黃發(fā)勝
【摘要】平均數(shù)計算是中小學(xué)數(shù)學(xué)中最常見、最基本的計算,是每個學(xué)生都必須牢固掌握的計算,但在實際教學(xué)中,學(xué)生在解有關(guān)平均數(shù)的計算題時卻常常出現(xiàn)錯誤.本文收集了一些常見錯誤題型,詳細(xì)分析了錯誤原因,并形成理論知識,定義了三種平均數(shù),給出了計算公式,以便于師生應(yīng)用推廣.
【關(guān)鍵詞】平均數(shù);計算;誤解
平均數(shù)是統(tǒng)計中的一個重要概念.在現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材中,統(tǒng)計學(xué)知識在小學(xué)教材中零散出現(xiàn),到初中數(shù)學(xué)中才系統(tǒng)地呈現(xiàn).作為統(tǒng)計學(xué)中最基礎(chǔ)的平均數(shù),其定義及計算也是逐漸擴(kuò)展的.小學(xué)數(shù)學(xué)里所講的平均數(shù)一般是指算術(shù)平均數(shù),也就是一組數(shù)據(jù)的和除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)所得的商.在統(tǒng)計中,算術(shù)平均數(shù)通常反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢,它是描述數(shù)據(jù)集中程度的一個統(tǒng)計量,用來反映一組數(shù)據(jù)的“重心”.平均數(shù)有直觀、簡明的特點,可以反映出一組數(shù)據(jù)最直觀的分布情況,所以在日常生活中使用廣泛,如平均成績、平均質(zhì)量、平均身高等.
[JP2]在小學(xué)數(shù)學(xué)中,把兩個數(shù)的和除以2后所得的數(shù)叫作這兩個數(shù)的平均數(shù),這一定義一直延續(xù)到初三.在初三“統(tǒng)計初步”一章中,把兩個數(shù)x1,x2的平均數(shù)定義為x-=12(x1+x2),[JP]推廣后得到n個數(shù)x1,x2,x3,…,xn的平均數(shù)為x-=1n(x1+x2+…+xn).簡而言之,小學(xué)到初中,求平均數(shù)的方法是:幾個數(shù)的平均數(shù)等于這幾個數(shù)的和再除以幾.然而正是這種傳統(tǒng)的習(xí)慣求法,導(dǎo)致學(xué)生不具體分析問題,機(jī)械地亂套公式,這不利于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.下面我們通過幾個例子分析學(xué)生在平均數(shù)計算中常出現(xiàn)的錯誤及產(chǎn)生錯誤的原因.
一、計算平均數(shù)的實例
例1 某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)的產(chǎn)值,去年比前年增長20%,今年又比去年增長30%,問:這兩年的平均增長率是多少?
例2 有一不等臂天平,把某一物體置于左盤,稱得質(zhì)量為1千克;把此物體置于右盤,稱得質(zhì)量為0.81千克,求此物體的實際質(zhì)量.
例3 某同學(xué)騎自行車從家去縣城,去時速度為10千米/時,返回時速度為20千米/時,求此同學(xué)往返的平均速度.
二、平均數(shù)計算中常見的誤解
上面三例都是平均數(shù)計算問題,例2雖沒提出計算平均質(zhì)量,但根據(jù)有關(guān)物理知識可知,也是求平均數(shù)問題.受傳統(tǒng)平均數(shù)概念的影響,學(xué)生出現(xiàn)了下面解法.
例1 平均增長率x-=12×(20%+30%)=25%.
例2 實際質(zhì)量m=12×(1+0.81)=0.905(千克).
例3 平均速度v=12×(10+20)=15(千米/時).
三、上面三例的正確解法及推廣
對待任何問題都要具體分析,抓住問題的主要矛盾.這一原理反映在數(shù)學(xué)上就是要弄清題意,抓住問題涉及的定理或定義,從而找到解決問題的方法.下面我們把提出的問題加以討論,得出一般性的結(jié)論.
1.若去年的增長率為a,今年的增長率為b,設(shè)這兩年的平均增長率為x.
把前年的產(chǎn)值看作“1”,則去年產(chǎn)值為1+a,今年的產(chǎn)值為(1+a)(1+b).又因為年平均增長率為x,故今年產(chǎn)值為(1+x)2.于是有方程:
五、平均數(shù)計算中的錯誤辨析
1.例1中,錯誤解法為:x-=20%+30%2=25%,現(xiàn)在分析一下產(chǎn)生錯誤的原因:
① 兩次增長的百分率不能簡單地相加,由于增長前后每年的基數(shù)不同,即今年比前年的增長率不是20%+30%=50%,而是(1+20%)(1+30%)-1=56%.
② 平均增長率也不能用增長率除以2計算,即50%÷2=25%是錯誤的,且56%÷2=28%也是錯誤的,由公式(1) 知:1+x是1+a與1+b的幾何平均數(shù),而幾何平均數(shù)根本不需除以2,故正確解為:
x=(1+20%)(1+30%)-1≈24.9%.
③ 囿于習(xí)慣算法,誤把幾何平均數(shù)問題當(dāng)成算術(shù)平均數(shù)問題,因而出現(xiàn)理論性錯誤.
2.例2中,錯誤解法為m=1+0.812=0.905(千克),產(chǎn)生錯誤的原因有以下幾點:
① 沒有抓住問題的關(guān)鍵——杠桿平衡原理,是產(chǎn)生錯誤的根本原因.
② 對物理課本中的論述“多次測量取平均值,這樣可減小誤差,使測量結(jié)果更接近真實值”沒有理解透徹,而錯誤地把兩次測得的值的平均值當(dāng)成真實值.
③ 本題求的是幾何平均值,正確的結(jié)果是m=m1m2=0.9(千克),即使算術(shù)平均數(shù)也巧合為0.9千克,理論上仍是錯誤的.
3.例3中求平均速度出現(xiàn)錯誤的原因是:
① 對平均速度概念不理解是產(chǎn)生錯誤的根本原因.平均速度=總路程/總時間,而不等于來去速度的算術(shù)平均值.
② 對“平均”片面的、習(xí)慣的理解是產(chǎn)生錯誤的另一個原因,根據(jù)公式(4),本題的平均速度v是v1與v2的調(diào)和平均數(shù),
即v=2110+120=403(千米/時),難怪v=10+202=15(千米/時)錯了.
從上面分析的結(jié)果看,產(chǎn)生誤解的一個重要原因是:沒有對具體問題進(jìn)行具體分析,囿于習(xí)慣定式,思維狹隘,亂套公式.因此,我們在教學(xué)中要更加注重培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力,適當(dāng)擴(kuò)展學(xué)生的知識面,如引入幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)的概念,這樣學(xué)生就不會把平均數(shù)簡單理解為算術(shù)平均數(shù),既可防止平均數(shù)計算中出現(xiàn)類似錯誤,又能培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力,推動素質(zhì)教育的發(fā)展.
六、平均數(shù)計算中出現(xiàn)誤區(qū)的原因分析
1.在平均數(shù)概念界定上的誤區(qū)
現(xiàn)在仍然有不少學(xué)生認(rèn)為“平均數(shù)”就是“算術(shù)平均數(shù)”,把平均數(shù)計算程序化、機(jī)械化.造成這個局面的原因既有教師教的原因,如沒有把概念講透或沒有對比不同類型的平均數(shù)計算,也有學(xué)生不認(rèn)真學(xué)習(xí)的原因,如對概念理解粗糙.
2.相關(guān)學(xué)科知識重點的理解偏移
雖然平均數(shù)計算已經(jīng)不是教學(xué)中的難點,但如果學(xué)生對各學(xué)科中相應(yīng)知識的理解不夠,如物理學(xué)中的平均速度、平均質(zhì)量,統(tǒng)計學(xué)中的增長率問題等,他們?nèi)匀粫牙斫獾闹攸c放在算術(shù)平均數(shù)的概念上,把相應(yīng)學(xué)科中的概念理解偏了,比如平均速度是指在一段時間內(nèi)通過的總距離除以總時間,而不能理解成幾個速度的平均值.
3.對“平均數(shù)的求法”只顧算法,沒有方法
關(guān)于平均數(shù)的求法,大多數(shù)學(xué)生死套公式,不做具體分析,大部分教師在課堂上只講解題模式,為后面的平均數(shù)應(yīng)用題服務(wù).這就造成一個學(xué)習(xí)理解的誤區(qū),學(xué)生只是想如何套用老師講的解題模型,而不是探究怎樣得出解決這個問題的方法,因此常常出現(xiàn)一些錯誤解法.
七、平均數(shù)計算拓展練習(xí)
1.某廠1月份產(chǎn)值為12萬元,2月份比1月份增長10%,3月份又比2月份增長14%,求每月的平均增長率.
2.有一個杠桿(支點固定),當(dāng)從左端下壓撬起一重物時,用100牛的力,從右端下壓撬起同一重物時,用900牛的力,問:這一物體的質(zhì)量是多少?
3.某市舉報中心的信件處理員每天都要處理一定量的信件,已知處理員小李第一天處理信件的速度為6封/時,第二天處理的速度為12封/時,問:小李這兩天平均的處理速度是多少?
4.“十一”長假期間,小李一家從天水出發(fā)到蘭州去旅游,前一半路上的速度為40千米/時,后一半路上的速度為60千米/時,試問:整段路上的平均速度是多少?
5.如果一個正方形與一個矩形的面積相等,那么正方形的邊長是矩形長與寬的什么平均數(shù)?