周 薔

(湘南學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 物流系,湖南 郴州 423000)

1 問題概述

本文主要探究根據(jù)題目中提供的數(shù)據(jù)信息，對(duì)整個(gè)同心鼓拓展項(xiàng)目進(jìn)行數(shù)據(jù)可視化的物理分析.總的來說，一共要解決四個(gè)問題：

問題一：首先利用恢復(fù)系數(shù)的經(jīng)典力學(xué)接觸模型，求出碰撞過程中的能量損失ΔE.其次再根據(jù)基于線性阻尼的動(dòng)態(tài)接觸模型，求出整個(gè)接觸過程中接觸力所作的功W(即為能量損失)，再根據(jù)ΔE=W解出接觸阻尼系數(shù)cn.最后，我們建立了計(jì)算鼓與球撞擊過程中速度衰減的復(fù)雜物理模型，通過Simulink系統(tǒng)仿真計(jì)算出球碰撞鼓面后速度恢復(fù)至碰撞前一刻的速度相同耗時(shí)0.22s，再通過計(jì)算所需合力的大小所得排球反彈時(shí)初速度為2.8m/s時(shí)，豎直方向上的合力為82.7N.最終解出排球彈起的最佳高度為40cm.

問題二：由第一問解出當(dāng)高度為40cm時(shí)排球作自由落體運(yùn)動(dòng)需要耗時(shí)0.29s，利用此條件綜合考慮發(fā)力力度大小和發(fā)力時(shí)間對(duì)鼓面傾斜角度的影響，分別建立了發(fā)力力度大小與傾斜角度關(guān)聯(lián)的復(fù)雜物理模型和發(fā)力時(shí)間對(duì)鼓面傾斜角度關(guān)聯(lián)的復(fù)雜物理模型，得出水平位移和豎直位移的大小影響鼓面傾斜角度的結(jié)論.并最終求得兩種模型的傾斜角計(jì)算公式.將此傾斜角計(jì)算公式代入題目中所提供的9組數(shù)據(jù)最終求得序號(hào)1到序號(hào)9所對(duì)應(yīng)的鼓面傾角(度)分別為：5.0976、5.7315、5.2802、4.5416、5.2336、4.9387、8.9904、5.8347、2.0533.

問題三：基于第一問第二問的模型，考慮到傾角的問題，所以對(duì)問題一策略改進(jìn)的結(jié)果是：增大豎直方向上的合力，使球的反彈高度增加，在增加的時(shí)間內(nèi)，人做出對(duì)鼓面的調(diào)整.依據(jù)第一問的撞擊模型和問題二的傾斜模型，以第二問的數(shù)據(jù)1作為算例，使小球高度為88.7cm，向上豎直合力為94.78N.

問題四：通過對(duì)問題一模型的改進(jìn)，計(jì)算出球的能量損失，使得球水平速度降為0，定義恢復(fù)系數(shù)e，能量傳遞率η，得出其均與同心鼓與排球的質(zhì)量比t和恢復(fù)系數(shù)e有關(guān).對(duì)微分方程求導(dǎo)，t=1時(shí)一階導(dǎo)數(shù)為零，二階導(dǎo)數(shù)小于零，為極大值點(diǎn)，η最大.當(dāng)η達(dá)到最大值時(shí)，即為10名隊(duì)員們?cè)摪l(fā)力的時(shí)機(jī).

連續(xù)顛球的次數(shù)受多種因素的影響，比如同心鼓對(duì)球的作用力，團(tuán)隊(duì)成員對(duì)同心鼓的作用力以及球的形變導(dǎo)致鼓的單自由度振動(dòng)的影響等.主要需要解決的問題如下：

(1)在團(tuán)隊(duì)成員可以準(zhǔn)確控制力的大小和方向，以及時(shí)機(jī)的理想條件下，推算出該情形下的最佳協(xié)作策略模型，并求出最佳策略下球顛起的高度.

(2)在團(tuán)隊(duì)成員不能做到發(fā)力時(shí)機(jī)和力度的精準(zhǔn)控制的現(xiàn)實(shí)條件下，鼓面與水平面不再平行，即出現(xiàn)了相對(duì)于水平地面的傾斜角，在問題二給定的條件下，推算出團(tuán)隊(duì)成員的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度與鼓面傾斜角度的關(guān)系模型.

(3)在該模型中，由于理想條件下的模型和現(xiàn)實(shí)條件的模型存在一定的差異，故在現(xiàn)實(shí)情形中運(yùn)用問題一所建立的模型需要進(jìn)行一定的調(diào)整，并給出調(diào)整的方案.

(4)由于鼓面的傾斜，球跳動(dòng)方向也隨之傾斜，故需要團(tuán)隊(duì)成員調(diào)整拉繩使得球調(diào)整為豎直的彈跳狀態(tài).在問題四給定的條件下，求在理想條件下團(tuán)隊(duì)成員的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度的調(diào)整拉繩模型，以及分析在現(xiàn)實(shí)情形條件下調(diào)整策略模型的實(shí)施效果[1-3].

以下對(duì)上述問題進(jìn)行分析.

對(duì)于問題一：該題涉及到很多的物理知識(shí).根據(jù)題目可得到的初始條件有：球的高度及其質(zhì)量、重力加速度g以及同心鼓的質(zhì)量等，而已知的限制條件主要：有隊(duì)員的人數(shù)、隊(duì)員之間的最小距離以及球距離鼓面的豎直高度，所以本題的最佳策略的要求是每個(gè)隊(duì)員要用最小的拉力以及考慮其被抵消后，仍能使排球被顛起的最終高度大于40cm.

由于該問題是在理想的狀態(tài)下進(jìn)行的，因此每個(gè)隊(duì)員的用力方向、時(shí)機(jī)和力度是可以根據(jù)解答的需要去設(shè)定的.當(dāng)對(duì)球進(jìn)行受力分析時(shí)可知，球主要受到各隊(duì)員沿著繩子向上的作用力，根據(jù)物理知識(shí)可分析出抵消后的力最終會(huì)使球做上升的運(yùn)動(dòng)，則可從它的速度和上升的高度進(jìn)行分析.要解出最佳協(xié)作策略，還需要求出繩子的長度以及每個(gè)隊(duì)員的最小用力.

對(duì)于問題二：主要涉及到的還是受力分解的知識(shí)，即將合力分解為x、y坐標(biāo)平面上的分力，其合力正好處于z軸上.關(guān)于鼓面的傾斜角度問題，首先只需要將8個(gè)人的作用力與鼓面的力，平均地分為8個(gè)部分(可將每個(gè)點(diǎn)視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn))，然后根據(jù)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)作用力和高度的不同，并且每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的高度(即人抓著繩子末端的高度)也可能不同，此時(shí)的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的高度差，可以產(chǎn)生傾斜角度.而這個(gè)傾斜的角度即為要求的答案.

此外，本問題存在0.1s與-0.1s、0s時(shí)刻，并且該問題中指定了初始位置(排球未與鼓面發(fā)生碰撞導(dǎo)致鼓面下移)為鼓面相對(duì)繩子水平高度下降了11cm，這個(gè)時(shí)候倘若將鼓面與繩子處于同一平面的話，就會(huì)有鼓面上升的階段，該階段就具有時(shí)刻值的問題.

對(duì)于問題三：關(guān)于是否要調(diào)整的問題，主要分為兩個(gè)方面：

(1)在所有人用力一致的時(shí)候，倘若球尚未達(dá)到鼓面時(shí)，鼓面就已保持了水平狀態(tài)，這種情況即無需調(diào)整；倘若這種情況下鼓面還沒有處于水平狀態(tài)的話，就需要進(jìn)行調(diào)整.

(2)當(dāng)所有人用力不一致時(shí)，不管球面是否有接觸到鼓面，都需要對(duì)其進(jìn)行調(diào)整，從而使得鼓面保持水平狀態(tài).

在第一問的最佳策略中，只是簡單地人數(shù)分配以及在假設(shè)每個(gè)人作用的分力相同的條件下進(jìn)行的，它成功的最關(guān)鍵的問題在于每個(gè)人作用分力的時(shí)間是不一致的，這也是解決第三問的關(guān)鍵所在，同時(shí)在闡述分析時(shí)，也需要對(duì)問題一和問題二進(jìn)行詳細(xì)地分析，保持內(nèi)容的完整.

對(duì)于問題四：當(dāng)由于鼓面的傾斜而導(dǎo)致球跳動(dòng)方向不再豎直時(shí)，要找出調(diào)整策略，主要的解題思路有：

(1)當(dāng)鼓面發(fā)生了一定程度的傾斜時(shí)，鼓面在水平方向上的高度差仍然是確定的，這與問題一的力度的分析是一致的，只是隊(duì)員人數(shù)、繩子的長度以及球反彈的高度有所改變，要求調(diào)整拉繩策略的必要的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度，可以從問題一建立的模型入手；

(2)由于最優(yōu)的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度是分段進(jìn)行的，要使傾斜的鼓面在最短的時(shí)間內(nèi)變?yōu)樗剑瑒t需要每個(gè)人力的作用以及發(fā)力的時(shí)間存在差異性，重點(diǎn)解決的問題是發(fā)力的時(shí)機(jī)以及發(fā)力的持續(xù)時(shí)間，這些都與傾斜后的鼓與水平面的高度差有關(guān)；

(3)由于現(xiàn)實(shí)情況的不可控性，該調(diào)整策略的實(shí)施效果可能會(huì)出現(xiàn)略差于實(shí)驗(yàn)研究的實(shí)施效果的情況，可以通過列舉特例進(jìn)行對(duì)比.

2 同心鼓協(xié)同模型分析

2.1 基本假設(shè)

(1)假設(shè)忽略空氣因素對(duì)球的影響；

(2)假設(shè)落點(diǎn)為光滑的水平面，不產(chǎn)生摩擦力；

(3)假設(shè)在連續(xù)顛球的過程中每個(gè)人的作用力不會(huì)發(fā)生突變(避免繩子掉落的情況)；

(4)假設(shè)忽略在鼓面震動(dòng)過程中有外界干擾其震動(dòng)頻率的因素；

(5)假設(shè)排球在接觸鼓面之后立即產(chǎn)生形變和反彈，過程所有的勢(shì)能忽略不計(jì)；

(6)假設(shè)物體發(fā)生形變后，不發(fā)熱、發(fā)聲，且其形變能夠恢復(fù)，該過程沒有動(dòng)能損失.

2.2 符號(hào)說明

符號(hào)名稱符號(hào)意義va-、va+分別表示a物體碰撞前與碰撞后相對(duì)于地面的速度vb-、vb+分別表示b物體碰撞前與碰撞后相對(duì)于地面的速度δ接觸區(qū)域滲透深度,即接觸形變?chǔ)?0)接觸瞬間相對(duì)速度en碰撞前后法向相對(duì)速度之比rx隊(duì)員之間的最小距離,其值不得小于60cm

2.3 模型的建立與求解

2.3.1 問題一的模型建立及問題的求解

(1)恢復(fù)系數(shù)的經(jīng)典力學(xué)接觸模型

經(jīng)典力學(xué)接觸模型主要使用恢復(fù)系數(shù)來描述接觸碰撞的過程，這是一種對(duì)碰撞過程的簡化處理方法.模型假設(shè)接觸過程是在瞬間完成的，物體在碰撞瞬間位置保持不變，速度會(huì)發(fā)生突變.碰撞過程中，由于碰撞物體的速度是不連續(xù)的，無法計(jì)算接觸力.

古典碰撞理論不考慮碰撞過程中的變形，稱作剛性碰撞.對(duì)此模型，僅用一個(gè)恢復(fù)系數(shù)來表示碰撞前后的狀態(tài)，定義碰撞前后法向相對(duì)速度之比，其定義為：

(1)

其中：va-、va+、vb-、vb+分別表示為a、b物體碰撞前后相對(duì)于地面的速度.根據(jù)動(dòng)能定理，碰撞過程中的能量損失ΔE的關(guān)系可表示為：

(2)

將(1)式代入(2)式化簡可得：

2.3.2 基于線性阻尼的動(dòng)態(tài)接觸模型

動(dòng)態(tài)接觸模型可將接觸現(xiàn)象作為連續(xù)的動(dòng)力學(xué)過程進(jìn)行處理，能比較簡化地求解碰撞過程中各個(gè)物理量的時(shí)間變化過程.建立合理的碰撞過程模型，是應(yīng)用動(dòng)態(tài)接觸理論的關(guān)鍵.本題主要討論的是基于線性阻尼模型的動(dòng)態(tài)接觸模型，將接觸力等效為接觸物體之間的彈簧阻尼力.

圖1 基于線性阻尼模型的動(dòng)態(tài)接觸模型圖示

由于排球和鼓面形狀比較規(guī)則且碰撞相對(duì)速度不大，根據(jù)赫茲接觸理論，接觸剛度系數(shù)與接觸物體的材料屬性和接觸表面的幾何形狀有關(guān)，可得以下計(jì)算式：

其中：μ1、μ2、E1、E2、R1、R2分別表示排球和鼓面的材料的泊松比，彈性模量以及曲率半徑.

假設(shè)當(dāng)鼓面與排球相接觸時(shí)，取鼓面曲率半徑R2=∞，使用線性阻尼模型模擬接觸過程，可將其近似為一個(gè)單自由度系統(tǒng)，表示為：

根據(jù)ΔE=W，可得阻尼比與恢復(fù)系數(shù)之間的關(guān)系表達(dá)式為：

2.3.3 排球的自由下落過程

排球下落的過程中初速度為0，由于速度較低，故其所受的空氣阻力數(shù)值很小，因此可認(rèn)為排球只受重力作用，根據(jù)動(dòng)力學(xué)公式，有：

根據(jù)圖2可以得到，各個(gè)隊(duì)員圍成的圓環(huán)半徑計(jì)算式為：

其中：rx是隊(duì)員之間的最小距離，其值不得小于60cm；N是隊(duì)員的個(gè)數(shù)，其值最小為8人.

圖2 人與鼓的分布圖

圖3 繩牽引受力分析圖

如圖3所示：鼓和繩子的牽引位置在鼓的中間H/2處.假設(shè)顛球過程中，隊(duì)員只能抓握繩子的末端，不能接觸鼓或繩子的其他位置，因此，人對(duì)鼓的拉力是沿著繩子的方向.所以在顛球過程中，相當(dāng)于鼓與球做相遇運(yùn)動(dòng).對(duì)繩子的拉力進(jìn)行正交分解后，球與鼓碰撞時(shí)改變運(yùn)動(dòng)雙方的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的應(yīng)為法向方向上的力.可得：

根據(jù)牛頓第二定律，得：

F∑y-mbg=mba

F∑x=0

F∑y=N·Fcosφ

F∑y表示繩對(duì)鼓在豎直方向的合力，且繩對(duì)鼓在水平方向的合力F∑x為0.

2.3.4 模型的建立及求解

由于題目假設(shè)每個(gè)人都可以精確控制用力方向、時(shí)機(jī)和力度，而同心鼓項(xiàng)目的目標(biāo)是使連續(xù)顛球的次數(shù)最多.那么在理想條件下，如果沒有時(shí)間限制，連續(xù)顛球的次數(shù)將會(huì)是無限多，然而這樣的討論是沒有意義的.所以應(yīng)假設(shè)在單位時(shí)間內(nèi)顛球的次數(shù)盡可能多，即為最佳協(xié)作方案，換句話也就是說：在單位時(shí)間內(nèi)，降低球顛起的高度來增加顛球的次數(shù)，將球彈起的高度設(shè)定為達(dá)到40cm即可，這樣就可以做到在單位時(shí)間內(nèi)顛球次數(shù)最多，且是連續(xù)顛球[4,5].

(1)鼓與球撞擊過程中速度衰減的計(jì)算

假設(shè)初始位置即鼓最開始擺放的位置，在鼓面與排球碰撞后鼓面下降高度為持球人手部以下11cm，這個(gè)高度正好達(dá)到鼓的高度的一半.將球的放置高度為40cm，效果如圖4所示：

圖4 初始位置的確定

同時(shí)，設(shè)定在鼓面與球相碰撞時(shí)，該時(shí)刻的碰撞是所在的平面為初始水平面，在此基礎(chǔ)上，可設(shè)定該水平面為基準(zhǔn)面，球的最低高度不能低于基準(zhǔn)面上40cm，效果圖如圖5.

圖5 水平面的定義

在此設(shè)定的前提上以及上文所做模型的準(zhǔn)備，可知小球撞擊前初速度，通過Simulink系統(tǒng)仿真計(jì)算得可到如下結(jié)果(如圖6)：

圖6 碰撞臨界速度圖

其中：va表示球的速度，vb表示鼓的速度，v0表示va與vb的相對(duì)速度.

如圖6所示，該圖表示在碰撞過程中，從碰撞開始到碰撞結(jié)束的球與鼓的速度變化.由圖可知：(1)在碰撞后的0s處，球與鼓的速度分別為2.8m/s，-1.653m/s，速度方向相反.在碰撞過程中，速度不斷衰減；(2)在碰撞后0.1073秒處，兩物體形變量最大，兩物體反向運(yùn)動(dòng)，球的速度與初始速度大小相等，方向相反；(3)由于存在人對(duì)鼓的拉力作用，最終使鼓做反向的運(yùn)動(dòng)，并由于撞擊使得能量逐漸衰減.

由于模型本身的不足，動(dòng)態(tài)接觸模型計(jì)算出的能量為系統(tǒng)損失的總能量，球與鼓接觸時(shí)均發(fā)生彈性形變，且撞擊后的兩者分別所損失的能量占總損失能量之比無法確定.由于鼓的質(zhì)量是球的質(zhì)量的13.33倍，動(dòng)量差距較大，可以近似認(rèn)為鼓損失了系統(tǒng)的全部能量，于是球?qū)M足動(dòng)量守恒定律，最終球恢復(fù)速度大小與原來速度相同，整個(gè)過程持續(xù)0.22s.

(2)計(jì)算所需和力的大小

因?yàn)榧僭O(shè)前提是所有拉繩的人提供相同大小且持續(xù)不突變的力，力的方向?yàn)檠乩K方向，由于所有人位置都對(duì)稱，那么水平方向上合力始終為零.要使小球彈起高度為40cm，那么小球彈起的速度依然為2.8m/s，方向由豎直向下轉(zhuǎn)變?yōu)樨Q直向上的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，如圖7所示.

圖7 豎直方向合力大小與碰撞后排球法量速度的線性關(guān)系圖

由于我們已知撞擊后的速度衰減模型，為了能夠使球反彈時(shí)初速度為2.8m/s，本文通過Simulink系統(tǒng)仿真模擬圖7撞擊過程，通過不斷施加大小不同的力，得出不同的豎直方向法向的合力作用下，撞擊后的球速度變化.經(jīng)過我們幾次模擬仿真得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，排球法向速度與豎直方向合力大小呈線性關(guān)系.(線性函數(shù)式)所以當(dāng)排球速度為2.8m/s時(shí)，豎直方向上的合力為82.7N.

(3)比較準(zhǔn)備時(shí)間和球體下落時(shí)間(模型檢驗(yàn))

由于本問的前提是使高度盡可能小，這樣可能會(huì)導(dǎo)致當(dāng)球體下落時(shí)間小于鼓提前準(zhǔn)備的時(shí)間，使球到達(dá)預(yù)計(jì)撞擊位置(水平面)時(shí)，鼓沒有做好準(zhǔn)備以相同的位置去撞擊球.這樣本問的策略將會(huì)失敗.故本問只需要比較第一次撞擊后球回到最高高度即高度為40厘米的時(shí)間與鼓回到初始位置的時(shí)間作比較.

由動(dòng)力學(xué)方程：

其中：t1為球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，t為鼓的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，v0為球的初速，v1為鼓的初速.經(jīng)檢驗(yàn)t1大于t2.

2.4 問題二模型建立及問題的求解

分析了排球不考慮空氣阻力下的自由落體運(yùn)動(dòng)，40cm的距離需要耗時(shí)0.29s左右，而在本問題中，需要討論的是隊(duì)員們的不同發(fā)力時(shí)機(jī)和力度下，0.1s時(shí)的鼓面傾斜角度，因此在該階段還未涉及到接觸碰撞問題.根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，在不同的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度下，影響鼓面傾斜角度(圖8)的是水平位移和豎直位移的大小[5-8].

圖8 鼓面斜角的示意圖

2.4.1 只考慮發(fā)力力度大小對(duì)鼓面傾斜角度的影響

在計(jì)算鼓面斜角數(shù)據(jù)時(shí)，設(shè)1、2、3組數(shù)據(jù)均為同一時(shí)刻發(fā)力，相較于所有力均為80N的情況，由于水平方向合力的存在，鼓面會(huì)產(chǎn)生傾斜，如圖9所示.

圖9 發(fā)力力度與傾斜角度示意圖

每一個(gè)隊(duì)員施加在鼓面上的水平分量為：

Fxi=Fisinφ

豎直分量為：

Fyi=Ficosφ

F∑y-mbg=mbay

F∑x=mbax

豎直方向位移為：

水平方向位移：

因此，傾斜角的計(jì)算公式為：

2.4.2 只考慮發(fā)力時(shí)機(jī)對(duì)鼓面傾斜角度的影響

在計(jì)算鼓面斜角數(shù)據(jù)時(shí)，設(shè)4、5、6組數(shù)據(jù)均為同樣的發(fā)力力度，相較于所有力均為80N的同時(shí)作用情況，由于某些隊(duì)員會(huì)提前發(fā)力，鼓面會(huì)產(chǎn)生傾斜.

每一個(gè)隊(duì)員施加在鼓面上的水平分量為：

Fxi=Fisinφ

豎直分量為：

Fyi=Ficosφ

在-0.1s～0s過程中：Fy=mbay1

Fx=mbax1

在0s～0.1s過程中：

F∑y-mbg=mbay2

F∑x=mbax2

豎直方向和水平方向位移由-0.1s～0s和0s～0.1s兩部分組成，其中t=0.1s，可得：

(3)

(4)

得傾斜角的計(jì)算公式仍為：

(5)

2.4.3 綜合考慮發(fā)力時(shí)機(jī)和發(fā)力力度大小對(duì)鼓面傾斜角度的影響

在計(jì)算鼓面斜角數(shù)據(jù)時(shí)，設(shè)7、8、9組數(shù)據(jù)綜合考慮了不同的發(fā)力時(shí)機(jī)和發(fā)力力度，相較于之前兩種情況，綜合影響了運(yùn)動(dòng)方程里的合力和作用時(shí)間，致使豎直方向和水平方向的位移發(fā)生變化，有的作用效果會(huì)相互抵消，有的會(huì)相互疊加，最后表現(xiàn)在鼓面的傾斜角度差異，最終得到表1.

表1 鼓面斜角數(shù)據(jù)

分析求解出來的表格數(shù)據(jù)可以看出，提前發(fā)力或增大發(fā)力力度會(huì)使得鼓面傾角增大.對(duì)稱分布的8名隊(duì)員中，同一側(cè)的作用效果相互疊加，鼓面傾角增大；異側(cè)的作用效果相互抵消，鼓面傾角減小.

2.4.4 模型建立及問題的求解

在游戲開始的那一刻由于八名隊(duì)員之間的用力大小和時(shí)機(jī)不同，鼓面會(huì)發(fā)生一定程度上的傾斜.這樣一來撞擊的時(shí)間和位置都會(huì)發(fā)生變化，為了使問題一中的策略依然成立，我們將策略做一些改動(dòng).

由于鼓面在發(fā)生撞擊之前就已經(jīng)發(fā)生傾斜，需要時(shí)間調(diào)整.由于球的下落時(shí)間與球的最高高度成正比，即球在做初速度為0，加速度為g的恒加速運(yùn)動(dòng).

由牛頓第二定律可得：

其中：x為數(shù)值位移，t為運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

由此我們的策略調(diào)整為適當(dāng)升高球彈起的高度，預(yù)留時(shí)間去做調(diào)整，使得當(dāng)球每次落在水平面時(shí)，始終可以保持鼓面以水平的姿態(tài)去撞擊，依然使高度盡可能的小，來保證在單位時(shí)間內(nèi)擊球的次數(shù)盡可能的多這一大前提不變.

2.4.5 鼓面調(diào)整時(shí)間的計(jì)算

由問題2傾角計(jì)算模型可知數(shù)值位移與水平位移之比計(jì)算出在一段時(shí)間之后鼓的傾斜角度，由公式(3)、(4)、(5)可得：

根據(jù)前文所述，可知反向加速度矢量和滿足如下關(guān)系式：

其中：F-Σy為反向豎直力的矢量和，大小等于FΣy(下同)，F(xiàn)-∑x為反向水平力的矢量和，a-x為反向水平加速度、a-y為反向豎直加速度,并且已知該點(diǎn)的水平速度和位移速度，所以根據(jù)牛頓定律，整理可得，時(shí)間t滿足如下關(guān)系式：

vx=a-x·t特

vy=a-y·t特

其中:v-y、v-x分別為反向豎直速度和反向水平速度，大小不變，方向均與原方向相反，Φ為第二問中求出的鼓面的傾斜角度.

所以我們將問題抽象為質(zhì)點(diǎn)在水平方向和豎直方向的加速度方向與速度方向反向(圖10所示)的減速運(yùn)動(dòng)并使位移求和最終為零.

圖10 由傾斜恢復(fù)至水平受力示意圖

2.4.6 數(shù)值向上合力大小的計(jì)算

合力計(jì)算依據(jù)第二問情況1，作為算例.已知回復(fù)時(shí)間可算出鼓面恢復(fù)水平時(shí)間，利用此時(shí)間，反推球與鼓撞擊前的速度大小.依據(jù)速度大小，亦可反推豎直合力，故需要給出計(jì)算結(jié)果，如圖11所示.

圖11 鼓面傾斜下撞擊力示意圖

2.5 問題三模型建立及問題的求解

2.5.1 模型的建立——碰撞速度的矩陣模型

考慮鼓面與排球的碰撞，對(duì)碰撞前與碰撞后的速度關(guān)系使用矩陣來簡明表達(dá)，分析碰撞之前與碰撞之后的能量組成和其關(guān)系，求出能量損失和傳遞率的表達(dá)式，以便解決鼓面與排球的碰撞問題.

以下為碰撞速度的矩陣模型的表示方法：

根據(jù)動(dòng)量守恒定理，有：

(6)

因?yàn)橛谢謴?fù)系數(shù)e則有：

(7)

即：

u′=-eu

(8)

綜上可得：

(9)

(10)

使用矩陣來表示碰撞前后的速度關(guān)系為：

(11)

可得鼓與排球之間碰撞前與碰撞后的關(guān)系：

(12)

(13)

使用矩陣表示為：

(14)

由此即建立了碰撞速度的矩陣模型.

2.5.2 模型的求解——能量分析的方式

經(jīng)過分析，碰撞前后，鼓與排球的動(dòng)能分別為：

(15)

(16)

該碰撞系統(tǒng)的能量損失為碰撞前后的有效動(dòng)能之差：

(17)

(18)

由碰撞前后的矩陣表示可得：

(19)

(20)

結(jié)合上述公式，可得Ed為：

(21)

比較ΔEk可知，Ed=ΔEk，碰撞前后系統(tǒng)的有效動(dòng)能相等.

鼓傳遞給排球的動(dòng)能E2g與鼓的動(dòng)能之比為能量傳遞率η，其為：

(22)

(23)

恢復(fù)系數(shù)e的值介于0與1之間，能量傳遞率η與鼓與排球的質(zhì)量比t和恢復(fù)系數(shù)e有關(guān)，為了使η最大，作如下討論：

(1)若t恒定，則e=1時(shí)，發(fā)生完全彈性碰撞，η最大，e=0時(shí)，發(fā)生完全非彈性碰撞，η最大.

結(jié)合上述公式，使用Matlab編程得到圖12，由此可得：10名隊(duì)員在調(diào)整相對(duì)于豎直方向傾斜角度為1度的排球時(shí)，每位隊(duì)員應(yīng)該發(fā)力的時(shí)機(jī)，由此可知位于2、4、8號(hào)位置隊(duì)員需要提前發(fā)力，其余位置的隊(duì)員需要晚一拍才發(fā)力，這種策略把排球恢復(fù)為相對(duì)于豎直方向傾斜角度為0度.

圖12 調(diào)整排球至豎直彈跳每個(gè)隊(duì)員應(yīng)該發(fā)力的時(shí)間點(diǎn)示意圖

3 結(jié)語

(1)本文運(yùn)用了Matlab工具準(zhǔn)確地對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，并利用Simulink系統(tǒng)來對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真和計(jì)算，同時(shí)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合.能夠準(zhǔn)確得到理想的曲線以及圖像，比如鼓膜與排球發(fā)生碰撞之后，建立豎直方向合力大小與碰撞后排球法量速度的線性關(guān)系圖；

(2)建立模型的時(shí)候充分考慮了排球和鼓面的材料的泊松比，彈性模量以及曲率半徑，求得的數(shù)據(jù)更為接近實(shí)際情況;

(3)采用了經(jīng)典力學(xué)接觸模型，這種模型主要使用恢復(fù)系數(shù)來描述接觸碰撞的過程，是一種對(duì)碰撞過程的簡化處理方法;

(4)動(dòng)態(tài)接觸模型可將接觸現(xiàn)象作為連續(xù)的動(dòng)力學(xué)過程進(jìn)行處理，能比較簡化地求解碰撞過程中各個(gè)物理量的時(shí)間變化過程.

模型的缺點(diǎn):

(1)由于忽略空氣因素對(duì)球的影響，實(shí)際上排球彈起在空中時(shí)都是帶一定程度的自旋的，這種球體自發(fā)性的旋轉(zhuǎn)會(huì)與空氣產(chǎn)生一定的摩擦，這種摩擦?xí)p耗球體運(yùn)動(dòng)的總能量;

(2)建立模型的時(shí)候考慮鼓膜表面的振動(dòng)頻率和排球形變的約束條件時(shí)不夠細(xì)致，在實(shí)際情況中在排球與鼓膜碰撞的那一刻是會(huì)互相作用力的，這個(gè)力包括鼓膜表層的振動(dòng)和排球的形變，這個(gè)約束條件可以更進(jìn)一步地去完善模型;

(3)在計(jì)算模型的時(shí)候由于數(shù)據(jù)量較少，導(dǎo)致仿真和計(jì)算時(shí)會(huì)產(chǎn)生偏差，尤其是求解的時(shí)候，倘若數(shù)據(jù)量更多一些的話最終求出來的值和角度會(huì)更加的仿真.