杜冬青，劉樹德

(1.徐州財(cái)經(jīng)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校，江蘇 徐州 221008；2.安徽信息工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

0 引 言

文獻(xiàn)[1]的例6.1考慮如下燃燒問題：

εy″=(y2-x2),-1

y(-1)=y(1)=1

這里燃料與氧化劑沒有預(yù)先混合，燃燒的擴(kuò)散效應(yīng)與反應(yīng)速度之比ε很小，燃料與氧化劑相遇并反應(yīng)時(shí)火焰的位置為x=0，火焰在x處的厚度為y。

由于微分方程中小參數(shù)ε與最高階導(dǎo)數(shù)相乘，故上述系統(tǒng)為奇攝動(dòng)邊值問題。利用微分不等式理論和方法，對(duì)充分小的ε>0，可得到如下解的估計(jì)[1]：

其中y=|x|是退化解(在燃燒理論中作為Burke-Schumann近似)，c為某個(gè)正常數(shù)。

于是，按照邊界層和內(nèi)層理論[2-6]，該問題在位置x=0出現(xiàn)了角層為進(jìn)一步研究角層現(xiàn)象，本文考慮更廣泛的一類燃燒問題

εy″=(y2-x2)n,-1

(1)

y(-1)=y(1)=1

(2)

利用匹配漸近展開法[7-8]，先通過外展開式確定角層的位置，再引入適當(dāng)?shù)纳煺棺儞Q求出內(nèi)展開式，然后按匹配原則進(jìn)行匹配，形成在整個(gè)區(qū)間上一致有效的復(fù)合展開式，從而構(gòu)造出在x=0處具有角層性質(zhì)的校正項(xiàng)，得到更精細(xì)的結(jié)果。

1 主要結(jié)果

先確定問題(1)、(2)內(nèi)層的位置. 設(shè)外展開式具有形式

y0=y0(x)+εy1(x)+…

(3)

將(3)代入(1)，由ε0系數(shù)相等得退化方程

(4)

易知

分別是退化方程(4)滿足邊界條件y(-1)=1和y(1)=1的解。外部解的零次近似可取為

y0(x)=|x|,-1≤x≤1

(5)

由于y0=(x)在x=0處連續(xù)但不可微，因此在x=0處出現(xiàn)了角層，如圖1所示。

圖1 角層圖示

(6)

進(jìn)而可設(shè)內(nèi)展開式

(7)

將(7)代入(6)，并比較ε0的系數(shù)得

隨之推出

式中C為積分常數(shù)。

按照(5)式，在x=0處

y0(0-)=y0(0+)=0

應(yīng)用Prandtl匹配原則[7]，分別有

Y0(-∞)=Y0(+∞)=0

及

由此定出 。

若給定初值Y0(0)=a(a>0)，則在(-∞,0]和[0,+∞)上解相應(yīng)的初值問題，分別得到

和

兩式可統(tǒng)一寫為

最后，將外展式與內(nèi)展開式相加并減去其公共部分(公共部分為零)，得到在整個(gè)區(qū)間上一致有效的復(fù)合展開式

(8)

因此，問題(1)，(2)的解可用復(fù)合展開式的零次近似表示為

(9)

特別地，取n-1，就有

(10)

及

(11)

2 結(jié)束語

應(yīng)用微分不等式理論和方法是處理具有角層現(xiàn)象的奇攝動(dòng)邊值問題的常用方法。通過分析微分不等式與相應(yīng)的微分方程的解之間的關(guān)系，構(gòu)造出一對(duì)適當(dāng)?shù)慕缍ê瘮?shù)，進(jìn)而對(duì)所論問題的解作出先驗(yàn)估計(jì)。但該方法僅給出精確解與退化解之間的一個(gè)估計(jì)，未能構(gòu)造出具有角層性質(zhì)的近似解。

本文利用匹配漸近展開法，先求出兩個(gè)不同尺度的內(nèi)、外展開式，然后按Prandt匹配原則進(jìn)行匹配，使外展開式的內(nèi)極限等于內(nèi)展開式的外極限，形成在整個(gè)區(qū)間上一致有效的復(fù)合展開式，從而構(gòu)造出在 處具有內(nèi)角層性質(zhì)的校正項(xiàng)，得到比解的估計(jì)更精細(xì)的結(jié)果。

燃燒過程的實(shí)質(zhì)是一物理和化學(xué)的綜合過程.本文只討論沒有預(yù)先混合的燃燒理論中的一個(gè)典型問題，進(jìn)一步還可考慮使燃料與氧化劑預(yù)先混合后的燃燒，即預(yù)混燃燒問題。