部平均效應(yīng)的影響減弱，使得承載力得到了顯著提升。

圖3 相關(guān)距離對(duì)基礎(chǔ)承載力系數(shù)的影響Fig.3 The effect of spatial correlation length on the foundation bearing capacity factor

不同非平穩(wěn)程度對(duì)基礎(chǔ)承載力的影響見圖4。承載力系數(shù)與非平穩(wěn)程度呈現(xiàn)正相關(guān)趨勢(shì)，土體不排水強(qiáng)度非平穩(wěn)程度越高，承載力系數(shù)越大。這是由于基礎(chǔ)下方土體的強(qiáng)度隨著非平穩(wěn)程度的提高而增大，導(dǎo)致了極限承載力的增加。

圖4 非平穩(wěn)程度對(duì)基礎(chǔ)承載力系數(shù)的影響Fig.4 The effect of degree of non-stationarity on the foundation bearing capacity factor

承載力標(biāo)準(zhǔn)差(SD)隨著相關(guān)距離的變化如圖5所示?？梢钥闯鲈谙嚓P(guān)距離較小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差幾乎隨著相關(guān)距離的增加而線性增加；對(duì)于較大的相關(guān)距離，曲線變得逐漸平緩，增長(zhǎng)幅度明顯減小。非平穩(wěn)程度系數(shù)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的影響也是十分顯著的，相同的相關(guān)距離下，非平穩(wěn)程度系數(shù)越大，標(biāo)準(zhǔn)差越大。主要原因是相關(guān)距離較小時(shí)，土體的不排水抗剪強(qiáng)度在較小的區(qū)域內(nèi)波動(dòng)劇烈，局部平均效應(yīng)變得顯著，導(dǎo)致承載力的標(biāo)準(zhǔn)差較低；相反，當(dāng)相關(guān)距離較大時(shí)，基礎(chǔ)下方土體可能出現(xiàn)較大區(qū)域的高強(qiáng)度土體或低強(qiáng)度土體，使得承載力的標(biāo)準(zhǔn)差變大。

圖5 承載力標(biāo)準(zhǔn)差與相關(guān)距離之間的變化規(guī)律Fig.5 The relation between the standard deviation of bearing capacity and spatial correlation length

圖6 L=1 m時(shí)典型破壞面云圖Fig.6 Typical failure plane contours when L=1 m

圖7 k=1 kPa/m時(shí)典型破壞面云圖Fig.7 Typical failure plane contours when k=1 kPa/m

圖6為相關(guān)距離L=1 m時(shí)的典型破壞面云圖。為了使破壞面具有可比性，所有隨機(jī)有限元實(shí)現(xiàn)中的隨機(jī)場(chǎng)均來源于相同的基準(zhǔn)場(chǎng)，即相同的隨機(jī)模式但是不同的數(shù)值。比較圖6中的四幅破壞面云圖可以看出：隨著非平穩(wěn)程度的不斷提高，破壞面的長(zhǎng)度在不斷減小，同時(shí)土體受影響區(qū)域面積也逐漸減小。以往研究表明，破壞面的長(zhǎng)度、數(shù)量和破壞面穿過土體的強(qiáng)度與基礎(chǔ)承載力有著密切的聯(lián)系。雖然在k=3 kPa/m時(shí)破壞面長(zhǎng)度最短，但是仍然擁有最高的承載力。

在同一非平穩(wěn)程度下，不同相關(guān)距離對(duì)破壞面的影響見圖7?？梢钥闯?，隨著相關(guān)距離變大，總體上破壞面的長(zhǎng)度和數(shù)量也在增加。雖然圖7(a)中的破壞面長(zhǎng)度相比其他三幅圖要長(zhǎng)，但是由于受局部平均效應(yīng)的影響，基礎(chǔ)下部軟弱土層較多，使得其承載力與其他相關(guān)距離下相比較小。

圖8給出了k=1 kPa/m，L分別等于5和40 m時(shí)的承載力系數(shù)概率分布函數(shù)(PDF)?；诳ǚ綌M合優(yōu)度檢驗(yàn)，可以用正態(tài)分布函數(shù)來表征所有相關(guān)情況下的分布。值得注意的是，L較小時(shí)的PDF曲線分布要比較大L時(shí)的PDF曲線窄。這種現(xiàn)象是可以預(yù)料到的，因?yàn)殡S著相關(guān)距離的增加，承載力因子的COV逐漸增大。

圖8 k=1 kPa/m時(shí)的承載力系數(shù)概率分布函數(shù)(PDF)Fig.8 The probability distribution function of bearing capacity factor under the condition of k=1 kPa/m

在傳統(tǒng)的基礎(chǔ)設(shè)計(jì)中，極限承載力是用不排水抗剪強(qiáng)度的平均值來計(jì)算的，而許用荷載是通過引入全局安全系數(shù)(FS)來計(jì)算的。通過引入安全系數(shù)的概念，當(dāng)承載力系數(shù)服從正態(tài)分布時(shí)，其破壞概率可計(jì)算為:

(2)

式中，Φ為對(duì)數(shù)正態(tài)累積分布函數(shù)；λNc和ξNc分別是取對(duì)數(shù)后承載力系數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

圖9給出了不同安全系數(shù)下失效概率隨著相關(guān)距離變化的規(guī)律。對(duì)比三張圖可以看出，隨著安全系數(shù)的增加，失效概率不斷地減小。在相同安全系數(shù)下，當(dāng)L在1到40 m之間時(shí)，失效概率不斷增大；當(dāng)L大于40 m時(shí)，失效概率趨于平緩。

圖9 失效概率隨相關(guān)距離變化規(guī)律Fig.9 The relation between the probability of failure and spatial correlation length

不同非平穩(wěn)程度對(duì)失效概率的影響見圖10。可以看出隨著非平穩(wěn)程度的提高，基礎(chǔ)的失效概率在逐漸增大。工程中一般要求將基礎(chǔ)的失效概率控制在10-3至10-2之間，當(dāng)FS=2.7時(shí)，即可滿足工程設(shè)計(jì)要求。

圖10 失效概率隨非平穩(wěn)程度變化規(guī)律Fig.10 The relation between the probability of failure and degree of non-stationarity

4 結(jié)論

1)土體參數(shù)的非平穩(wěn)性和相關(guān)距離對(duì)基礎(chǔ)的承載力影響顯著。隨著非平穩(wěn)程度的提高，基礎(chǔ)的承載力逐漸增大。在相關(guān)距離小于基礎(chǔ)寬度時(shí)，承載力逐漸減小，當(dāng)相關(guān)距離大于基礎(chǔ)寬度時(shí)，承載力隨著相關(guān)距離的變大而變大。

2)總體來說，非平穩(wěn)程度較大時(shí)，破壞面數(shù)量較少，分布較淺；相關(guān)距離越大，破壞面分布變廣，破壞面的數(shù)量也相應(yīng)增加。

3)基礎(chǔ)的失效概率與非平穩(wěn)程度和相關(guān)距離成正相關(guān)的關(guān)系。在本文考慮的參數(shù)范圍內(nèi)基礎(chǔ)設(shè)計(jì)選取安全系數(shù)等于2.7可以滿足設(shè)計(jì)要求。