（晉江市內(nèi)坑教委辦，福建晉江 362200）

推理能力體現(xiàn)在以敏銳的思考分析、快捷的反應(yīng)、迅速地掌握問(wèn)題的核心，在最短時(shí)間內(nèi)作出合理正確的選擇。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》明確指出，應(yīng)將推理能力作為學(xué)生綜合能力發(fā)展的一項(xiàng)核心任務(wù)，并在整個(gè)教學(xué)進(jìn)程中注重學(xué)生推理能力的培養(yǎng)。推理既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，也是思考的方式。［1］由于小學(xué)生的思維正處于以具體形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維過(guò)渡的階段，這決定了發(fā)展學(xué)生推理能力需要利用畫(huà)圖策略。許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以借助畫(huà)線(xiàn)段圖、列表格、畫(huà)平面圖或立體圖形等策略，架“橋”鋪“路”，直觀(guān)地幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，溝通知識(shí)的前后聯(lián)系，充分思考與表達(dá)，感悟數(shù)學(xué)思想方法。

一、清晰理解題意

除了數(shù)學(xué)本身的邏輯特點(diǎn)，讓學(xué)生感覺(jué)抽象難以理解外，更多的是與數(shù)學(xué)問(wèn)題的呈現(xiàn)方式相關(guān)。許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的表述雖然簡(jiǎn)潔，但多以純文字的方式呈現(xiàn)，枯燥乏味，且有的題目數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，導(dǎo)致學(xué)生常常不能理解題意。根據(jù)小學(xué)生愛(ài)涂鴉的天性，從低年級(jí)開(kāi)始，注重讓學(xué)生畫(huà)一畫(huà)，借助圖形、線(xiàn)段、符號(hào)等圖像表征，彌補(bǔ)文字描述無(wú)法呈現(xiàn)或難以清晰呈現(xiàn)的思考路徑，使學(xué)生讀懂、理解題意。這是解決數(shù)字問(wèn)題的關(guān)鍵，也是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的前提。

例如，教學(xué)三年級(jí)上冊(cè)《里程表（二）》一課時(shí)（見(jiàn)圖1），針對(duì)很多學(xué)生把160 千米當(dāng)作是星期一一天行駛的里程數(shù)，將表格中的每個(gè)數(shù)據(jù)理解為每天行駛的里程數(shù)這一情況，設(shè)計(jì)以下教學(xué)環(huán)節(jié)：

圖1

師：160 千米是星期一一天行駛的里程數(shù)嗎？

生1：表格中的數(shù)據(jù)表示淘氣的叔叔星期一當(dāng)天的里程數(shù)為160 千米，如果將其理解為當(dāng)天行駛了160 千米，是錯(cuò)誤的。

師：兩種表述有什么區(qū)別？

生1：星期一的里程數(shù)是160 千米，不僅包括星期一當(dāng)天行駛的里程數(shù)，還應(yīng)該包括星期一出車(chē)前的35千米。若理解為星期一當(dāng)天行駛了160 千米，則表示他當(dāng)天行駛的里程為160 千米。

師：是不是有點(diǎn)難以理解？你能畫(huà)圖說(shuō)明嗎？

師：小宣同學(xué)畫(huà)了線(xiàn)段圖（見(jiàn)圖2），誰(shuí)看懂了？

圖2

生2：我看懂了。這樣畫(huà)圖，我們就能很清楚地知道，35 千米是星期一出發(fā)前的讀數(shù)，不是星期一這一天行駛的，160 千米是包括星期一出發(fā)前與星期一當(dāng)天在內(nèi)的里程數(shù)，而星期一當(dāng)天的里程數(shù)的計(jì)算列式為：160-35=125（千米）。

生3：我也看懂了。比如星期四的745 千米里，包含了前面的里程數(shù)，要將星期四當(dāng)天的里程數(shù)計(jì)算出來(lái)，則列式為：745-555=190（千米）。

師：這道題一開(kāi)始不好理解，畫(huà)了線(xiàn)段圖后，就能清楚理解題目的意思，畫(huà)圖這種方法真實(shí)用。

直觀(guān)圖的應(yīng)用價(jià)值廣泛，能把隱性的數(shù)學(xué)關(guān)系顯性化，使抽象的文字形象化。當(dāng)數(shù)學(xué)問(wèn)題不易理解時(shí)，可以讓學(xué)生畫(huà)圖，把文字信息“畫(huà)”成圖形信息，用“圖”將數(shù)量關(guān)系直觀(guān)、形象地體現(xiàn)出來(lái)，幫助篩選有用信息，理解題目意思，找到解決問(wèn)題的策略，起到支撐和輔助學(xué)生分析和理解抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的作用。

二、溝通知識(shí)聯(lián)系

小學(xué)數(shù)學(xué)的教材內(nèi)容是按不同層次，分知識(shí)領(lǐng)域、分板塊單元編排的，各版塊之間既有縱向發(fā)展的知識(shí)體系，又有橫向的聯(lián)系與拓展，呈現(xiàn)出縱橫相連的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。教學(xué)中，不能僅停留于教會(huì)學(xué)生掌握某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，還要引導(dǎo)學(xué)生弄清知識(shí)點(diǎn)的前引后伸，溝通理解知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，才能真正把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。通過(guò)畫(huà)圖，可以直觀(guān)地對(duì)比，打通知識(shí)的聯(lián)系通道，讓數(shù)學(xué)知識(shí)串點(diǎn)成線(xiàn)，聯(lián)結(jié)成塊，幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而發(fā)展推理能力。

例如，教學(xué)“0.2×3=？”時(shí)，得出計(jì)算結(jié)果后，教師追問(wèn)：“0.2×3=0.6 這個(gè)結(jié)果是怎么算的？”學(xué)生經(jīng)過(guò)思考，從不同的角度展示各自的計(jì)算方法：

①0.2×3 表示3 個(gè)0.2 相加，0.2+0.2+0.2=0.6（乘法的意義）

②0.2 元=2 角，2×3=6 角，6 角=0.6 元（借助人民幣換算，轉(zhuǎn)化為整數(shù)）

③0.1×2×3=0.6（數(shù)一數(shù)有幾個(gè)相同的計(jì)數(shù)單位）

④（0.2×10）×3÷10=0.6（積的變化規(guī)律）

⑤畫(huà)圖理解（見(jiàn)圖3）

圖3

“仔細(xì)觀(guān)察，這些方法之間有什么聯(lián)系嗎？”教師繼續(xù)追問(wèn)，不僅僅停留在展示交流環(huán)節(jié)就結(jié)束教學(xué)。通過(guò)畫(huà)思維導(dǎo)圖（見(jiàn)圖4），啟發(fā)學(xué)生思考知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，找到知識(shí)之間的本質(zhì)共性，對(duì)這些方法進(jìn)行對(duì)比、分析和梳理?！俺朔ǖ囊饬x、積的變化規(guī)律、運(yùn)算律”，都是基于對(duì)“運(yùn)算的意義”方面來(lái)解決問(wèn)題的；用“單位換算、計(jì)數(shù)單位、分?jǐn)?shù)”這些方法，是基于對(duì)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”；而畫(huà)圖則更加直觀(guān)，融合了這兩種認(rèn)識(shí)。

圖4

借助思維導(dǎo)圖，學(xué)生體會(huì)到，這些不同的方法都體現(xiàn)“數(shù)一數(shù)有多少個(gè)這樣相同的計(jì)數(shù)單位”這個(gè)數(shù)學(xué)本質(zhì)。這樣“畫(huà)龍點(diǎn)睛”，讓學(xué)生的思維漸趨漸明，知識(shí)脈絡(luò)直觀(guān)清晰，從而真正深刻地理解小數(shù)乘以整數(shù)的意義，也為小數(shù)乘法的后續(xù)學(xué)習(xí)提供豐富的研究經(jīng)驗(yàn)。“知識(shí)聯(lián)通”，直指數(shù)學(xué)知識(shí)的本源，有利于學(xué)生將知識(shí)結(jié)構(gòu)化，進(jìn)一步促進(jìn)推理能力的提升。

三、有序思考表達(dá)

曹培英認(rèn)為，思維習(xí)慣會(huì)影響推理能力。若遇到問(wèn)題后，學(xué)生做到有理有據(jù)的推測(cè)與思索，那么首先會(huì)以語(yǔ)言等多種表述形式，將自己所思考的內(nèi)容進(jìn)行表達(dá)。小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有明顯的形象性，在表達(dá)的思維過(guò)程時(shí)，往往缺乏條理性和層次性，不能扣緊本質(zhì)，不能將自己的想法作清晰完整的數(shù)學(xué)表達(dá)。通過(guò)畫(huà)圖，為學(xué)生搭建表達(dá)的腳手架，結(jié)合規(guī)范的數(shù)學(xué)表達(dá)句式，可幫助學(xué)生輕松直觀(guān)地分析問(wèn)題，做到表述的準(zhǔn)確、完整與有條理，逐步提高學(xué)生的邏輯表達(dá)與推理能力。

例如，“雞兔同籠，有9 個(gè)頭，26 條腿，問(wèn)雞兔各幾只？”這一問(wèn)題，對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)比較抽象，特別是用假設(shè)法解答時(shí)，很多學(xué)生更是云里霧里，不知所云。如果讓學(xué)生列表格、畫(huà)圖形，給予充分的表達(dá)交流的時(shí)間，就會(huì)呈現(xiàn)不一樣的精彩。

1.列表格，在有序思考中推理表達(dá)

①將雞或兔按“從少到多”或者“從多到少”的按順序來(lái)列表（見(jiàn)表1），只需幾步就知道雞和兔各有幾只。②列表的過(guò)程中，關(guān)注數(shù)據(jù)的變化情況，是否存在什么規(guī)律？引導(dǎo)學(xué)生充分意識(shí)到，每增加1 只雞，兔的數(shù)量則減少1 只，總腿數(shù)則減少2 條的數(shù)量變化，根據(jù)規(guī)律，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。③讓學(xué)生充分地表達(dá)推理、思考的過(guò)程。

表1

2.畫(huà)圖形，借助關(guān)聯(lián)句式，完整表達(dá)推理過(guò)程

①選取有代表性的圖形進(jìn)行表達(dá)交流。雞兔總共9 只，可用簡(jiǎn)單的圖形代替雞兔的頭和腿，如用圓圈“○”表示頭，用豎線(xiàn)“|”表示腿。②推理表達(dá)時(shí)，盡量使用推理的關(guān)聯(lián)句式，完整地表達(dá)思考推理的過(guò)程。［2］如使用“先……再……”“如果……那么……”“根據(jù)……可以……”“因?yàn)椤浴钡汝P(guān)聯(lián)句式進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)：

生：我先畫(huà)9 個(gè)圓圈表示9 個(gè)頭，每只配上2 條腿看雞，還剩8 條腿，再把每只雞添上2 條腿變成兔，8 條腿可以換4 只兔，一看圖就得到一共有4 只兔和5 只雞（見(jiàn)圖5）。

圖5

生：如果把1 只雞和1 只兔看作一組，一組一組地畫(huà)，畫(huà)到4 只雞和4 只兔時(shí)，還剩下1 個(gè)頭2 條腿，那么剩下的就是1 只雞，所以總共有5 只雞和4 只兔。（見(jiàn)圖6）

圖6

借助畫(huà)“圖”和豐富的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，引導(dǎo)學(xué)生把“動(dòng)手畫(huà)、動(dòng)口說(shuō)”有機(jī)結(jié)合起來(lái)，用清晰的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，有條理地表述獲取知識(shí)的思維過(guò)程，實(shí)現(xiàn)多種形態(tài)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的自然轉(zhuǎn)換與不斷抽象，以“說(shuō)”促“思”，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的推理能力。

四、感悟推理思想

在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，進(jìn)行推理思想的滲透，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的推理能力，是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)之一。若將數(shù)學(xué)知識(shí)看成是一條明線(xiàn)，推理思想則是數(shù)學(xué)知識(shí)中隱藏的暗線(xiàn)，需要學(xué)生通過(guò)思維進(jìn)行分析與感悟，才能將其找出。教師如果能夠運(yùn)用畫(huà)圖策略，引導(dǎo)學(xué)生直觀(guān)感悟，長(zhǎng)期不斷地滲透，有利于幫助學(xué)生形成良好的推理習(xí)慣。

例如，教學(xué)二年級(jí)上冊(cè)“6 的乘法口訣”前，通過(guò)前測(cè)，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都已經(jīng)知道6×7=42，能背誦“六七四十二”的口訣，但對(duì)“為什么6 乘7 得42”的道理解釋不是很清晰?；诖?，可借助“點(diǎn)子圖”，讓學(xué)生在圈一圈、畫(huà)一畫(huà)中感悟算理。

1.設(shè)問(wèn)：6×7=42，你能借助點(diǎn)子圖“圈一圈”，說(shuō)明這句口訣表示的意義嗎？學(xué)生呈現(xiàn)思考過(guò)程（見(jiàn)圖7）：［3］

圖7

2.對(duì)比：觀(guān)察這些不同的圈法，你有什么發(fā)現(xiàn)？①都是表示7 個(gè)6，都把7 個(gè)6 分成幾個(gè)6 相加。不同的是，有的分成兩部分，有的分成三部分。②都是將新口訣轉(zhuǎn)變?yōu)榕f口訣來(lái)輔助計(jì)算。

3.小結(jié)：通過(guò)圈一圈、畫(huà)一畫(huà)，得到“六七四十二”這句口訣，這樣把新知識(shí)變成以前學(xué)過(guò)的知識(shí)，利用舊知學(xué)習(xí)新知的方法叫作“轉(zhuǎn)化”，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的思想方法（板書(shū)：新知—轉(zhuǎn)化—舊知）。

該教學(xué)模式的應(yīng)用，將數(shù)學(xué)的幾大要素（口訣、圖形與公式）等彼此銜接，讓乘法口訣涵蓋的內(nèi)容更豐富，學(xué)生對(duì)口訣意義也產(chǎn)生更全面深入的了解。在尋找新舊口訣聯(lián)系的過(guò)程中，滲透“轉(zhuǎn)化”這一推理思想，也為今后學(xué)習(xí)乘法分配律奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)。