孫麗麗

【摘要】模型素養(yǎng)是學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成，幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象.如果學生在遇到問題時能夠借助幾何直觀，把問題轉(zhuǎn)化為直觀的模型，那么學生就能將遇到的數(shù)學問題在思想上進行整體的把握、理解，學會通過模型將抽象的問題直觀化.本文旨在探索如何借助幾何直觀促進知識建模的策略研究，繼而提升學生對數(shù)學的學習能力，提高學生的數(shù)學素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】幾何直觀;建模;課例

一、問題的提出

筆者通過查閱文獻，發(fā)現(xiàn)雖然對“如何培養(yǎng)小學生的幾何直觀能力”“如何培養(yǎng)學生的模型思想”有不少的研究，這些研究或闡述了幾何直觀能力的培養(yǎng)方法，或介紹如何培養(yǎng)學生的模型思想，但都沒有從借助幾何直觀方面，對如何培養(yǎng)學生的建模思想進行探討.

從兒童認知發(fā)展的角度講，由于小學中高年段的學生還處在形象思維向抽象思維過渡階段，而數(shù)學建模又是比較抽象和復雜的，為了解決小學中高年段數(shù)學建模吃力的現(xiàn)象，教師可以通過觀察、操作、推理、歸納，借助幾何直觀將復雜的數(shù)學問題變得形象，幫助學生直觀地理解數(shù)學，并培養(yǎng)學生的立體感、空間感，以及空間建模思維.

二、相關(guān)概念的界定

曹培英在《跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究》這本書中這樣給“模型”下定義：數(shù)學模型乃是針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量的相依關(guān)系，采用形式化數(shù)學語言，概括地或近似地表達出來的一種數(shù)學結(jié)構(gòu).

2011年版《數(shù)學課程標準》中模型思想是十大核心概念之一.它是這樣描述的：模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑.建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.

史寧中教授在《數(shù)學思想概論》一書中說道，數(shù)學發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個：抽象、推理、模型，通過抽象在現(xiàn)實生活中得到數(shù)學的概念和運算法則，通過推理得到數(shù)學的發(fā)展，然后通過建模建立數(shù)學與外部世界的聯(lián)系.

綜上所述，并通過筆者長期在一線教學對模型課例的探索研究，在小學階段應(yīng)該重視模型思想的建構(gòu).為了探索模型教學課例的特點，筆者將小學中高年段相關(guān)課例進行了梳理，小學數(shù)學中的模型包括計算型模型、概念型模型和應(yīng)用型模型等.用模型思想研究小學數(shù)學，不僅是為了獲得數(shù)學結(jié)論，而是讓學生從模型的視角去認識、描述、把握數(shù)學問題.

三、北師版中高年段關(guān)于建模的課例分析

針對教師關(guān)于模型課例的實踐探索，筆者對本校28位數(shù)學教師對模型的課例進行了問卷調(diào)查.通過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)92%的教師都是在教學中根據(jù)學生的思維特點，借助幾何直觀促進學生有效建模，90%的教師從教具、學具的使用上和學生的活動實踐入手，幫助學生建構(gòu)模型思想.

四、課例研究及教學策略

小學中高年段的建模教學最為核心的就是讓學生借助幾何直觀，通過觀察、分析等方式真正經(jīng)歷建模過程.根據(jù)小學生的思維特點，數(shù)學教師在教學中要關(guān)注表象的作用，引導學生從具體到抽象的過渡，幫助學生更好地把握數(shù)學的本質(zhì).

（一）引導學生畫圖，幫助學生建模

大家都知道，當面對一個復雜的問題，若能借助直觀圖分析數(shù)量關(guān)系，問題往往能輕松得到解決.通過畫圖，能把抽象問題具體化、直觀化，從而幫助學生厘清思路，找到數(shù)量之間的關(guān)系，并在畫圖中逐漸形成模型思想，在數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化中，培養(yǎng)學生的思維能力.

“里程表（一）”是北師版三年級上冊第三單元的內(nèi)容，對于三年級的學生來說，里程表的內(nèi)容比較抽象，所以本節(jié)課可運用直觀圖和線段圖幫助學生理解.

師：為了更簡潔一點，我們還可以這樣畫.先畫一點，表示北京的位置，用直尺往右畫一條稍長的線，表示一段里程，走到這里是石家莊的位置.

師：它們之間還有一個城市，是哪里呢？（板書：保定）為了方便大家觀察，我們把里程277千米標在上面，（化弧線，標277千米）146千米表示到哪里的距離呢？（保定）

師：像這樣在一條線段上表示里程之間關(guān)系的，我們叫它線段圖.

在低年段的學習中，學生已經(jīng)有了初步的讀圖能力和借助畫圖的方法解決簡單問題的經(jīng)驗.但對于里程表的問題，信息量大，需要考慮的問題和相關(guān)因素比較多，使學生的學習難度增大了很多.在課堂上指導學生畫直觀圖和線段圖，可使學生充分理解圖中所表示出的數(shù)量關(guān)系，并在圖表的比較中直觀地理解減法的模型，就是總路程中去掉一部分，求另外一部分路程是多少.

本節(jié)課是學生初步認識線段圖、理解直觀圖的起始課.學生在初步感知后，體驗到了用線段圖表示數(shù)量關(guān)系的簡捷.通過本節(jié)課的學習，也為后續(xù)學習，如分數(shù)問題、路程問題等建模內(nèi)容做好了鋪墊.在日后的學習過程中，我們還可以引導學生通過畫線段圖分析較復雜的數(shù)量關(guān)系，幫助學生建立直觀模型.

（二）關(guān)注教具的使用，輔助學生建模

張奠宙先生說過：“數(shù)學模型，是指將一類事物或運動過程，用數(shù)學概念、公式以及邏輯關(guān)系從數(shù)量上加以描述，使人們能更深刻、更準確地認識其數(shù)量關(guān)系，把握其特征，幾何學則是物體外形的數(shù)學模型.”小學數(shù)學教學有它的特殊性，它需要更多地依靠生活經(jīng)驗與幾何直觀幫助學生建立模型.

在四年級上冊“圖形中的規(guī)律”一課中，我們通過拼擺教具，幫助學生建立小棒根數(shù)等于2n+1，3+2（n-1），3n-（n-1）的幾何模型.本節(jié)課的內(nèi)容比較抽象，個別學生并不能充分理解，于是我們通過粉、黃、白三種顏色的小棒進行板書.

以下是教學中的具體片段.

師：如果把每個三角形都按2根小棒計算的話，擺一個三角形需要2根小棒，擺3個三角形就需要3×2根小棒，擺4個三角形就需要4×2根小棒，擺幾個三角形就需要幾乘以2根小棒，但是第一個三角形用了3根小棒，多用了1根小棒，就加1，為了讓大家看清楚，我重新擺一下小棒（1粉2黃2白2黃2白2黃）.

師：誰能用算式表示？

生：2n+1.

接下來，3+2（n-1），3n-（n-1）的幾何模型同樣讓學生動手操作，并用三種顏色的磁力小棒進行擺放，讓學生直觀深刻地理解不同計算公式的含義.在教學中，我們要借助教具的展示，讓學生充分理解數(shù)學的本質(zhì).

（三）關(guān)注學具的使用，強化學生建模

總路程、時間與速度之間的關(guān)系是小學階段的數(shù)量關(guān)系，也是乘法的模型.教學中，我們可以讓學生用折一折紙條的辦法理解這個模型.教材在這一節(jié)用兩個特殊長度的紙條來表示松鼠和小兔所走的路程，非常直觀，為后面學生能順利使用線段示意圖做鋪墊.用紙條表示兩個小動物走的路程，以此啟發(fā)學生用折一折的方法理解題意，松鼠用了4分鐘，就啟發(fā)學生平均折成4段，兔子用了3分鐘，就平均折成3段，再比一比一段的長度，建立“速度=路程÷時間”的幾何直觀模型.再通過畫對應(yīng)的線段圖，引導學生將紙條的表示形式抽象成線段，升華了直觀圖.把速度具體化、直觀化，深化了速度、路程和時間之間的模型結(jié)構(gòu).

（四）借助立體圖形，建立數(shù)學模型

立體圖形不像其他的數(shù)學概念、公式等，需要大量數(shù)據(jù)來描述支撐，而是具有其獨有的特征——立體圖形本身就是極好的模型.

以“長、正方體表面積”一課為例，其主要教學思路就是讓學生在腦海中建立這樣的立體圖形模型，并構(gòu)建出這個立體圖形的平面直觀圖，進而形成具備邏輯關(guān)系的公式，從而解決類似的實際問題.

在本節(jié)課之前，學生已經(jīng)掌握了正方體的11種平面展開圖，因正方體的特殊性，六個面是完全一樣的正方形，因此，本節(jié)課的重點是會計算長方體的平面展開圖.課前，教師準備了一個大的長方體模型教具，旨在讓學生建立形象直觀的模型.幾乎所有學生都能通過長方體的特征，通過直觀演示法，給出求長方體表面積的方法：因為長方體相對面的面積相等，則可以求出其中三個面的面積之和再乘2.但是在自己求解的過程中，對于求哪三個面的面積以及如何求這三個面的面積，部分同學出現(xiàn)了問題.于是，教師給出了長方體的平面展開圖，進一步通過直觀演示，找到了對應(yīng)的六個面，并總結(jié)出了相應(yīng)的計算公式.

常規(guī)的教學到這即可結(jié)束，但教師仍在繼續(xù)拓展：請學生思考是否還有其他的求解方法.有學生表示，可以用轉(zhuǎn)化法，把長方體的表面積轉(zhuǎn)化為長方體的側(cè)面和上下兩個底面積之和，再次將圖形回歸至立體.但是很明顯，這種方法因不少同學想象力不足，無法在頭腦中構(gòu)建出這個模型.但是到這已足夠，了解這些，可為六年級學習圓柱表面積做鋪墊.

本節(jié)課的主要教學思想就是構(gòu)造一個由立體圖形到立體圖形中的平面圖形，再到立體圖形這樣的循序漸進的過程，逐步構(gòu)建長方體表面積計算的數(shù)學模型，進而培養(yǎng)和發(fā)展學生初步的空間想象能力.

利用幾何直觀能讓學生將直觀的圖形語言和抽象的數(shù)學語言有機地結(jié)合起來，使形象思維和抽象思維結(jié)合起來，充分展現(xiàn)問題的本質(zhì)，突破數(shù)學理解上的難點.通過圖形的直觀性質(zhì)闡明數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，能將許多抽象的數(shù)學概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，實現(xiàn)代數(shù)問題與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化、相互滲透，為學生數(shù)學建模的學習開辟了一個重要的途徑.

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