郭元偉

太原學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西 太原030009

G.Choquet 于1955 年提出了容度及其積分理論［1］，Choquet 積分是一種基于非加測(cè)度的非線性積分，在圖像處理、模式識(shí)別、信息融合、數(shù)據(jù)挖掘、主觀評(píng)判、決策分析以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域［2～5］有廣泛的應(yīng)用.Wang 研究了基于非可加測(cè)度實(shí)值Choquet 積分及其收斂定理［6］，在此基礎(chǔ)上Pedytcz 給出了Choquet 積分的平均收斂、等度可積、基本平均收斂等定義［7］，并討論了它們之間的關(guān)系. Guo 討論了集值測(cè)度的性質(zhì)［8］，Jang 等研究了集值Choquet 積分的上、下極限［9］，Zhang 等指出并修正了上述文獻(xiàn)中的一些錯(cuò)誤，并且證了Kuratowski 收斂定理［10］.Wang 和Li 討論了非負(fù)集值Choquet 積分的基本性質(zhì)和集值Choquet 積分序列的收斂定理［11］.Jiang 和Wang 分別研究了區(qū)間值Choquet 積分［12］和單調(diào)集值Choquet 積分［13］，Wang等研究了模糊值Choquet 積分序列的基本性質(zhì)［14，15］，并討論了一致收斂、平均收斂、積分有界之間的關(guān)系，進(jìn)一步豐富了Choquet 積分.然而區(qū)間值函數(shù)的關(guān)于非加測(cè)度的Choquet 積分尚未見(jiàn)到討論.本文利用區(qū)間值函數(shù)和實(shí)值非可加測(cè)度的Choquet 積分，定義和討論了區(qū)間值函數(shù)關(guān)于非可加測(cè)度的Choquet 積分，并給出了轉(zhuǎn)換定理，討論了單調(diào)區(qū)間值函數(shù)的收斂定理.最后，討論了區(qū)間值Choquet 積分定義的集函數(shù)性質(zhì)，結(jié)果表明，上下連續(xù)性、超可加、零可加、次可加、模糊可乘性等性質(zhì)在其不定積分中均可遺傳到其原函數(shù)中.

1 定義及說(shuō)明

2 區(qū)間值Choquet 積分及其性質(zhì)

引理1 設(shè)(X，A，μ)是非可加測(cè)度空間，若f(x)，g(x)是非負(fù)可測(cè)的實(shí)值函數(shù)，則

(1)(c)∫max{f(x)，g(x)}dμ ≥max{(c)∫f(x)dμ，(c)∫g(x)dμ};

(2)(c)∫min{f(x)，g(x)}dμ ≤min{(c)∫f(x)dμ，(c)∫g(x)dμ}.

證明 只證(1)式.若(c)∫fdμ = + ∞或(c)∫gdμ = + ∞時(shí)(不妨設(shè)(c)∫fdμ = + ∞)，易知max{(c)∫f(x)dμ，(c)∫g(x)dμ}= + ∞;因?yàn)閙ax{f(x)，g(x)}≥f(x)，由Choquet 積分的單調(diào)性知:(c)∫max{f(x)，g(x)}dμ ≥(c)∫f(x)dμ，結(jié)論得證.

若f(x)和g(x)都Choquet 可積的，即(c)∫fdμ ＜+∞且(c)∫gdμ ＜+∞，因?yàn)閙ax{f(x)，g(x)}≥f(x)，所以(c)∫max{f(x)，g(x)}dμ ≥(c)∫f(x)dμ，同理可得(c)∫max{f(x)，g(x)}dμ ≥(c)∫g(x)dμ，結(jié)論得證.

定理2 令F，G ∈U［X，I(R+)］，若F，G 是c 可積的，則

(1)(c)∫(F ∨G)dμ ≥(c)∫Fdμ ∨(c)∫Gdμ;

(2)(c)∫(F ∧G)dμ ≤(c)∫Fdμ ∧(c)∫Gdμ.

證明 只證(1)式.由(F ∨G)(x)= ［F-(x)∨G-(x)，F(xiàn)+(x)∨G+(x)］，知

由定理1 知

由引理1 知

結(jié)論得證.

3 區(qū)間值Choquet 積分收斂定理

4 區(qū)間值Choquet 積分定義的集函數(shù)

注［8］:集值模糊測(cè)度是(下連續(xù)、上連續(xù)、連續(xù))區(qū)間值模糊測(cè)度，當(dāng)且僅當(dāng)π-，π+是(下連續(xù)、上連續(xù)、連續(xù))模糊測(cè)度(π-= inf π，π+= sup π).

例1 假設(shè)(X，F(xiàn))是可測(cè)空間.令F ∈U［X，I(R+)］，記π(A)= (c)∫AFdμ，由性質(zhì)1 易知π(A)是區(qū)間值模糊測(cè)度.

定理6 (1)若μ 是上連續(xù)的，則π(A)是上連續(xù)的;

(2)若μ 是下連續(xù)的，則π(A)是下連續(xù)的.

證明 只證明(2)式.設(shè)A1?A2?…?An?…，由定義3 和μ 是下連續(xù)性得

定理7

(1)若μ 是超可加的，則π(A)是超可加的;

定理8

(1)若μ 是下自連續(xù)的，則π 也是下自連續(xù)的;

(2)若μ 是上自連續(xù)的，且F 是c 可積的，則π 也是上自連續(xù)的;

(3)若μ 是一致自連續(xù)的，且F 是c 可積的，則π 也是一致自連續(xù)的.

5 結(jié)論

根據(jù)集值積分經(jīng)典定義方法，本文給出了較特殊的區(qū)間值函數(shù)關(guān)于經(jīng)典測(cè)度的Choquet 積分的定義，并證明了其積分結(jié)果也是區(qū)間值的.同時(shí)，研究了單調(diào)集值函數(shù)的收斂定理，得到了若充要條件，需要指出若集值函數(shù)取成sup F(x)，inf F(x)上述結(jié)論將退化成經(jīng)典的Choquet 積分;討論了區(qū)間值Choquet 積分定義的集函數(shù)關(guān)于的遺傳性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特性，結(jié)果表明，諸如上、下連續(xù)性、零可加、超可加、模糊可乘等性質(zhì)均可遺傳到原函數(shù)中.