楊 威, 劉春欣

(西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院，西安 710055)

0 引言

畢達(dá)哥拉斯模糊集[1]是對直覺模糊集[2]的推廣，其元素由隸屬度和非隸屬度兩部分組成，且滿足隸屬度和非隸屬度平方和小于等于1。作為畢達(dá)哥拉斯模糊集的推廣，猶豫畢達(dá)哥拉斯模糊集[3]中每個元素的隸屬度和非隸屬度可能包含多個值，這樣可以兼顧決策者的不同偏好。近年來，許多學(xué)者對猶豫畢達(dá)哥拉斯模糊集進(jìn)行了研究[4–6]。Wang 等[4]研究了基于擴(kuò)展的TOPSIS 和Choquet 積分的區(qū)間猶豫畢達(dá)哥拉斯模糊集及其應(yīng)用。Liang 和Xu[6]利用拓展的TOPSIS 法對猶豫畢達(dá)哥拉斯模糊多準(zhǔn)則決策問題進(jìn)行了研究。在本文中，方案的評價值均以猶豫畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的形式給出。

在進(jìn)行決策時，屬性權(quán)重是否合理、準(zhǔn)確會影響決策結(jié)果的合理性和準(zhǔn)確性。決策與試驗(yàn)評價實(shí)驗(yàn)室(Decision-making Trial and Evaluation Laboratory,DEMATEL)是美國學(xué)者Gabus 和Fontela[7]在1971 年提出的。該方法通過各因素間的邏輯關(guān)系和直接影響矩陣確定各因素的相對重要性。目前關(guān)于DEMATEL 方法的研究也取得了一系列成果[8–9]。本文研究基于猶豫畢達(dá)哥拉斯模糊信息的DEMATEL 方法，并采用DEMATEL 法確定屬性權(quán)重。VIKOR 法的主要思想是尋找折衷解，它是求解具有沖突屬性決策問題的有利工具[10–11]。為了充分考慮各因素的相對重要性，得到準(zhǔn)確的權(quán)重信息，并且在方案排序時考慮具有沖突屬性的決策問題，本文給出一種新的基于DEMATEL 和VIKOR 方法的猶豫畢達(dá)哥拉斯模糊信息的多屬性決策方法。對于多屬性決策問題排序結(jié)果不一致的情況，現(xiàn)有文獻(xiàn)[12–13]中僅闡述了文獻(xiàn)所提方法的優(yōu)點(diǎn)，而未進(jìn)行一致性檢驗(yàn)證明所得排序結(jié)果是否合理。為了克服只用一種排序方法得到片面排序結(jié)果的缺點(diǎn)，需要討論多屬性決策中的一致性問題。本文對多種決策方法進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，對于排序結(jié)果不一致的情況，本文提出利用組合模糊Borda 法，將各方法的優(yōu)勢互補(bǔ)進(jìn)行組合排序，使得所得排序結(jié)果更加全面且具有說服力。

本文采用猶豫畢達(dá)哥拉斯模糊值建模決策中存在的模糊和不確定信息。首先利用DEMATEL 方法確定屬性的權(quán)重，進(jìn)而采用VIKOR 法、TOPSIS 法和加權(quán)算術(shù)平均法對方案排序。對于排序結(jié)果不一致的情況，給定顯著性水平，進(jìn)行Kendall-W 事前一致性檢驗(yàn)[14–15]。在滿足事前一致性檢驗(yàn)后，利用組合的模糊Borda 評價模型[14]計(jì)算模糊Borda 得分，并對決策結(jié)果按得分由高到低進(jìn)行排序。最后進(jìn)行Spearman 事后一致性檢驗(yàn)[15]，說明所得最終方案的排序結(jié)果是可信的。文中給出方法和一致性檢驗(yàn)的具體步驟，并且通過算例說明該方法的可行性與有效性。

1 預(yù)備知識

稱〈ΓA(x),ΨA(x)〉為猶豫畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，簡記為α=〈Γα,Ψα〉。

為猶豫畢達(dá)哥拉斯模糊集的猶豫度，μA(x)∈ΓA(x), νA(x)∈ΨA(x)。

不同的猶豫畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)可能含有不同數(shù)目的隸屬度和非隸屬度。為了準(zhǔn)確計(jì)算猶豫畢達(dá)哥拉斯模糊元素之間的距離，可根據(jù)決策者對于風(fēng)險的態(tài)度對猶豫畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)進(jìn)行拓展，使其所含有的隸屬度、非隸屬度數(shù)目相等。如果決策者的態(tài)度是風(fēng)險厭惡的，則添加最小的隸屬度，最大的非隸屬度；如果決策者的態(tài)度是中立的，則添加隸屬度與非隸屬度的平均值；如果決策者的態(tài)度是風(fēng)險偏好的，則添加最大的隸屬度，最小的非隸屬度。

其中?Γαi、?Ψαi分別表示Γαi、Ψαi中元素的個數(shù)，則

1) 若S(α1)＜S(α2)，則α1＜α2；

2) 若S(α1) =S(α2)，且G(α1)＜G(α2)，則α1＜α2；若S(α1) =S(α2)，且G(α1)=G(α2)，則α1～α2。

2 猶豫畢達(dá)哥拉斯模糊多屬性決策的一種新方法

2.1 基于DEMATEL 和VIKOR 的猶豫畢達(dá)哥拉斯模糊多屬性決策方法

2.2 猶豫畢達(dá)哥拉斯模糊組合決策模型

Borda 法的基本思想是通過比較不同決策方法中各個方案的排序值，確定其Borda 分進(jìn)行排序決策。本文按照不同方法中決策值的大小進(jìn)行定量的比較，計(jì)算每個方法對方案得分的隸屬度，再根據(jù)隸屬度確定組合模糊Borda 分進(jìn)行排序。具體步驟如下：

yi為第i個方案在組合方法下的排序，yij為所用決策方法的排序，m為方案數(shù)，g為方法數(shù)，T服從自由度為m-2 的t分布，若T ＞Tα(m-2)，則說明組合算法與各決策方法的結(jié)果是一致的。

3 實(shí)例分析與一致性檢驗(yàn)

3.1 實(shí)例分析

隨著社會的發(fā)展，高鐵已經(jīng)成為大家出游的首要選擇。但是在修建鐵路時，需要對該路段進(jìn)行風(fēng)險評估，進(jìn)而選擇合適的方案進(jìn)行建設(shè)。為了評價建設(shè)方案的風(fēng)險同時選擇合適的建設(shè)方案，建設(shè)部邀請不同專業(yè)的專家，為高鐵在建設(shè)過程中存在的風(fēng)險進(jìn)行評估，主要考慮以下風(fēng)險：F1–監(jiān)管風(fēng)險，F(xiàn)2–地理環(huán)境風(fēng)險，F(xiàn)3–技術(shù)風(fēng)險，F(xiàn)4–人員風(fēng)險。經(jīng)過專家篩選后還剩余5 個備選方案Ai(i= 1,2,3,4,5)需要進(jìn)一步選擇。專家給出屬性之間的評價值和方案相對于屬性的評價值。采用本文提出的新方法對方案進(jìn)行排序。

表1 初始關(guān)系矩陣～H

步驟2 計(jì)算初始關(guān)系矩陣中各元素隸屬度與非隸屬度的平均值，生成直接關(guān)系HPF 矩陣～D，并將矩陣～D標(biāo)準(zhǔn)化，得到新矩陣～E。計(jì)算結(jié)果如表2 所示。

表2 標(biāo)準(zhǔn)化的直接關(guān)系HPF 矩陣～E

步驟3 計(jì)算總關(guān)系矩陣～T，計(jì)算結(jié)果如表3 所示。

表3 總關(guān)系矩陣～T

步驟4 根據(jù)總關(guān)系矩陣～T中的元素～tij，通過(5)和(6)計(jì)算各準(zhǔn)則的中心度ri和原因度cj，并將ri、cj標(biāo)準(zhǔn)化得

步驟5 利用(7)式計(jì)算各準(zhǔn)則的權(quán)重為ω1= 0.188 7, ω2= 0.130 8, ω3= 0.437 4,ω4=0.243 1。

步驟6 決策者給出方案關(guān)于屬性的評價值，每個評價值包括隸屬度和非隸屬度。所得到的決策矩陣～P，如表4 所示。假設(shè)決策者是風(fēng)險厭惡的，則拓展畢達(dá)哥拉斯模糊矩陣～P′，如表5 所示。

表4 決策矩陣～P

表5 拓展決策矩陣～P′

步驟7 利用式(8)和式(9)計(jì)算出各指標(biāo)的正理想解～L+和負(fù)理想解～L-如下

步驟8 利用式(10)和式(11)計(jì)算各備選方案的“群體效益”值Vi和“個別遺憾”值Ri，結(jié)果為

步驟10 根據(jù)Qi對方案進(jìn)行排序A2?A1?A5?A3?A4，得最優(yōu)方案為A2。

為了說明本文在猶豫畢達(dá)哥拉斯模糊信息下提出的DEMATEL 和VIKOR 模型的有效性，將提出的新方法的結(jié)果與Liang 和Xu[6]提出的TOPSIS 方法和劉衛(wèi)鋒和何霞[3]提出的加權(quán)算術(shù)平均算子決策方法進(jìn)行對比分析。

利用TOPSIS 方法對方案排序，首先根據(jù)(8)和(9)式確定畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊正、負(fù)理想解，分別為～L+和～L-。其次根據(jù)

最后根據(jù)記分函數(shù)可得方案的排序?yàn)锳1?A2?A3?A5?A4。

由于上述兩種排序方法與本文所得的排序結(jié)果不一致。本文采用Kendall-W 事前一致性檢驗(yàn)和Spearman 事后一致性檢驗(yàn)并進(jìn)行組合模糊Borda 決策，從而確定最佳方案。

3.2 一致性檢驗(yàn)

首先，對上述三種方法(VIKOR 方法、TOPSIS 法、加權(quán)算術(shù)平均法)的決策結(jié)果進(jìn)行Kendall-W 事前一致性檢驗(yàn)。給定顯著性水平α= 0.1，由(18)式可知在顯著性水平α=0.1 時，有

因此上述三種方法滿足事前一致性檢驗(yàn)的條件，從而可以進(jìn)行組合模糊Borda 決策。其次，利用組合模糊Borda 法(13)～(17)式可得組合模糊Borda 法得分Bi(i=1,2,3,4,5)為

不滿足Kendall-W 事前一致性檢驗(yàn)的要求。因此在顯著性水平α= 0.01 時，上述三種排序方法(VIKOR 法、TOPSIS 法、加權(quán)算術(shù)平均法)不具有一致性，因而不能進(jìn)行組合模糊Borda 決策。當(dāng)顯著性水平α=0.05 時，雖然

滿足Kendall-W 事前一致性檢驗(yàn)從而可以進(jìn)行組合決策，但是

不滿足Spearman 事后一致性檢驗(yàn)。當(dāng)顯著性水平α=0.09 時，有

仍不滿足Spearman 事后一致性檢驗(yàn)。因此在該顯著性水平下，不能說明組合模糊Borda法所得結(jié)果是可行的?；谏鲜龇治?，本文選取顯著性水平α= 0.1。由于在該顯著性水平下，排序結(jié)果可以通過一致性檢驗(yàn)的要求。因而組合模糊Borda 法在該顯著性水平下是可行的。

雖然每個方法排序結(jié)果存在微小差異，但是組合模糊Borda 法排序的最佳方案與VIKOR 法和TOPSIS 法排序的最佳方案都為A2，加權(quán)算術(shù)平均法的最佳排序方案為A1。在對方案進(jìn)行排序時，VIKOR 法的主要思想是尋找折衷解，它是求解具有沖突屬性決策問題的有利工具。TOPSIS 法是在一組備選方案中選擇一個靠近正理想解同時遠(yuǎn)離負(fù)理想解的方案作為最優(yōu)方案。若只考慮某一種排序方法，所得的排序結(jié)果可能過于片面。因此選取多種方法，通過組合模糊Borda 模型將其排序結(jié)果結(jié)合起來，使得每個方法的優(yōu)勢互補(bǔ)。這將有效彌補(bǔ)單一排序方法的不足，使得所得的排序結(jié)果更加全面和具有說服力。

4 結(jié)論

本文研究了猶豫畢達(dá)哥拉斯模糊集下的DEMATEL 和VIKOR 方法，并用該方法對備選方案進(jìn)行排序。由于DEMATEL 方法是通過各因素間的邏輯關(guān)系和直接影響矩陣確定各因素的相對重要性，因此所得的權(quán)重相比于主觀賦權(quán)法等更加符合實(shí)際情況。通過本文所提方法與TOPSIS 法和加權(quán)算術(shù)平均方法的排序結(jié)果進(jìn)行對比，對于排序結(jié)果不一致的情況進(jìn)行Kendall-W 事前檢驗(yàn)，在滿足事前檢驗(yàn)后，利用組合模糊Borda 法得到方案排序，進(jìn)而進(jìn)行Spearman 事后一致性檢驗(yàn)。由于組合模糊Borda 法可以對多種方法的排序結(jié)果進(jìn)行組合，因此組合排序結(jié)果較單一排序結(jié)果具有更高的可信度。本文最終確定最佳方案為方案2，方案1 可作為備選方案。組合模糊Borda 決策模型可為解決多屬性決策排序不一致的問題提供一種解決思路。