□ 沈 強

SOLO分類評價理論是香港大學(xué)教育心理學(xué)教授彼格斯（J.B.Biggs）首創(chuàng)的一種學(xué)生學(xué)業(yè)評價方法，它是以等級描述為特征的質(zhì)性評價方法。根據(jù)學(xué)生理解能力由低到高分成五個層次：前結(jié)構(gòu)水平、單點結(jié)構(gòu)水平、多點結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平和抽象擴展結(jié)構(gòu)水平。所謂過程性變式，是指創(chuàng)建變式問題或情境，讓學(xué)生進行探究，找到解決問題的方法，讓學(xué)生逐步或從多種途徑建立不同概念之間的聯(lián)系。本文結(jié)合“圓柱和圓錐”中的一道試題，對學(xué)生的解答情況根據(jù)理解水平進行分類和分層，針對不同水平層次的學(xué)生設(shè)計不同的變式練習(xí)，以提高練習(xí)課的有效性，促使在不同思維水平層次上的學(xué)生得到不同程度的發(fā)展。

一、原題呈現(xiàn)、測試背景、測評點分析

1.原題呈現(xiàn)。

2.試題背景。

此題是2020年7月嘉興市小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)試卷上“解決問題”中的試題。

3.測評點分析。

知識點：考查圓柱表面積和圓環(huán)面積的相關(guān)知識及其運用。

能力點：能先將復(fù)雜的幾何圖形分解成若干個部分，然后對子圖形進行識別和計算，以便有效地解決原來的問題。

二、基于SOLO分類理論對學(xué)生的理解水平進行分層分析

（一）樣本分析

在全區(qū)近3000份試卷中，隨機抽取800份試卷做樣本分析，并根據(jù)理解水平能力進行分類。以下是對不同水平層次學(xué)生的解答情況所做的分析。

1.前結(jié)構(gòu)水平層次。能力“最低”。

處于前結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生的回答不存在邏輯上的聯(lián)系，線索與回答混在一起，有三種情況：拒絕、同義反復(fù)、轉(zhuǎn)換。此題中出現(xiàn)了兩種情況：拒絕和轉(zhuǎn)換。拒絕，指學(xué)生不想認真投入到思考中，最直接的現(xiàn)象是空白（如圖1）。轉(zhuǎn)換，與其說是猜測，不如說是瞎說瞎撞，學(xué)生試圖找到一個相關(guān)的答案，但出錯了，主要是未在邏輯基礎(chǔ)上進行解答（如圖2）。

圖1

圖2

2.單點結(jié)構(gòu)水平層次。能力“低”。

處于單點結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生只抓住了閃現(xiàn)在心目中的頭一個素材（但至少是一個相關(guān)素材），就直接跳到結(jié)論上去，因此結(jié)論非常不一致。有的學(xué)生只算對了側(cè)面積，其余部分都是錯誤的（如圖3），有的只算對了圓的面積（如圖4）。類似的解答，離正確結(jié)果相差較遠。

圖3

圖4

3.多點結(jié)構(gòu)水平層次。能力“中”。

處于多點結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生往往會找到許多相關(guān)點。但由于各點之間沒有相互聯(lián)系，或者在某一個點上出現(xiàn)了問題，導(dǎo)致用同樣的素材得出不同的結(jié)論。處于多點結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生的解題思路完全正確，但由于某個公式運用錯誤，導(dǎo)致離正確結(jié)論只有一步之遙。公式運用錯誤主要有兩種情況：一是將圓環(huán)面積公式記憶成“大圓的直徑×直徑×π－小圓的直徑×直徑×π”（如圖5）；二是將圓柱的側(cè)面積記憶成“底面積×高”，側(cè)面積與體積公式混淆（如圖6）。

圖5

圖6

4.關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平層次。能力“高”。

處于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生，在設(shè)定的情境或經(jīng)歷的經(jīng)驗范圍內(nèi)，能利用相關(guān)知識進行概括，沒有不一致的問題。學(xué)生會在看到事物的所有方面后，將其連貫成一個整體，再做出關(guān)聯(lián)性解答。此層次中，學(xué)生利用圓柱表面積和圓環(huán)面積的相關(guān)知識進行正確解答，解答思路是將復(fù)雜的組合圖形面積分解成三部分“小圓的面積+圓柱的側(cè)面積+圓環(huán)的面積”，分別計算后再相加（如圖7）。

圖7

5.抽象擴展結(jié)構(gòu)水平層次。能力最“高”。

處于抽象擴展結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生的回答超越了根據(jù)素材進行的歸納，進行了真正的合乎邏輯的演繹。這一層次的學(xué)生，將帽子的頂部（小圓）和帽檐（圓環(huán)）相加后正好成為一個大圓，所以帽子面料的面積分解成兩部分：大圓的面積和圓柱側(cè)面的面積，分別計算兩部分后再相加（如圖8）。在推理的基礎(chǔ)上計算更簡便，思維水平層次更高。

圖8

（二）測查結(jié)論

對學(xué)生的解答進行了歸類和統(tǒng)計，各SOLO 層次的人數(shù)和占比如表1所示（抽取樣本800份）。

表1

從本次測查結(jié)果來看，此題的得分率為69.6%，說明學(xué)生在解決這類復(fù)雜的幾何圖形時，理解能力比較薄弱。主要由以下三個方面造成：一是不能有效地將復(fù)雜的幾何圖形分解成若干個子圖形，缺乏一個整體的解題思路；二是有了正確的解題思路后，因為涉及的面積公式較多，而且公式之間容易混淆，造成在計算部分子圖形時出現(xiàn)錯誤；三是此題的計算量比較大，特別是計算過程和結(jié)果中沒有保留π，計算量和復(fù)雜程度明顯上升，造成嚴重的計算錯誤。

三、立足于學(xué)生不同層次的理解能力，實施針對性教學(xué)

所謂針對性教學(xué)，指根據(jù)學(xué)生不同的理解力，進行歸類并分層，運用過程變式理念設(shè)計相應(yīng)的練習(xí)題，實施針對性教學(xué)，以提高學(xué)生的理解水平層次。

1.處于前結(jié)構(gòu)、單點結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生向多點結(jié)構(gòu)水平層次提升。

處于前結(jié)構(gòu)和單點結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生，對基本圖形概念掌握不扎實，缺少學(xué)習(xí)活動經(jīng)驗，對于各種變式習(xí)題，缺乏鑒別能力。要提升到多點結(jié)構(gòu)水平，可以從以下兩個方面進行嘗試：一是增加動手操作環(huán)節(jié)，拉長學(xué)生的過程性體驗歷程；二是提供辨別比較材料，提升思維鑒別能力。

（1）由靜變動，增加動手操作環(huán)節(jié)，拉長學(xué)生的過程體驗歷程。

心理學(xué)家皮亞杰認為：“活動是認識的基礎(chǔ)，智慧從動作開始?！痹跀?shù)學(xué)課堂中，學(xué)生通過自我探索、合作交流，體驗數(shù)學(xué)事實，運用數(shù)學(xué)思想和方法，進而積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

在表面積的練習(xí)中，更多的習(xí)題是靜態(tài)的，只提供情境和數(shù)據(jù)，讓學(xué)生運用公式進行計算。例如“制作一個無蓋的水桶，底面半徑為3 分米，高為5分米，需要多大的鐵皮？”這樣的習(xí)題對于學(xué)生鞏固知識和技能有一定的幫助，但過多類似的練習(xí)，對于處于前結(jié)構(gòu)和單點結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生來講，在不理解和缺乏活動經(jīng)驗的基礎(chǔ)上反復(fù)操練，更多的只是記憶性練習(xí)，思維水平很難在原水平基礎(chǔ)上有所突破。將其通過變式改編成一道操作實踐題，提供一張長25.12 厘米、寬18.84 厘米的長方形紙，讓學(xué)生通過計算，在另一張白紙上利用圓規(guī)和剪刀剪出一個圓形紙片，與提供的這張紙一起組成一個無蓋的圓柱形紙筒。學(xué)生首先需要考慮用長方形的哪條邊作為底面的周長，其次運用公式計算出直徑，再利用圓規(guī)畫出圓形并剪下，粘貼成圓柱形紙筒。雖然這一操作會比單純做一道習(xí)題花去更多的時間，但可以拉長學(xué)生的過程體驗，通過積累一道題的活動經(jīng)驗來掌握解決一類題的技能與方法。

（2）由一變多，提供辨別比較材料，提升學(xué)生的思維鑒別能力。

有比較才有鑒別，比較是鑒別事物異同關(guān)系的一種思維方式。一道題經(jīng)過不斷的變式，會產(chǎn)生不同的情況，教師可以讓學(xué)生采用對比的方法，將各種知識互相聯(lián)系起來，在互相比較中揭露事物的本質(zhì)，提升學(xué)生的理解能力。

如圓柱表面積的相關(guān)知識中，有些圓柱物體是求“側(cè)面積+2個底面積”，有些是求“側(cè)面積+1個底面積”，還有一些是只求“側(cè)面積”。對于處于前結(jié)構(gòu)和單點結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生來講，能夠正確區(qū)分幾種情況是一個難點。教師先呈現(xiàn)一個圓柱形，然后對其進行變化，變成各種情境下求圓柱的表面積，讓學(xué)生思考分別屬于哪類情況，進行歸類與整理（如圖9），并對各類情況進行補充。通過由一變多的方式，學(xué)生進行了思辨，提升了鑒別能力。

圖9

2.處于多點結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生向關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平層次提升。

處于多點結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生往往在解題時沒有畫圖或標(biāo)數(shù)據(jù)，在選用公式和數(shù)據(jù)時出現(xiàn)錯誤，從而導(dǎo)致結(jié)論的不一致性，這說明學(xué)生在信息解讀能力上有待提高。另外，計算造成的錯誤，使學(xué)生離正確結(jié)論只差一步。

（1）由簡變繁，提高信息解讀要求，發(fā)展學(xué)生的信息解讀能力。

在幾何教學(xué)中，面對復(fù)雜的條件和繁多的數(shù)據(jù)，如何正確解讀信息？可以通過畫圖和標(biāo)數(shù)據(jù)的方式，把題目的意思以直觀形象的圖示表示出來，讓學(xué)生在解題過程中更容易運用公式、找到數(shù)據(jù)來解決問題。

很多習(xí)題只有文字沒有圖示，例如“一個圓柱形物體，底面直徑4 分米，高6 分米，將它的側(cè)面和上下底面用布粘貼起來，一共需要多少布料？”對于這類習(xí)題，學(xué)生需要養(yǎng)成畫圖和標(biāo)數(shù)據(jù)的習(xí)慣。教師還可以通過增加信息條件，來發(fā)展學(xué)生的信息解讀能力。如將此題改為：“一個圓柱形燈罩，底面直徑4分米，高6分米，先將它的側(cè)面和上下底面用布粘貼起來，然后在上下兩個底面分別剪去一個半徑為1.5分米的小圓，以便散熱，做這樣一個燈罩共需要多少布料？”經(jīng)過變式后，信息量增加，解題難度上升，更能挑戰(zhàn)學(xué)生的信息解讀能力。邊畫圖邊標(biāo)數(shù)據(jù)，這是對信息正確解讀的有效方法。

圖10

（2）由繁變簡，簡化學(xué)生計算過程，提高學(xué)生的計算能力。

在試卷分析的數(shù)據(jù)采集中，對處于多點結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)和抽象擴展結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生的計算進行了分類統(tǒng)計，結(jié)果如表2所示。

表2

從上表中可以看出，近75%的學(xué)生在計算過程中保留了π（如圖11），還有25%的學(xué)生是直接乘3.14（如圖12）。在批閱過程中，明顯發(fā)現(xiàn)不保留π的計算過程煩瑣，涂改的現(xiàn)象比較明顯，正確率低。為了與初中學(xué)習(xí)接軌，建議計算過程和結(jié)果都保留π。

圖11

圖12

3.處于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生向抽象擴展結(jié)構(gòu)水平層次提升。

從關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平層次向抽象擴展結(jié)構(gòu)水平層次發(fā)展，需要教師對習(xí)題進行不斷的變式，使習(xí)題具有更高的挑戰(zhàn)性，發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新精神。

（1）由正變斜，改變信息空間位置，豐富學(xué)生的圖像建構(gòu)過程。

在用紙圍圓柱的側(cè)面時，一般是用長方形或正方形紙來圍的，教師可對其進行變式，用一個平行四邊形紙片，改變傳統(tǒng)的圍法，讓學(xué)生在一個未經(jīng)歷過的情境中來解決問題。呈現(xiàn)題意：“由一張高為6 厘米、面積為75.36 平方厘米的平行四邊形商標(biāo)紙片，正好粘貼在一個茶葉筒的側(cè)面（無縫隙、無重疊），如果接口不計，做一個這樣的茶葉筒共需要多少紙板（上下也有紙板）？”引導(dǎo)學(xué)生從條件出發(fā)，向問題靠近。已知平行四邊形的面積和高，可以求出底，底的長度就是圓柱底面的周長，可以求出半徑，再求底面的面積，最后求出表面積。也可以引導(dǎo)學(xué)生從問題出發(fā)，側(cè)面積已知，只需求出底面積，底面的周長與平行四邊形的底邊相等，利用平行四邊形面積公式求出底邊。培養(yǎng)學(xué)生從不同的思考方向來解決問題。

圖13

（2）由斜變正，利用圖形之間關(guān)系，優(yōu)化學(xué)生的解題思路框架。

解決問題時，學(xué)生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，不要急于去解題，而是先思考有幾種解決方案，再比較哪種解決方案更優(yōu)化，方案的優(yōu)化意味著解題更簡便，正確率更高。

例如“一個糧倉（如圖14），如果每立方米糧食的質(zhì)量為750千克，這個糧倉最多能裝多少千克糧食？（單位：米）”在計算糧倉的體積時，學(xué)生一般都是分別計算圓錐和圓柱的體積再相加。在利用常規(guī)解題思路之前，可以讓學(xué)生先比較圓錐和圓柱之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)兩者的底面積是相等的，可將圓錐轉(zhuǎn)化成等底面等體積的圓柱，變成底面積相等、高為0.2 米的圓柱，那么整個體積可以看成高為（1.5+0.2）米的圓柱，這種解題思路就如生活中看到的將尖尖的頂部抹平的現(xiàn)象。

圖14