王均剛， 楊士男， 劉燕德， 曾禮平， 墨蕊娜

(1.華東交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院，江西 南昌 330013； 2.華東交通大學(xué) 理學(xué)院， 江西 南昌 330013)

行星齒輪傳動因其特殊的結(jié)構(gòu)和優(yōu)良的傳動性而被廣泛應(yīng)用于各種機(jī)械傳動系統(tǒng)。與單級行星輪系相比，多級行星輪系的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，包含的構(gòu)件更多，對多級行星輪系的分析設(shè)計十分困難[1-2]。

國內(nèi)外學(xué)者日益重視應(yīng)用圖形符號對行星輪系進(jìn)行結(jié)構(gòu)拓?fù)浞治?，提出了豐富的圖論表示方法[3-6]。薛隆泉等[7]基于功能離散法提出行星輪系的拓?fù)鋱D轉(zhuǎn)化理論，通過拓?fù)渥儞Q過程、借用不同的符號表示出行星輪系中各構(gòu)件以及構(gòu)件間不同的聯(lián)接特征，最終形成以點(diǎn)、線組成的圖形，但其在整體結(jié)構(gòu)拓?fù)湫员磉_(dá)方面存在欠缺。雷亞榮[8]在文獻(xiàn)[7]基礎(chǔ)上，完善了拓?fù)鋱D的轉(zhuǎn)化理論，確立行星輪系系統(tǒng)化研究的圖形模型，見圖1，但是其對構(gòu)件的符號表示以及構(gòu)件間的聯(lián)接性質(zhì)仍未作到明確的區(qū)分，整體結(jié)構(gòu)情況不完整，缺少機(jī)架與其他構(gòu)件的聯(lián)接關(guān)系，各構(gòu)件間的聯(lián)接特征不明確，齒輪內(nèi)嚙合和外嚙合無法進(jìn)行區(qū)分。

圖1 兩級行星輪系結(jié)構(gòu)圖及結(jié)構(gòu)拓?fù)淠Ｐ蚚8]

文獻(xiàn)[9-12]基于圖論理論，對行星齒輪傳動機(jī)構(gòu)進(jìn)行構(gòu)型方案設(shè)計。Ding等[13]提出了新雙色拓?fù)鋱D和三色拓?fù)鋱D的方法，并在平面連桿機(jī)構(gòu)的構(gòu)型綜合中取得了很好的效果。李斌等[14]引入新三色拓?fù)鋱D對行星齒輪機(jī)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)描述，見圖2，運(yùn)用新三色拓?fù)鋱D對行星輪系進(jìn)行拓?fù)涿枋鰰r，雖然能夠明確地體現(xiàn)出各構(gòu)件間的聯(lián)接特征以及構(gòu)件的性質(zhì)，但輪系的整體結(jié)構(gòu)特性反映不太明確。

為了使運(yùn)算復(fù)雜、難以掌握的行星輪系運(yùn)動學(xué)分析變得更為簡單和直觀， 一些研究者采用圖形化方法對行星輪系的運(yùn)動學(xué)進(jìn)了分析。Tsai等[15]運(yùn)用方塊圖法對行星輪系的運(yùn)動特性進(jìn)行了分析。GomAyats等[16]針對行星輪系中各構(gòu)件之間的運(yùn)動關(guān)系以及整個傳動系統(tǒng)的傳動比分配，提出了一種超圖法。Salgado等[17]基于圖形表示法對具有多構(gòu)件的行星輪系功率流與傳動效率進(jìn)行了分析。Gao等[18]在行星輪系中引入速度拓?fù)鋱D的概念，研究了傳動比和拓?fù)渲g的關(guān)系。符升平等[19]基于圖論理論，提出了一種更適用于計算機(jī)建模和求解的行星輪系傳動性能分析方法。

由文獻(xiàn)可知，采用圖形符號能夠簡化行星輪系的結(jié)構(gòu)設(shè)計和運(yùn)動學(xué)分析。但是，用于研究行星輪系結(jié)構(gòu)特征以及運(yùn)動特性的各類圖形化表示呈現(xiàn)發(fā)散式研究，各有千秋。盡管有學(xué)者研究了統(tǒng)一拓?fù)涿枋瞿Ｐ偷钠矫鏅C(jī)構(gòu)的表示方法[20]，但目前公開發(fā)表的文獻(xiàn)尚無針對多級行星輪系的結(jié)構(gòu)特征及運(yùn)動特征信息運(yùn)用完善的圖形符號進(jìn)行表示，并且對多級的行星輪系進(jìn)行結(jié)構(gòu)和運(yùn)動拓?fù)涿枋鰰r相對困難，甚至無法作出其拓?fù)鋱D。

圖2 單級行星輪系結(jié)構(gòu)圖及結(jié)構(gòu)拓?fù)淠Ｐ蚚14]

本文在已有的研究基礎(chǔ)上，提出了對多級行星輪系的結(jié)構(gòu)特征及運(yùn)動特征信息運(yùn)用完善的圖形符號進(jìn)行表示方法，該方法能夠?qū)Χ嗉壍男行禽喯颠M(jìn)行結(jié)構(gòu)和運(yùn)動拓?fù)淠Ｐ瓦M(jìn)行描述。通過對行星輪系中各構(gòu)件以及各構(gòu)件之間的聯(lián)接關(guān)系進(jìn)行相關(guān)的圖形符號定義，規(guī)定了演化規(guī)則及轉(zhuǎn)換方式，提出了能夠完整描述行星輪系整體結(jié)構(gòu)特征、運(yùn)動特性和構(gòu)件性質(zhì)明確的統(tǒng)一圖形符號表達(dá)方法，為行星輪系在實(shí)際分析設(shè)計過程中提供一種新的方式。其具體分析過程見圖3。

圖3 行星輪系拓?fù)淠Ｐ徒⒎治隽鞒虉D

1 描述行星輪系統(tǒng)新圖形符號及其轉(zhuǎn)換規(guī)則

應(yīng)用圖論理論對行星輪系進(jìn)行研究，需要滿足以下兩種情況：1)拓?fù)淠Ｐ头从车男行禽喯档恼w結(jié)構(gòu)情況是否完整；2)拓?fù)淠Ｐ头从车男行禽喯档倪\(yùn)動性質(zhì)情況是否明確。同時，這兩種情況是根據(jù)以下三方面的指標(biāo)進(jìn)行分析：①圖形的運(yùn)動拓?fù)浞从呈欠衩鞔_，運(yùn)動拓?fù)湫跃唧w指輪系各構(gòu)件間的聯(lián)接特征；②圖形中構(gòu)件性質(zhì)是否明確，構(gòu)件性質(zhì)具體指輪系中構(gòu)件的區(qū)分度和所屬功能；③圖形的整體結(jié)構(gòu)拓?fù)涮匦苑从呈欠衩鞔_，整體結(jié)構(gòu)拓?fù)涮匦跃唧w指不同性質(zhì)的構(gòu)件所屬的層不同。

一般而言，行星輪系是由太陽輪、行星輪、內(nèi)齒圈、行星架以及機(jī)架所組成的傳動系統(tǒng)?；谕?fù)鋱D轉(zhuǎn)化理論，將行星輪系中各構(gòu)件轉(zhuǎn)化為不同的圖形符號進(jìn)行描述。

1) 各功能構(gòu)件符號描述：實(shí)心點(diǎn)●表示單行星輪、復(fù)合實(shí)心點(diǎn)?表示雙聯(lián)行星輪；空心點(diǎn)○表示太陽輪；空心方框□表示行星架；實(shí)心方框■表示內(nèi)齒圈；空心三角形△表示機(jī)架。

2) 各功能構(gòu)件的聯(lián)接關(guān)系轉(zhuǎn)化規(guī)則：細(xì)實(shí)線表示回轉(zhuǎn)副；單嚙合線表示齒輪外嚙合聯(lián)接；雙嚙合線表示齒輪內(nèi)嚙合聯(lián)接，忽略機(jī)架與基本構(gòu)件之間的固結(jié)。

3) 根據(jù)行星輪系的基本回路特性，在圖畫的表示中，圖形符號表示的基本回路為應(yīng)滿足基本回路數(shù)目等于系統(tǒng)的齒輪副數(shù)目，且由表示三個基本構(gòu)件的圖形符號、表示齒輪副圖形符號、兩個回轉(zhuǎn)副圖形符號構(gòu)成的封閉回路。

2 基于新圖形符號的多級行星輪系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與運(yùn)動拓?fù)淠Ｐ?/h2>

2.1 多級行星輪系統(tǒng)結(jié)構(gòu)拓?fù)淠Ｐ?/h3>

根據(jù)上述中各構(gòu)件的圖形符號定義，現(xiàn)建立圖4中兩級行星輪系的結(jié)構(gòu)拓?fù)淠Ｐ汀?/p>

圖4 兩級行星輪系結(jié)構(gòu)圖及結(jié)構(gòu)拓?fù)淠Ｐ?/p>

將行星輪系的結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)拓?fù)淠Ｐ捅硎?，其主要?yōu)點(diǎn)之一是便于建立行星輪系的鄰接矩陣[12]，對行星齒輪機(jī)構(gòu)進(jìn)行同構(gòu)性判斷。行星輪系的鄰接矩陣形式以及轉(zhuǎn)換規(guī)則為：

(1)

式中：n為機(jī)構(gòu)的構(gòu)件數(shù)，矩陣元素aij(i、j=0,1,2,…,n)。若構(gòu)件i、j以回轉(zhuǎn)副聯(lián)接，則aij=1；若構(gòu)件i、j以外嚙合齒輪副聯(lián)接，則aij=2；若構(gòu)件i、j以內(nèi)嚙合齒輪副聯(lián)接，則aij=3；若構(gòu)件i、j以外嚙合齒輪副聯(lián)接且含有雙聯(lián)行星輪時，則aij=4；若構(gòu)件i、j以內(nèi)嚙合齒輪副聯(lián)接且含有雙聯(lián)行星輪時，則aij=5；其余，aij=0。

根據(jù)式(1)，建立圖4中兩級行星輪系C1、C2和C3的鄰接矩陣A，即：

(2)

(3)

(4)

通過編程，分別計算出鄰接矩陣A的特征值及特征向量，具體計算結(jié)果見表1～3(其中，第一列為特征值λ，其右方為與該特征值相對應(yīng)的特征向量φ，φ=[φi]T，i=1,...,7)。通過對比鄰接矩陣的特征值和特征向量進(jìn)行行星齒輪機(jī)構(gòu)之間的同構(gòu)判斷[21]。

通過對比行星輪系C1、C2和C3的鄰接矩陣的特征值與特征向量，可知C1與C2的鄰接矩陣的特征值完全相同，并且同一特征值所對應(yīng)的特征向量其各元素對應(yīng)相等或比例，例如λ3=-0.699 7所對應(yīng)的特征向量：φ1?(-φ1)、φ2?(-φ2)、φ3?(-φ5)、φ4?(-φ4)、φ5?(-φ7)、φ6?(-φ3)、φ7?(-φ6)，因此，可以判斷行星輪系C1與C2為同構(gòu)運(yùn)動鏈；行星輪系C3與C1或C2，首先其鄰接矩陣的特征值就不相等，不滿足判斷條件，因此，行星輪系C3與C1或C2之間的為非同構(gòu)運(yùn)動鏈。

表1 鄰接矩陣AC1的特征值和特征向量

表2 鄰接矩陣AC2的特征值和特征向量

表3 鄰接矩陣AC3的特征值和特征向量

2.2 多級行星輪系的運(yùn)動拓?fù)涿枋瞿Ｐ?/h3>

行星輪系的運(yùn)動拓?fù)淠Ｐ褪欠从称溥\(yùn)動狀態(tài)的特征模型。無論是單級行星齒輪傳動或多級行星齒輪傳動都可以分解為外嚙合和內(nèi)嚙合兩種基本運(yùn)動功能單元，見圖5，其中p表示行星輪、s表示太陽輪、r表示內(nèi)齒圈、c表示行星架。

圖5 行星齒輪基本運(yùn)動單元

以每個基本運(yùn)動單元轉(zhuǎn)化為定軸輪系后的傳動比為特征，根據(jù)行星齒輪機(jī)構(gòu)中基本運(yùn)動單元內(nèi)各構(gòu)件的運(yùn)動關(guān)系建立其轉(zhuǎn)速方程：

3 運(yùn)動分析實(shí)例

為了驗(yàn)證多級行星輪系結(jié)構(gòu)與運(yùn)動拓?fù)淠Ｐ偷膱D形符號描述新方法的有效性和簡單直觀性，以圖6(a)所示的復(fù)式行星齒輪機(jī)構(gòu)為例進(jìn)行運(yùn)動學(xué)實(shí)例分析。復(fù)式行星傳動系統(tǒng)由復(fù)式太陽輪2、復(fù)式行星架3、復(fù)式行星輪4、復(fù)式內(nèi)齒圈5、復(fù)式雙聯(lián)行星輪6和6′和太陽輪7組成，其動力傳遞分為兩路：一路為復(fù)式行星架3帶動復(fù)式行星輪4、復(fù)式雙聯(lián)行星輪中的行星輪6與分別與復(fù)式內(nèi)齒圈5和復(fù)式太陽輪2嚙合傳動；另一路為復(fù)式行星架3帶動復(fù)式雙聯(lián)行星輪中的行星輪6′與太陽輪7嚙合傳動。通過建立其運(yùn)動拓?fù)淠Ｐ?，并進(jìn)行基本運(yùn)動單元劃分，分別對各構(gòu)件的轉(zhuǎn)速ω以及系統(tǒng)的總傳動比進(jìn)行求解。

圖6 復(fù)式行星齒輪傳動機(jī)構(gòu)

根據(jù)圖6(b)中的運(yùn)動拓?fù)淠Ｐ涂芍?，其基本運(yùn)動單元為：1(3-4-5)、2(3-4-2)、3(3-6-5)、4(3-6′-7)。根據(jù)式(5)，建立輪系的角速度約束方程：

(6)

式中：ωin表示復(fù)式行星架的輸入角速度。將式(6)寫成矩陣的形式：

(7)

倘若取復(fù)式太陽輪2、復(fù)式行星輪4、復(fù)式雙聯(lián)行星輪6和6′、復(fù)式內(nèi)齒圈5和太陽輪7的齒輪齒數(shù)分別為Z2=12、Z4=14、Z5=40、Z6=14、Z6′=16和Z7=20，復(fù)式行星架的輸入轉(zhuǎn)速ωin=18 r/min，則其轉(zhuǎn)速方程為：

(8)

根據(jù)非齊次線性方程組理論，利用MATLAB計算出各構(gòu)件的轉(zhuǎn)速如下：ω2=78 r/min，ω3=18 r/min，ω4=-33.428 6 r/min，ω5=0 r/min，ω6=-33.428 6 r/min，ω7=59.142 9 r/min。傳動比i=ω7/ω3=3.285。分析結(jié)果與轉(zhuǎn)化機(jī)構(gòu)法計算的結(jié)果一致[22]。

4 結(jié) 論

在現(xiàn)有的研究成果基礎(chǔ)上，提出了描述多級行星輪系結(jié)構(gòu)特征與運(yùn)動特性信息的新圖形符號表示，基于新圖形符號建立了多級行星齒輪的結(jié)構(gòu)拓?fù)淠Ｐ秃瓦\(yùn)動拓?fù)淠Ｐ停瑢?shí)現(xiàn)了多級行星齒輪機(jī)構(gòu)與拓?fù)淠Ｐ偷囊灰粚?yīng)關(guān)系。運(yùn)動拓?fù)淠Ｐ徒沂玖私M成運(yùn)動回路的各構(gòu)件之間的運(yùn)動關(guān)系和系統(tǒng)整體的運(yùn)動特性，根據(jù)行星輪系的基本運(yùn)動單元，并結(jié)合非齊次方程組理論快速簡潔地求出輪系中各個運(yùn)動學(xué)參量，有利于對行星輪系傳動性能系統(tǒng)化的研究。該圖形描述方法能夠清晰且完整地表達(dá)各構(gòu)件的屬性和拓?fù)潢P(guān)系，將計算機(jī)無法識別儲存的行星齒輪機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)換成可識別儲存的數(shù)字鄰接矩陣，有利于進(jìn)行行星輪系的創(chuàng)新和綜合。