舒慕華，王思宇，林志超，周禮剛，肖 箭

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

多屬性決策(MADM )是指存在多個(gè)備選方案時(shí)，如何選擇一個(gè)最滿足一組評(píng)價(jià)指標(biāo)的問(wèn)題，是當(dāng)代決策科學(xué)的一個(gè)重要組成部分.多屬性群決策問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是在多個(gè)屬性和多個(gè)決策者的共同參與下，對(duì)備選方案進(jìn)行擇優(yōu)或者排序的過(guò)程.一些經(jīng)典的多屬性決策方法常常得到廣泛運(yùn)用與研究，例如TOPSIS方法，PROMETHEE方法，ELECTRE方法，VIKOR方法等.VIKOR方法是Opricovic教授[1]提出的一種基于折衷規(guī)劃的排序方法，主要用于解決復(fù)雜并且含有多準(zhǔn)則優(yōu)化問(wèn)題.隨后，Opricovic和Tzeng教授[2]進(jìn)一步比較了這四種經(jīng)典的多屬性群決策方法，認(rèn)為VIKOR方法不僅考慮了最大化的群效用并且也追求了個(gè)體遺憾的最小化，且引入了決策系數(shù)，充分考慮到了決策者的主觀偏好，保證決策更加合理性與準(zhǔn)確性[2].

在多屬性群決策問(wèn)題中，常常需要決策者提供決策信息，但是在實(shí)際問(wèn)題中，由于事物本身的模糊性、不確定性以及專家或決策者知識(shí)結(jié)構(gòu)和個(gè)人偏好等主觀因素的影響，對(duì)表現(xiàn)出一定程度猶豫以及含有不確定信息的決策問(wèn)題，專家或決策者需要做出清晰準(zhǔn)確的決策十分困難.文獻(xiàn)[3]中Zadeh提出模糊集的概念[3]來(lái)描述對(duì)象的不確定性，之后許多學(xué)者都在研究推廣模糊集理論，并運(yùn)用于不同的決策場(chǎng)景.Zadeh本人又提出了區(qū)間模糊集和2-型模糊集的概念[4].Atanassov將模糊集推廣到了直覺(jué)模糊集(IFs)[5]，并用隸屬度與非隸屬度來(lái)表征研究對(duì)象，滿足兩者之和小于1的限制.

隨著社會(huì)信息的多元化及復(fù)雜化交融，Yager研究發(fā)現(xiàn)畢達(dá)哥拉斯模糊集仍然無(wú)法適用于更加復(fù)雜的多元問(wèn)題.因此，Yager基于直覺(jué)模糊集以及畢達(dá)哥拉斯模糊集理論知識(shí)進(jìn)一步提出了q-rung Orthopair模糊集(q-ROFs)的概念[9]，其中要求其隸屬度與非隸屬度的q次冪之和不超過(guò)1.此時(shí)，可以看出，直覺(jué)模糊集和畢達(dá)哥拉斯模糊集都是q-rung Orthopair模糊集(q-ROFs)的特殊情況(q=1和q=2).并且由于q次冪的廣泛性，q階Orthopair模糊集合可以擴(kuò)大模糊信息的范圍，放寬限制條件，為研究理論以及解決問(wèn)題帶來(lái)了便利.很多專家和學(xué)者都基于q-rung Orthopair模糊集(q-ROFs)在該領(lǐng)域不斷探索和研究.Du[10]提出了一個(gè)功能測(cè)量?jī)蓚€(gè)q階Orthopair模糊集合，介紹了q階Orthopair的相關(guān)系數(shù)以及相關(guān)系數(shù)有界和無(wú)界連續(xù)的模糊集域.Liu和Wang[11]提出了q階Orthopair模糊權(quán)重平均運(yùn)算和q階Orthopair模糊權(quán)重幾何運(yùn)算如何去解決多屬性決策(MADM )問(wèn)題.Wen[12]提出了Minkowski型距離測(cè)量，并討論其關(guān)于多屬性群決策問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用.由于目前對(duì)構(gòu)造區(qū)間Orthopair模糊距離測(cè)度的多屬性決策模型研究較少.因此，本文采用區(qū)間q階Orthopair模糊集合處理VIKOR方法中的不確定性的多屬性決策問(wèn)題.

距離測(cè)度不僅是模糊集的理論中的重要概念，也是VIKOR法中非常重要的理論基礎(chǔ).經(jīng)典的折衷規(guī)劃法就是基于距離測(cè)度來(lái)決定特定解與理想解的貼近度.Papakostas[13]和Xu[14]等很多學(xué)者對(duì)已有的距離測(cè)度以及相似性測(cè)度進(jìn)行了研究和對(duì)比.本文基于Wang[15]提出的一種新的直覺(jué)模糊距離測(cè)度來(lái)體現(xiàn)直覺(jué)模糊集的信息特點(diǎn)，提出一種基于區(qū)間Orthopair模糊距離測(cè)度，并更好的運(yùn)用到VIKOR方法當(dāng)中解決多屬性決策問(wèn)題.該方法運(yùn)用新的區(qū)間Orthopair模糊距離測(cè)度計(jì)算VIKOR法中的群體效用和個(gè)體后悔度進(jìn)而得到?jīng)Q策結(jié)果，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行合理并有效的討論與分析.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[16]設(shè)X是一個(gè)非空有限集合，X上的直覺(jué)模糊集(IFs)可以定義為

A={x,μA(x),vA(x)|x∈X}

(1)

其中：函數(shù)μA(x)∶X→[0,1]和vA(x)∶X→[0,1]分別表示元素x屬于X的隸屬度和非隸屬度，并且滿足約束條件0<μA(x)+vA(x)≤1，則直覺(jué)模糊集的猶豫度為：

πA(x)=1-μA(x)-vA(x)

(2)

顯然πA(x)∈[0,1]，表示X中元素x屬于A的猶豫度或不確定度.

定義2[17]設(shè)X是一個(gè)非空有限集合，則X上的Orthopair模糊集(OFS)可以定義為

O={x,μO(x),vO(x)|x∈X}

(3)

其中：函數(shù)μO(x)∶X→[0,1]和vO(x)∶X→[0,1]分別表示元素x屬于X的隸屬度和非隸屬度，并且滿足約束條件0<(μO(x))q+(vO(x))q≤1，(q≥1)，則Orthopair模糊集的猶豫度為：

πO(x)=(1-(μO(x))q-(vO(x))q)1/q

(4)

顯然πO(x)∈[0,1]，表示X中元素x屬于o的猶豫度或不確定度，為了方便，稱(μO(x),vO(x))為Orthopair模糊數(shù)(OFN)，表示為(μO,vO).

其中:當(dāng)q=1時(shí)，O為直覺(jué)模糊集；當(dāng)q=2時(shí)，O為畢達(dá)哥拉斯模糊集;當(dāng)q=3時(shí)，O為Fermatean模糊集.

區(qū)間Orthopair模糊集是對(duì) Orthopair模糊集的推廣.

定義3[18]設(shè)X為一個(gè)非空有限集合，則X上的區(qū)間Orthopair模糊集(IOFNS)可以定義為：

(5)

(6)

1)加法

2)乘法

3)數(shù)乘

4)冪

容易證明，區(qū)間Orthopair模糊數(shù)(IOFNS)有如下的運(yùn)算律[18]：

(7)

為記分函數(shù)，稱

(8)

為精度函數(shù).

同時(shí)，文獻(xiàn)[19]還給出了區(qū)間Orthopair模糊數(shù)排序的方法.

2 一種新的區(qū)間Orthopair模糊距離測(cè)度

(9)

(10)

3 基于新的區(qū)間Orthopair模糊距離測(cè)度的VIKOR法

(11)

表示第k名決策者對(duì)第i個(gè)方案關(guān)于第j個(gè)屬性給出的評(píng)價(jià)結(jié)果，通過(guò)區(qū)間Orthopair模糊數(shù)表示.基于新的區(qū)間Orthopair模糊距離測(cè)度的VIKOR法具體步驟如下：

i=1,…,m,j=1,…,n,k=1,…,l

(12)

(13)

步驟3：確定每個(gè)方案在每個(gè)屬性的權(quán)重ωij.

根據(jù)式(14)計(jì)算第i個(gè)方案在第j個(gè)屬性的權(quán)重ωij，其中Eij為第i個(gè)方案下在第j個(gè)屬性的熵：

(14)

其中:

(15)

(16)

(17)

步驟5：計(jì)算群效用值Si和個(gè)人遺憾值Ri.

根據(jù)式(18)計(jì)算群效用值Si

i=1,…m,j=1,…,n

(18)

根據(jù)式(19)計(jì)算個(gè)人遺憾值Ri

i=1,…,m,j=1,…,n

(19)

步驟6：計(jì)算折衷評(píng)價(jià)值Qi.

設(shè)γ為決策系數(shù)，表示群效用最大策略的權(quán)重，1-γ表示個(gè)體遺憾的權(quán)重，且γ∈(0,1).若γ∈(0,0.5)，則主要考慮個(gè)體遺憾值；若γ∈(0.5,1)，則主要考慮群效應(yīng).根據(jù)式(20)計(jì)算折衷評(píng)價(jià)值：

Qi=γSi+(1-γ)Ri,i=1,2,…,m

(20)

步驟7：對(duì)各方案進(jìn)行排序.

根據(jù)群效用值Si、個(gè)人遺憾值Ri和折衷評(píng)價(jià)值Qi對(duì)各方案進(jìn)行排序，排序方法如下：

將備選方案分別根據(jù)群效用值Si、個(gè)人遺憾值Ri和折衷評(píng)價(jià)值Qi從小至大排序.把折衷評(píng)價(jià)值Qi從小至大排序，滿足以下兩個(gè)條件的第一個(gè)備選方案A(1)為最優(yōu)方案.

條件1：可接受決策的優(yōu)勢(shì)性.設(shè)A(2)為按照折衷評(píng)價(jià)值Qi排序第二的方案，滿足Qi(A(2))-Qi(A(1))≥DQ有：

(21)

條件2：可接受決策的穩(wěn)定性.首先通過(guò)折衷評(píng)價(jià)值Qi排序后為第一的備選方案需要滿足其在群效用值Si和個(gè)人遺憾值Ri中的升序也為第一，即為從群體效用值來(lái)看，最優(yōu)的備選方案比次優(yōu)方案的更優(yōu)，或者從個(gè)體妥協(xié)值來(lái)看，最優(yōu)的備選方案比次優(yōu)方案的小.

若一個(gè)備選方案不能滿足上述的兩個(gè)條件時(shí)，于是說(shuō)明有多個(gè)備選方案非常接近，因此以下提出一個(gè)妥協(xié)方案集合：

1)若不滿足條件1，妥協(xié)方案集合A(1),A(2),…,A(t)，其中t滿足不等式：Qi(A(2))-QiA(1)≥DQ的最小自然數(shù).

2)若只不滿足條件2時(shí)，排序的第一方案和第二方案，均為最優(yōu)的方案.

4 實(shí)例分析

現(xiàn)有一上市公司在為某投資項(xiàng)目選取方案，他們收到公司給出的四個(gè)備選方案A1，A2，A3和A4，為了選擇一個(gè)最優(yōu)方案，公司準(zhǔn)備從：C1利潤(rùn)值，C2風(fēng)險(xiǎn)性，和C3可實(shí)行性三個(gè)方面來(lái)對(duì)四個(gè)備選方案進(jìn)行決策.公司的四名決策者D1，D2，D3和D4構(gòu)成評(píng)審組來(lái)對(duì)四個(gè)方案進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)和決策分析，最終進(jìn)行最優(yōu)方案的確定.

不失一般性，我們?nèi)=2進(jìn)行分析，決策步驟如下.

步驟1 決策者提供的評(píng)價(jià)矩陣表達(dá)了對(duì)于備選方案Ai在屬性Cj的隸屬度和非隸屬度.此時(shí)用區(qū)間Othopair模糊數(shù)表達(dá)相關(guān)信息，評(píng)審組四名決策者對(duì)每個(gè)屬性下的備選方案進(jìn)行評(píng)價(jià)，對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)矩陣見(jiàn)表1～4.

表1 決策者D1提供的評(píng)價(jià)矩陣

表2 決策者D2提供的評(píng)價(jià)矩陣

表3 決策者D3提供的評(píng)價(jià)矩陣

表4 決策者D4提供的評(píng)價(jià)矩陣

步驟2 根據(jù)式(13)計(jì)算綜合評(píng)價(jià)矩陣見(jiàn)表5， 四名決策者的權(quán)重根據(jù)公司股權(quán)的分布來(lái)確定為：W=(W1,W2,W3,W4)T=(0.20,0.25,0.25,0.30)T.

表5 綜合評(píng)價(jià)矩陣

步驟3 根據(jù)式(14)、(15)計(jì)算出每個(gè)方案下的各屬性權(quán)重矩陣見(jiàn)表6.

表6 各方案下的屬性權(quán)重矩陣

步驟5 由式(17)、(18)計(jì)算群效用值Si和個(gè)人遺憾值Ri得：

S1=0.133，S2=0.965，S3=0.358，S4=0.315.

R1=0.133，R2=0.573，R3=0.331，R4=0.151.

步驟6 不失一般性，令γ=0.5，由式(19)計(jì)算折衷評(píng)價(jià)值Qi得：

Q1=0.133，Q2=0.769，Q3=0.344，Q4=0.233

步驟7 對(duì)群效用值Si、個(gè)人遺憾值Ri和折衷評(píng)價(jià)值Qi進(jìn)行排序得：

Si：A1A4A3A2，

Ri：A1A4A3A2，

Qi：A1A4A3A2

當(dāng)γ=0.5為了驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果對(duì)參數(shù)q的敏感性，取q=1,2,…,10進(jìn)行敏感性分析，折衷評(píng)價(jià)值Qi隨著q值的變化情況如圖1.

圖1 折衷評(píng)價(jià)值Qi隨著q值的變化圖Figure 1 Change of trade-off evaluation value with Qi value q

依據(jù)圖1和通過(guò)python軟件的計(jì)算結(jié)果，由區(qū)間Orthopair模糊距離測(cè)度的VIKOR方法計(jì)算可得：當(dāng)q∈[1,4.309]時(shí)，備選方案的排序?yàn)锳1?A4?A3?A2，則可知A1是最優(yōu)方案.當(dāng)q>4.309時(shí)，備選方案的排序?yàn)锳1?A3?A4?A2，此時(shí)A3和A4的排序結(jié)果發(fā)生了改變，但是A1仍是最優(yōu)方案.

當(dāng)q=2為了驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果決策系數(shù)γ的敏感性，取γ=0.1,0.2,…,1.0進(jìn)行敏感性分析，折衷評(píng)價(jià)值Qi隨著決策系數(shù)γ的變化情況如圖2.

由圖2可以看出，當(dāng)決策系數(shù)γ∈(0,1)時(shí)，備選方案的排序均為A1?A4?A3?A2，則可知A1是最優(yōu)方案.

圖2 折衷值Qi隨著決策系數(shù)γ的變化圖Figure 2 The trade-off value Qi as a function of the decision coefficient γ

對(duì)于多屬性群決策問(wèn)題中，影響方案排序的重要因素是屬性權(quán)重.本文基于區(qū)間Orthopair模糊距離測(cè)度提出的VIKOR多屬性決策方法是一種客觀有效的方法，且有以下特點(diǎn)：1)根據(jù)區(qū)間Orthopair模糊信息存在不確定性和不具體性，本文提出新的區(qū)間Orthopair模糊距離測(cè)度綜合考慮了區(qū)間隸屬度，區(qū)間非隸屬度和猶豫度，不僅反映了參數(shù)值之間的差異，而且考慮了區(qū)間Orthopair模糊信息的波動(dòng)性，從而能夠更準(zhǔn)確的表達(dá)不確定性信息;2)相比文獻(xiàn)[20]，本文通過(guò)熵理論來(lái)確定備選方案各屬性的權(quán)重，該法確定屬性的權(quán)重能夠減少主觀隨意性，從而使得決策結(jié)果更加客觀合理.

5 結(jié) 語(yǔ)

本文在新的模糊距離測(cè)度基礎(chǔ)上，提出一種基于區(qū)間Orthopair模糊距離測(cè)度的VIKOR多屬性決策方法，并進(jìn)行了實(shí)例分析驗(yàn)證了該方法的真實(shí)性和有效性.通過(guò)提出熵權(quán)模型求解不同屬性權(quán)重，并運(yùn)用到模糊距離測(cè)度來(lái)計(jì)算VIKOR方法中的折衷評(píng)價(jià)值等從而進(jìn)行有效決策.與經(jīng)典的VIKOR方法相比，本文的優(yōu)點(diǎn)在于提出了一種新的模糊距離測(cè)度考慮到區(qū)間Orthopair模糊環(huán)境下信息的波動(dòng)性和不具體性，更有效地反映了區(qū)間Orthopair模糊數(shù)的信息特點(diǎn)，并且通過(guò)參數(shù)q和決策系數(shù)γ的變動(dòng)可以反映決策結(jié)果的靈敏性.