付伊嘉, 周紅軍

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，西安 710119)

0 引言

模糊蘊涵在包括模糊形態(tài)學(xué)、圖像處理、詞語計算、數(shù)據(jù)挖掘、粗糙集、模糊關(guān)系方程等在內(nèi)的諸多模糊數(shù)學(xué)分支中扮演著重要的角色[1–7]。因此，很多學(xué)者致力于模糊蘊涵的研究，并且促進了模糊蘊涵的快速發(fā)展。根據(jù)構(gòu)造方法，模糊蘊涵可分為(S,N)-蘊涵、R-蘊涵、QL-蘊涵、Yager 蘊涵以及序和蘊涵[8–10]。最近，文獻[11–14]中基于連續(xù)三角模的冪提出了T-冪蘊涵。文獻[15–17]對這類蘊涵的一些重要性質(zhì)做了深入研究，T-冪蘊涵的重要性在于其可以滿足一些特殊的性質(zhì)，這使得它在近似推理的應(yīng)用中是不可或缺的，本文也將說明T- 冪蘊涵不同于其他各類模糊蘊涵。

各類模糊蘊涵關(guān)于三角模和三角余模的分配方程是重要的研究方向，主要包括如下四類分配方程，它們分別是二值命題邏輯中相應(yīng)重言式的模糊化，在刻畫邏輯代數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)和解決模糊系統(tǒng)中推理規(guī)則爆炸問題中均起著重要作用[18–19]

其中I是模糊蘊涵，T、T1、T2是三角模，S、S1、S2是三角余模。目前主要研究成果有：

1) 文獻[20]給出了當(dāng)I是(S,N)-蘊涵、R-蘊涵、QL-蘊涵時，分配方程(1)～(4)的解；

2) 文獻[9]給出了序和蘊涵關(guān)于三角模和三角余模的四類分配方程的解；

3) 文獻[21]研究了四類分配方程在I取一些特殊的R-蘊涵和S-蘊涵時，T與S的結(jié)構(gòu)刻畫；

4) 文獻[22]研究了當(dāng)I是由嚴(yán)格三角模生成的R-蘊涵時，分配方程I(x,S(y,z)) =S(I(x,y),I(x,z))的求解問題；

5) 文獻[23–24]分別將四類分配方程中的三角模T和三角余模S推廣到可表示一致模的情形，當(dāng)T和S都是給定的可表示一致模時，刻畫了模糊蘊涵I滿足式(1)和式(2)時的結(jié)構(gòu)；他們也刻畫了當(dāng)T1=T2都是嚴(yán)格三角模時，分配方程(3)的求解問題，并且研究了當(dāng)S1和S2都是冪零三角余?；蛘邍?yán)格三角余模時，模糊蘊涵I滿足(4)式時的結(jié)構(gòu)。

此外，關(guān)于聚合算子的分配方程也得到大量的研究，文獻[25–26]研究了分配方程關(guān)于一致模和聚合算子的求解問題，文獻[27]研究了分配性方程關(guān)于冪等一致模的求解問題.

本文研究T-冪蘊涵關(guān)于一般三角模和三角余模的四類分配方程成立的充要條件。論文內(nèi)容安排如下：第1 節(jié)回顧本文需要的預(yù)備知識，包括三角模、三角余模、模糊蘊涵、T-冪蘊涵、模糊否定等。第2 節(jié)給出T-冪蘊涵關(guān)于一般三角模和三角余模的四類分配方程成立的充要條件。第3 節(jié)討論T-冪蘊涵與其他已知模糊蘊涵的關(guān)系。第4 節(jié)對本文作以簡要總結(jié)并且對未來工作進行展望。

1 預(yù)備知識

為便于閱讀，下面回顧本文中用到的一些基本概念和性質(zhì)。

定義1[28]稱二元函數(shù)T: [0,1]2→[0,1]是三角模，若T滿足交換律與結(jié)合律，關(guān)于兩個變元單調(diào)不減，并且以1 為單位。

表1 給出了幾種常用的三角模。

表1 常用的三角模

若三角模T滿足，對任意的x ∈[0,1], T(x,x)=x，則T=TM。

定義2[28]稱二元函數(shù)S:[0,1]2→[0,1]是三角余模，若S滿足交換律與結(jié)合律，關(guān)于兩個變元單調(diào)不減，并且以0 為單位。

表2 給出了幾個常用的三角余模。

表2 常用的三角余模

若三角余模S滿足，對任意的x ∈[0,1], S(x,x)=x，則S=SM。

定義3[29]稱二元函數(shù)I:[0,1]2→[0,1]是模糊蘊涵，若對于任意x,y,z ∈[0,1]，I滿足以下條件：

(I1) 當(dāng)x ≤y時，I(y,z)≤I(x,z)；

(I2) 當(dāng)y ≤z時，I(x,y)≤I(x,z)；

(I3)I(0,0)=1；

(I4)I(1,1)=1；

(I5)I(1,0)=0。

全體模糊蘊涵之集記為FI。從以上定義知，任一模糊蘊涵I滿足以下兩條性質(zhì)，分別稱為左邊界條件和右邊界條件：

(LB)I(0,y)=1, y ∈[0,1]；

(RB)I(x,1)=1, x ∈[0,1]。

定義4[28]稱一元函數(shù)N: [0,1]→[0,1]是模糊否定，若N(0) = 1, N(1) = 0，并且N是單調(diào)不增的。

1) 稱模糊否定N是標(biāo)準(zhǔn)模糊否定，若對于任意x ∈[0,1], N(x) = 1-x，記為N=NC。

2) 令

則N?是模糊否定，且N?是最大的模糊否定。

定義5[30]設(shè)I是模糊蘊涵，T是三角模，N是模糊否定，稱I滿足：

1) 單位元性質(zhì)(NP)，若對于任意y ∈[0,1]，有I(1,y)=y；

2) 置換性質(zhì)(EP)，若對于任意x,y,z ∈[0,1]，有I(x,I(y,z))=I(y,I(x,z))；

3) 恒等性質(zhì)(IP)，若對于任意x ∈[0,1]，有I(x,x)=1；

4) 序性質(zhì)(OP)，若對于任意x,y ∈[0,1], I(x,y)=1 當(dāng)且僅當(dāng)x ≤y；

5) 關(guān)于N的逆否性質(zhì)(CP(N))，若對任意x,y ∈[0,1]，有I(x,y)=I(N(y),N(x))；

6)T的輸入原則(LIT)，若對于任意x,y,z ∈[0,1]，有I(T(x,y),z)=I(x,I(y,z))；

7)T傳遞性，若對于任意x,y,z ∈[0,1]，有T(I(x,y),I(y,z))≤I(x,z)。

設(shè)T是連續(xù)三角模，根據(jù)T的連續(xù)性和結(jié)合性，可以用通常的遞歸方式定義元素x ∈[0,1]基于三角模T的整數(shù)冪

定理1[29]設(shè)T:[0,1]2→[0,1]是二元函數(shù)，則以下兩條等價：

(i)T是連續(xù)的阿基米德三角模；

(ii)T有連續(xù)的加法生成子t，即存在一個滿足t(1) = 0 的連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)遞減的函數(shù)t: [0,1]→[0,∞]，使得對于任意x,y ∈[0,1]，有T(x,y) =t-1(min((t(x)+t(y)),t(0))。三角模的加法生成子在相差正常數(shù)倍的意義下是唯一的。

定理2[29]設(shè)T是連續(xù)的阿基米德三角模，t:[0,1]→[0,∞]是T的加法生成子，則：

1)T是嚴(yán)格三角模，當(dāng)且僅當(dāng)t(0)=∞；

2)T是冪零三角模，當(dāng)且僅當(dāng)t(0)＜∞。

引理1[17]設(shè)T是連續(xù)三角模，IT是由T生成的T-冪蘊涵。

1) 若T=TM，則

其中0＜a ＜1。

4) 若T=TL，則

為便于第3 節(jié)說明T-冪蘊涵不同于其他已有各類模糊蘊涵，這里再回憶其他各類模糊蘊涵的定義。

定義9[28]稱二元函數(shù)I: [0,1]2→[0,1]是(S,N)-蘊涵，若存在三角余模S和模糊否定N，使得對于任意x,y ∈[0,1], I(x,y) =S(N(x),y)。為明確起見，將上述I記為IS,N。如果N是強模糊否定，那么稱I為強模糊蘊涵或者S-蘊涵。

定義10[28]稱二元函數(shù)I: [0,1]2→[0,1]是QL-蘊涵，若存在三角模模T，三角余模S和模糊否定N，使得對于任意x,y ∈[0,1], I(x,y) =S(N(x),T(x,y))。為明確起見，將上述I記為IT,S,N。

定義11[28]稱二元函數(shù)I: [0,1]2→[0,1]是R-蘊涵，若存在三角模T，使得對于任意x,y ∈[0,1], I(x,y)=sup{t ∈[0,1]|T(x,t)≤y}。為明確起見，將上述I記為IT。

2 T-冪蘊涵的分配方程

由文獻[29]中7.2 節(jié)可知，若模糊蘊涵I滿足(NP)，那么I滿足分配方程(1)～(4)的充要條件分別是對應(yīng)分配方程中的T=TM, S=SM。f-蘊涵，g-蘊涵，(S,N)-蘊涵，QL-蘊涵以及R-蘊涵都滿足(NP)，然而T-冪蘊涵不滿足(NP)，因此，T-冪蘊涵與其他已知模糊蘊涵四類分配方程成立的充要條件的證明方法是不同的。文獻[29]僅僅給出了f-蘊涵、g-蘊涵、(S,N)-蘊涵、QL-蘊涵以及R-蘊涵關(guān)于三角模和三角余模的四類分配方程成立的充要條件，本節(jié)將完善文獻[29]的7.2 節(jié)關(guān)于模糊蘊涵分配方程的內(nèi)容，給出T-冪蘊涵關(guān)于一般三角模和三角余模的四類分配方程成立的充要條件。

2.1 分配方程(1)

定理3 設(shè)T是三角模，S是三角余模，ITM是由TM生成的T-冪蘊涵，則(T,S,ITM)滿足(1)式，當(dāng)且僅當(dāng)S=SM。

證明 =?設(shè)(T,S,ITM)滿足(1)式，x ∈[0,1]，則由(1)式，可得

所以S(x,x)≤x。由于S是三角余模，可知S(x,x)≥x，因此，S(x,x) =x，那么S=SM。

綜上，證得(T,SM,ITM)滿足(1)式。

定理4 設(shè)T*是三角模，S是三角余模，T是連續(xù)阿基米德三角模，IT是由T生成的T-冪蘊涵，則(T*,S,IT)滿足(1)式，當(dāng)且僅當(dāng)T*=TM, S=SM。

證明 =?設(shè)t是T的加法生成子，(T*,S,IT)滿足(1)式，x ∈[0,1]，則由(1)式，可得

綜上證得(TM,SM,IT)滿足(1)式。

例1 設(shè)T是三角模，S是三角余模，ITP是由TP生成的T-冪蘊涵，ITL是由TL生成的T-冪蘊涵。由于TP, TL是連續(xù)的阿基米德三角模，所以由定理4 可知：

(i) (T,S,ITP)滿足(1)式，當(dāng)且僅當(dāng)T=TM, S=SM；(ii) (T,S,ITL)滿足(1)式，當(dāng)且僅當(dāng)T=TM, S=SM。

定理5 設(shè)T= (〈aα,bα,Tα〉)α∈A是連續(xù)的序和三角模，其中Tα是連續(xù)的阿基米德三角模，α ∈A。設(shè)IT是由T生成的T-冪蘊涵，T*是三角模，S是三角余模，則(T*,S,IT)滿足(1)式，當(dāng)且僅當(dāng)T*=TM, S=SM。

證明 =?假設(shè)(T*,S,IT)滿足(1)式，對于任意α ∈A, tα是Tα的加法生成子。任取x ∈[0,1]，由(1)式，可得

因此IT(SM(x,y),z)=1，且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(1,1)=1；否則

從而IT(SM(x,y),z)=1，且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(1,1)=1；

② 若x ≤ z且y ＞ z，則SM(x,y) = max(x,y) =y ＞ z，并且IT(x,z) =1, IT(y,z)=0。因此IT(SM(x,y),z)=0，且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(1,0)=0；

③ 若y ≤z且x ＞z，則與上述情況類似；

④ 若x ＞z且y ＞z，則SM(x,y) = max(x,y)＞z，并且IT(x,z) =IT(y,z) =0。因此IT(SM(x,y),z)=0，且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(0,0)=0；

2) 存在α0∈A，使得z ∈[aα0,bα0]，根據(jù)x, y與區(qū)間[aα0,bα0]之間的大小關(guān)系，再討論以下五種情況：

① 若x,y/∈∪α0∈A[aα0,bα0]，則根據(jù)x, y, aα0, bα0之間的大小關(guān)系，再討論以下四種子情況：

(a) 若x ≤aα0，并且y ≤aα0，則SM(x,y)≤aα0≤z，從而IT(x,z)=IT(y,z)=1，因此IT(SM(x,y),z)=1，并且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(1,1)=1；

(b) 若x ＞bα0，并且y ＞bα0，則SM(x,y)＞bα0≥z，從而IT(SM(x,y),z)=0，并且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(0,0)=0；

(c) 若y ≤aα0，并且x ＞bα0，則IT(SM(x,y),z)=0，并且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(0,1)=0；

(d) 若x ≤ aα0，并且y ＞ bα0，則與上述子情況類似，仍有(TM,SM,IT)滿足(1)式；

②x ∈[aα0,bα0]且y/∈[aα0,bα0]，再討論以下兩種子情況：

2.2 分配方程(2)

命題1[29]設(shè)二元函數(shù)I:[0,1]2→[0,1]，則以下兩條等價：

(i)I關(guān)于第一變元單調(diào)不增，即I滿足(I1)；

(ii)I滿足分配方程I(min(x,y),z)=max(I(x,z),I(y,z))。

注1 由命題1 可知，當(dāng)T=TM, S=SM時，對于任意模糊蘊涵I，三元組(TM,SM,I)都滿足(2)式，從而(TM,SM,IT)也滿足(2)式。

接下來刻畫當(dāng)T*和IT都是固定的，三元組(T*,S,IT)滿足(2)式時三角余模S的結(jié)構(gòu)。下面的命題是自明的。

命題2 設(shè)T*=TM是三角模，S是三角余模，則：

(i) 若ITM是由TM生成的T-冪蘊涵，則三元組(T*,S,ITM)都滿足(2)式；

(ii) 設(shè)T是連續(xù)阿基米德三角模，IT是由T生成的T-冪蘊涵，則(T*,S,IT)滿足(2)式，當(dāng)且僅當(dāng)S=SM；

(iii) 設(shè)T= (〈aα,bα,Tα〉)α∈A是連續(xù)的序和三角模，IT是由T生成的T-冪蘊涵，則(T*,S,IT)滿足(2)式，當(dāng)且僅當(dāng)S=SM。

定理6 設(shè)S是三角余模，T是連續(xù)阿基米德三角模，IT是由T生成的T-冪蘊涵，則(T,S,IT)滿足(2)式，當(dāng)且僅當(dāng)S=SL。

顯然成立。綜上證得三元組(T,SL,IT)滿足(2)式。

例2 設(shè)S是三角余模，IT是由連續(xù)三角模T生成的T-冪蘊涵。由于TP、TL是連續(xù)的阿基米德三角模，所以由定理6 可知：

(i) 若T=TP，則(T,S,IT)滿足(2)式，當(dāng)且僅當(dāng)S=SL；

若x,y,z=bα，顯然

若x,y,z/∈∪α∈A[aα,bα]，易證(T,SL,IT)滿足(2)式。綜上證得(T,SL,IT)滿足(2)式。

推論1 設(shè)S是三角余模，T*是三角模，IT是由連續(xù)的三角模T生成的T-冪蘊涵，則有：

(i) 若T*=TP, T=TL或T*=TL, T=TP，則不存在S，使得三元組(T*,S,IT)滿足(2)式；

(ii) 若T*是連續(xù)的阿基米德三角模，T是連續(xù)的非平凡序和三角模，則不存在S，使得三元組(T*,S,IT)滿足(2)式；

(iii) 若T*是連續(xù)的非平凡序和三角模，T是連續(xù)的阿基米德三角模，則不存在S，使得三元組(T*,S,IT)滿足(2)式。

證明 (i) 若T*=TP, T=TL，假設(shè)存在S，使得三元組(TP,S,ITL)滿足(2)式。若x ＞z, y ＞z且TP(x,y)＞z，則

2.3 分配方程(3)

所以T2(λ,λ)=λ；若x,y=bα，顯然T2(1,1)=1；若x,y/∈∪α∈A[aα,bα]，顯然T2(0,0)=0。綜上證得T2=TM。

?= 下證(TM,TM,IT)滿足(3)式。根據(jù)元素x與區(qū)間[aα,bα]的關(guān)系，分為兩種情況：x/∈[aα,bα]和x ∈[aα,bα]。

1) 若對于任意α ∈A, x/∈[aα,bα]，根據(jù)x, y, z之間的大小關(guān)系，再討論以下四種情況：

① 若x ≤y且x ≤z，如果存在α0∈A，使得y,z ∈[aα0,bα0]，可知TM(y,z)≥aα0＞x，因此IT(x,TM(y,z)) = 1，且TM(IT(x,y),IT(x,z)) =TM(1,1) = 1；否則TM(y,z) = min(y,z)≥x，因此IT(x,TM(y,z)) = 1，且TM(IT(x,y),IT(x,z)) =TM(1,1)=1；

② 若x ≤z且x ＞y，則TM(y,z) = min(y,z) =y ＜x，因此IT(x,TM(y,z)) =0，且TM(IT(x,y),IT(x,z))=TM(0,1)=0；

③ 若x ≤y且x ＞z，則與上述情況類似；

④ 若x ＞y且x ＞z，則TM(y,z) = min(y,z)＜x，因此IT(x,TM(y,z)) = 0，且TM(IT(x,y),IT(x,z))=TM(0,0)=0。

2.4 分配方程(4)

定理11 設(shè)I是滿足(OP)的模糊蘊涵，S是三角余模，并且I滿足I(x,S(y,z)) =S(I(x,y),I(x,z))，那么三角余模S是冪等的，或不是正的。證明 若S是冪等的，則S=SM，任何模糊蘊涵滿足

另一方面，令S/=SM，那么存在y ∈(0,1)，使得S(y,y)＞y，因為對于任意x ∈(y,S(y,y))，I滿足I(x,S(y,z)) =S(I(x,y),I(x,z))，通過(OP)可得I(x,y) =y0＜1，并且

因此，三角余模S不是正的。

分配方程(3)式和(4)式中，由于三角余模T和三角模S是對偶的，因此，由定理8 和定理9 可得以下兩條定理。

定理12 設(shè)S1, S2是連續(xù)的三角余模，ITM是由TM生成的T-冪蘊涵，則(S1,S2,ITM)滿足(4)式，當(dāng)且僅當(dāng)S1=SM。

定理13 設(shè)S1, S2是連續(xù)的三角余模，T是冪零三角模，IT是由T生成的T-冪蘊涵，則(S1,S2,IT)滿足(4)式，當(dāng)且僅當(dāng)S1=S2=SM。

注2 若定理13 中的T是嚴(yán)格三角模且有連續(xù)的加法生成子t，則T是正的。由定理11 可知，S2是T的對偶三角余模，因此，不存在三角余模S1，使得三元組(S1,S2,IT)滿足(4)式。

例4 設(shè)S1, S2是連續(xù)的三角余模，ITL是由TL生成的T-冪蘊涵，由于TL是冪零三角模，由定理13 可知(S1,S2,ITL)滿足(4)式，當(dāng)且僅當(dāng)S1=S2=SM。

定理14 設(shè)T= (〈aα,bα,Tα〉)α∈A是連續(xù)的序和三角模，IT是由T生成的T-冪蘊涵，S1, S2是三角余模，則(S1,S2,IT)滿足(4)式，當(dāng)且僅當(dāng)S1=S2=SM。

證明 證明過程和定理10 類似。

稱等式(p ∧q)→r ≡(p →(q →r))為輸入定律，它是經(jīng)典邏輯中的重言式。如上重言式的模糊化由下式給出

其中I是模糊蘊涵，T是三角模[20]。

注3[20]如果模糊蘊涵I關(guān)于任何三角模T滿足(6)，通過T的可交換性，那么I滿足(EP)。因為T-冪蘊涵不滿足(EP)，那么它一定不滿足(6)。

3 T-冪蘊涵與幾類模糊蘊涵的關(guān)系

下面，我們研究T-冪蘊涵與f-蘊涵、g-蘊涵、(S,N)-蘊涵、QL-蘊涵，以及R-蘊涵的關(guān)系。

命題3 設(shè)f是f-生成子，且f(0)=∞，If是f-生成子生成的f-蘊涵，則If一定不是T-冪蘊涵。

證明 假設(shè)存在連續(xù)三角模T滿足If(x,y)=IT(x,y)，則對于任意x,y ∈[0,1]，有

由于f(0) =∞，當(dāng)x=y= 0 時，有f-1(0·f(0)) =f-1(∞) = 0。然而IT(x,y) =IT(0,0)=1，矛盾！所以If一定不是T-冪蘊涵。

命題4 設(shè)g是g-生成子，Ig是g-生成子生成的g-蘊涵，則Ig一定不是T-冪蘊涵。證明 假設(shè)存在連續(xù)三角模T，使得Ig(x,y) =IT(x,y)，則對于任意的x,y ∈[0,1]，有

矛盾！因此，Ig一定不是T-冪蘊涵。

命題5 設(shè)S是三角余模，N是模糊否定，I是由S和N生成的(S,N)-蘊涵，則I一定不是T-冪蘊涵。

證明 設(shè)存在三角模S和模糊蘊涵N，使得IS,N=IT，則對于任意x,y ∈[0,1]，有

取x= 1, y ∈(0,1)，則由文獻[15]中的命題8 知，IS,N(1,y) =y/= 0 =IT(1,y)。因此，(S,N)-蘊涵一定不是T-冪蘊涵。

命題6 設(shè)T是三角模，S是三角余模，N是模糊否定，I是由T、S、N構(gòu)成的QL-蘊涵，則I一定不是T-冪蘊涵。

證明 由文獻[28]中例2.6.4 給出下表3，在以下七種情況下，T、S以及N構(gòu)成的QL-蘊涵都不是T-冪蘊涵。

表3 常用QL-蘊涵中的T, S 與N

4 結(jié)束語

本文較系統(tǒng)研究了T-冪蘊涵關(guān)于一般三角模和三角余模的四類分配方程成立的充分必要條件，并說明了T-冪蘊涵是新的一類模糊蘊涵。今后，將關(guān)注由一致模等其他聚合算子如何利用方冪生成模糊蘊涵，并研究相應(yīng)模糊蘊涵關(guān)于一致模的分配性方程等。