李延玲，傅 華

(1.青海民族大學 數學與統(tǒng)計學院, 西寧 810007； 2. 福建警察學院 福州 350007)

近年來，隨著經濟的發(fā)展和電子產品的廣泛應用，對系統(tǒng)可靠性的研究變的越來越重要，許多學者在這方面有大量的研[1-5]，為了提高系統(tǒng)的可靠性，系統(tǒng)的維修策略成為了重要的研究內容[6-9]，本文提出了一個更一般的單部件退化可修系統(tǒng)，假設修理設備在修理期間也可能會發(fā)生故障并且在故障之后會立即替換一個新的修理設備繼續(xù)修理故障系統(tǒng).另外，由于修理工需要檢查故障原因或不在崗等原因系統(tǒng)的修理將會被延遲，特別的，和之前文獻不同的是修理時間服從一般分布并且考慮了修理設備的替換時間，在這些假設條件下[10-12]，我們通過幾何過程及補充變量法建立了系統(tǒng)的數學模型，利用Laplace變化給出了系統(tǒng)的可用度，由于系統(tǒng)是退化的可修系統(tǒng)，經過長時間的工作系統(tǒng)的可用度將趨于零[13-15]，為了提高系統(tǒng)的可靠性以及節(jié)省系統(tǒng)的所需費用，進一步研究了基于故障次數的N策略替換.

1 數學模型

首先，給出該系統(tǒng)的基本假設.

假設1 系統(tǒng)是一個單部件系統(tǒng)，初始時刻系統(tǒng)是全新的并處于工作狀態(tài).

假設2 假設系統(tǒng)部件故障后不能修復如新，第(n-1)次修復完成與第n次修復完成之間的時間間隔稱為系統(tǒng)的第n個周期.設Xn和Yn分別表示系統(tǒng)在第n個周期中的工作時間和修理時間，其分布函數分別為：

Fn(t)=F(an-1t)=1-exp(-an-1λt)，

假設4 假設系統(tǒng)故障后不能夠立即修理，設Wn表示系統(tǒng)在第n個周期中的延遲修復時間,其分布函數為H(t)=1-exp(-θt)(θ>0).

假設5Xn,Yn,Wn,Un,Vn,(n∈N)均是相互獨立的.

通過如上假設，可以分析得出系統(tǒng)可能的相關狀態(tài).

狀態(tài)0：t時刻，系統(tǒng)正在工作，修理設備處于正常狀態(tài).

狀態(tài)1：t時刻，系統(tǒng)發(fā)生故障處于延遲修復狀態(tài).

狀態(tài)2：t時刻，修理工正在修理故障系統(tǒng).

狀態(tài)3：t時刻，修理設備發(fā)生故障，故障系統(tǒng)等待修理.

下面引進一些補充變量：

設S(t)=k(k=0,1,2,3)表示系統(tǒng)在t時刻處于狀態(tài)k,I(t)=j(j∈N,t≥0)表示在t時刻系統(tǒng)處于第j個周期,Y(t)與Z(t)分別表示系統(tǒng)在t時刻已經用去的修理時間和修理設備更換時間.

利用以上隨機變量我們給出系統(tǒng)所有可能狀態(tài)的概率及概率密度函數.

Pij(t)=P{S(t)=i,I(t)=j}(i=0,1.j=N)

p2j(t,y)dy=P{S(t)=2,y≤Y(t)

dy,I(t)=j}(j=N)

p3j(t,y,z)dz=P{S(t)=3,z≤Z(t)

dz,I(t)=j,Y(t)=y}(j=N)

通過分析在比較小的時間段內系統(tǒng)的狀態(tài)變化建立了系統(tǒng)的偏微分方程組.

當j=1時：

(1)

當j>1時：

(2)

初始條件：

(3)

進一步，由式(2)可以得出該系統(tǒng)所有可能狀態(tài)的概率滿足如下規(guī)范性條件：

2 系統(tǒng)的可用度

該系統(tǒng)在時刻t的可用度是指系統(tǒng)在時刻t正常工作的概率，即

其Laplace變換為

由Tauberian定理可知系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度為

由方程(1)和(2)及初始條件有：

(4)

由方程(4)有：

(5)

由式(5)可知

從而有

因此，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度為

上式說明，該退化系統(tǒng)在經過長時間的工作之后會變的完全不可用，因此系統(tǒng)的費用可能會更高，因為退化系統(tǒng)經過多次修復之后，修理的費用會比系統(tǒng)的收益更高.從經濟角度出發(fā)，我們考慮基于系統(tǒng)故障次數的N策略替換，主要給出系統(tǒng)平均費用的精確表達式C(N)，進而得到使得C(N*)最小的最優(yōu)替換策略N*，也就是說，當系統(tǒng)的故障次數達到N*時不再修理，會替換一個全新系統(tǒng)繼續(xù)工作.

3 N策略

首先，在之前假設的基礎上需要增加如下兩個假設條件.

假設6 設對該退化系統(tǒng)實行基于系統(tǒng)故障次數的N策略替換,就是指當系統(tǒng)的故障次數達到最優(yōu)替換次數N*時，系統(tǒng)將會被一個全新的系統(tǒng)替換.

假設7 設cr,cw,r,cf分別表示系統(tǒng)的修理費用, 系統(tǒng)正常工作時的收益，系統(tǒng)的替換費用以及修理設備的替換費用.

其次，設τ1為系統(tǒng)的第一次更換時間,τn為系統(tǒng)第(n-1)次更換完成與第n次更換完成之間的時間間隔, 進而{τ1,τ2,…}形成了一個更新過程, 兩次連續(xù)更換間的時間間隔稱為一個更新周期.

由更新理論給出系統(tǒng)在N策略下系統(tǒng)平均費用的精確表達式C(N)：

(6)

其中:D和W分別表示在一個更新周期內的平均費用和平均長度, 由系統(tǒng)的工作進程有：

(7)

其中:pi表示一個更新周期內系統(tǒng)修理設備的故障次數, 則pi的概率分布為[10]：

從而有

(8)

由式(8)及系統(tǒng)假設有

(9)

(10)

最后將式(9)、(10)帶入式(6)便得到系統(tǒng)在N策略下平均費用C(N)的精確表達式：

(11)

進一步,為了說明系統(tǒng)最優(yōu)替換策略N*的存在性與唯一性，本文給出如下相關參數的參數值：

a=1.15,λ=0.3,μ=0.3,

α=0.06,β=0.2,θ=0.4

p=0.4,q=0.6,Cr=20,

Cf=0,Cw=300,r=2 500

將以上參數帶入式(11)得表1.

表1 系統(tǒng)的平均費用率C(N)

從表1可以看出系統(tǒng)的最優(yōu)替換策略N*=8存在且唯一,相應的費用C(N*)=-32.7最少, 也就是說, 當該退化系統(tǒng)的故障次數達到8次時, 我們會更換一個全新的系統(tǒng) , 此時系統(tǒng)花費的費用最少.

4 結 語

本文主要考慮了一個修理設備可更換的單部件退化系統(tǒng)，修理時間服從一般分布，建立了系統(tǒng)的偏微分方程，利用Laplace變化討論了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度，從其表達式發(fā)現系統(tǒng)的可用度趨于零，這也說明對與退化系統(tǒng)而言經過長時間的工作之后系統(tǒng)將完全不可用.因此，為了提高系統(tǒng)的可靠性及節(jié)省系統(tǒng)所花費用，進一步討論了基于故障次數的N策略替換，最后給出具體參數進一步驗證了最優(yōu)策略N*的存在性與唯一性.