【摘 要】作為數(shù)學(xué)分析中的重點(diǎn)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性問(wèn)題的判別通常比較困難。因而，研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別方法及其應(yīng)用推廣是非常必要的。本文介紹了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相關(guān)的部分和、余項(xiàng)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂等定義，并給出一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性。將數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法進(jìn)一步推廣至函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂判別法上，并且系統(tǒng)地總結(jié)了基于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的多種判別法及其證明，同時(shí)也給出相關(guān)判別法的實(shí)際應(yīng)用，并探討了一致收斂判定中的放大技巧以及各判別法的局限性。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);一致收斂性;判別法;放大法

【中圖分類號(hào)】G712? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）34-0005-03

作為數(shù)學(xué)分析的難點(diǎn)和重要問(wèn)題，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的判定通常需要一定技巧，因此本文旨在全面歸納函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別方法。另外，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之間有許多可以類比歸納的地方，因此一些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別法，如比式、根式、Raabe判別法等，也可以用于證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否一致收斂。由于在判別法中需要利用放大的技巧，因此本文總結(jié)了多種放大的方法，最后綜合各種判別法的優(yōu)缺點(diǎn)，以更加熟練地應(yīng)用判別法。

1? ?函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的定義及基本判定方法

1.1? 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的定義

1.2? 柯西（Cauchy）判別法

1.3? 阿貝爾（Abel）判別法

1.4? 狄利克雷（Dirichlet）判別法

1.5? 魏爾斯特拉（M）判別法

2? ?對(duì)比數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法

2.1? 比式判別法

2.2? 根式判別法

2.3? 對(duì)數(shù)判別法

2.4? 高斯（Gauss）判別法

3? ?判別法中放大的技巧

通過(guò)上述對(duì)于一致收斂判別法的總結(jié)，會(huì)發(fā)現(xiàn)無(wú)論選擇哪一種判別法，都要對(duì)某一種形式的表達(dá)式有針對(duì)性地放大，下面通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明放大技巧[7]。

3.1? 利用已知不等式進(jìn)行放大

3.1.1? 均值不等式

3.1.2? 柯西不等式

3.1.3? 鍥貝曉夫不等式

3.1.4? 明可夫斯基不等式

3.1.5? 貝努力不等式

3.1.6? 排序不等式

3.2? 利用Abel變換進(jìn)行放大

綜上所述，柯西收斂法在運(yùn)用上比定義法更為優(yōu)越，但需要掌握一定技巧，其推論常用于判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)非一致收斂;應(yīng)用Abel判別法和Dirichlet判別法的關(guān)鍵在于將函數(shù)項(xiàng)寫成兩項(xiàng)相乘的形式，使其滿足判別法的條件;魏爾特斯拉（M）判別法較為方便的地方在于可以使用放大法將其轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題，同樣需要一定的技巧，但是此法同樣具有不可避免的缺陷，即如果函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)并不是絕對(duì)收斂的，那么就不能使用;Dini判別法需要判斷求和函數(shù)是否連續(xù)，條件要求較高，不便于應(yīng)用。根據(jù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法推廣而來(lái)的方法擁有與之類似的適用條件，比式判別法多用于通項(xiàng)中含乘除、階乘的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);根式判別法多用于通項(xiàng)中n為冪的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);對(duì)數(shù)判別法多用于通項(xiàng)中n為底數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);在判斷比等比級(jí)數(shù)收斂得慢的級(jí)數(shù)時(shí)，Raabe判別法比柯西判別法、阿貝爾判別法更有效;余項(xiàng)判別法的本質(zhì)是用取極值的方法將其轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限問(wèn)題。

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判斷有許多種方法，但是每一種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，可能只適用于其中某一類函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，只有對(duì)每種判斷方法的條件及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)做正確的分析，才能游刃有余地使用。

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【作者簡(jiǎn)介】

熊晗穎（1985～），男，漢族，江蘇常州人，本科，講師。研究方向：高職數(shù)學(xué)的信息化教學(xué)研究。

The Application and Extension of the Discriminant Method of Uniform Convergence on Function Series

Hanying Xiong

（Changzhou Railway Higher Vocational and Technical School， Changzhou， Jiangsu， 213011）

Abstract：As the focus of mathematical analysis， it is usually difficult to judge the uniform convergences on function series. Therefore， it is very necessary to study the discriminant method of uniform convergence of function series and its application. This paper introduces the definitions of the partial sum， the remainder and the uniform convergence on function series， and gives the continuity， differentiability and integrability of uniformly convergent function series. In the paper， the convergence discriminant method of several term series is further extended to the uniformly convergent discriminant method on function term series， and a variety of discriminant methods based on the uniform convergence of function series and their proofs are systematically summarized. At the same time， the practical application of relevant discriminant methods is also given， and the amplification skills in the uniformly convergent judgment and the limitations of each discriminant method are discussed.

Keywords：function term series; uniform convergence; discriminant method; amplification method