范 莉 王秀麗

(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，250358，濟(jì)南)

1 引 言

考慮如下形式的變系數(shù)模型

Y=XTβ(U)+ε，

(1)

其中，Y是響應(yīng)變量，X,U為協(xié)變量，X∈RP，U∈R，β(·)=(β1(·)，…，βp(·))T為一個(gè)p維未知的參數(shù)函數(shù)向量，ε為誤差項(xiàng)且滿足：E(ε|X,U)=0，var(ε2|U,X)=σ2(U).

這里主要考慮響應(yīng)變量Y隨機(jī)缺失的情況，樣本量為n的不完全數(shù)據(jù)可以表示為(δi,Xi,Yi,Ui),i=1,…,n，其中當(dāng)Yi缺失時(shí)，δi=0,否則δi=1，且滿足

P{δi=1|Yi,Xi,Ui}=P{δi=1|Xi,Ui}=π(Xi,Ui).

(2)

變系數(shù)模型是一類應(yīng)用非常廣泛的模型，包含了常見的一些模型，如可加模型，部分線性模型，單指標(biāo)函數(shù)系數(shù)回歸模型等.它不僅避免了“維數(shù)禍根”，而且更加具有可解釋性，許多統(tǒng)計(jì)學(xué)者對(duì)該模型進(jìn)行了研究，取得了豐富的研究成果.Fan J Q等人[1]提出了兩步估計(jì)法，允許系數(shù)函數(shù)有不同的窗寬，并且證明了兩步估計(jì)要優(yōu)于一步估計(jì).盧一強(qiáng)等人[2]考慮到各個(gè)系數(shù)函數(shù)的差別，允許各個(gè)系數(shù)函數(shù)有不同的光滑參數(shù)，在系數(shù)函數(shù)為三階B樣條函數(shù)的條件下，用貝葉斯模型平均的方法來估計(jì)函數(shù)系數(shù).

但在實(shí)際問題中經(jīng)常會(huì)遇到缺失數(shù)據(jù)，分析缺失數(shù)據(jù)廣泛使用的是由Thompson P G等人[3]提出的逆概率加權(quán)方法，這個(gè)方法產(chǎn)生的估計(jì)在缺失機(jī)制假定正確的前提下是無偏的.杜海燕等人[4]考慮了協(xié)變量缺失下變系數(shù)部分非線性模型的統(tǒng)計(jì)推斷問題，基于逆概率加權(quán)利用輪廓最小二乘和經(jīng)驗(yàn)似然的方法得到參數(shù)和非參系數(shù)的估計(jì).陳盼盼等人[5]基于逆概率加權(quán)最小二乘方法研究了缺失數(shù)據(jù)下變系數(shù)部分線性模型的統(tǒng)計(jì)推斷問題.但是這種估計(jì)方法也只是用到了完全觀測(cè)的數(shù)據(jù).為了提高估計(jì)的效率，Robins J M等人[6]提出了擴(kuò)張的逆概率加權(quán)(Augmented Inverse Probability Weighting，AIPW)，通過對(duì)每一個(gè)缺失的變量借補(bǔ)一個(gè)合適的值，利用觀測(cè)到的數(shù)據(jù)和借補(bǔ)的值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，得到的估計(jì)量具有雙穩(wěn)健性.有很多學(xué)者利用它來處理缺失數(shù)據(jù)的問題[7-9].在運(yùn)用以上兩種方法構(gòu)造估計(jì)量時(shí)，通常需要先估計(jì)出選擇概率，當(dāng)選擇概率模型和回歸模型都被指定正確時(shí)，擴(kuò)張的逆概率加權(quán)就會(huì)得到很好的估計(jì)，但是當(dāng)兩者都被指定錯(cuò)誤時(shí)，擴(kuò)張的逆概率加權(quán)方法的雙穩(wěn)健性就會(huì)變差.為了解決這個(gè)問題，Kosuke I等人[10]提出了協(xié)變量平衡傾向得分(Covariate Balancing Propensity Score，CBPS)方法，這個(gè)方法通過最大化協(xié)變量平衡得到的參數(shù)值來降低潛在的選擇概率模型被錯(cuò)誤指定而導(dǎo)致的后果，所以這是一種穩(wěn)健的估計(jì)選擇概率的方法.Guo D L等人[11]基于協(xié)變量平衡傾向得分(CBPS)研究了非線性模型穩(wěn)健估計(jì)，但對(duì)于變系數(shù)模型中的穩(wěn)健估計(jì)沒有進(jìn)行研究.本文將基于協(xié)變量平衡傾向得分研究在響應(yīng)變量隨機(jī)缺失條件下的變系數(shù)模型的經(jīng)驗(yàn)似然統(tǒng)計(jì)推斷.

2 基于協(xié)變量平衡傾向得分的估計(jì)量的構(gòu)造

在(2)式中π(Xi,Ui)是未知的，通常情況下假設(shè)π(Xi,Ui)是logistic模型,則有

(3)

(4)

若π(Z，γ)關(guān)于γ是二階連續(xù)可導(dǎo)的，則(4)式等價(jià)于如下一階條件

(5)

其中π′(Zi,γ)=?π(Zi,γ)/?γT.

雖然極大似然方法簡(jiǎn)單，但是當(dāng)選擇概率錯(cuò)誤的時(shí)候，該方法得到的回歸系數(shù)估計(jì)量是有偏的.為了使參數(shù)方法更穩(wěn)健，利用文獻(xiàn)[10]提出的協(xié)變量平衡的傾向得分(CBPS)方法對(duì)選擇概率模型中的未知參數(shù)γ進(jìn)行估計(jì)，即令選擇概率π(Zi,γ)滿足協(xié)變量平衡條件

(6)

即使選擇概率模型被指定錯(cuò)誤，(6)式也能保證協(xié)變量的一階矩平衡，由(6)式可得協(xié)變量平衡條件的樣本形式為

(7)

若只考慮(5)式，此時(shí)參數(shù)的個(gè)數(shù)和方程的個(gè)數(shù)相等即為恰好識(shí)別,這種情況下利用矩方法的思想可以得到未知參數(shù)的矩估計(jì).在這里只考慮過識(shí)別的情形，聯(lián)合(5)式及(7)式可得

(8)

(9)

為了方便介紹，引入以下的記號(hào)和假設(shè)條件.

C1 對(duì)所有Zi，π(Zi,γ)在γ0附近都是一個(gè)已知可微的函數(shù)；

C2E(Zi)、E[W(δi,Zi,γ)]存在且矩陣E(ZiZiT)滿秩；

C3 1)WE[U(δi,Zi,γ)]=0當(dāng)且僅當(dāng)γ=γ0，γ0∈Θ為緊集；

2)E(‖π′(Z，γ0)‖2)<且E(‖Zi‖2)<；

C4U有有界支撐Ω，且U的密度函數(shù)f(u)>0，f(u)為L(zhǎng)ipschitz連續(xù)；

C6 核函數(shù)K(·)為有界支撐的對(duì)稱概率密度函數(shù)；

C7 {β(U)，i=1,2,…,p}在所有的U∈Ω有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)；

C8 存在r>0，使得E|X|2+r<,E|ε|2+r<；

C9 窗寬h滿足當(dāng)n→，h→0時(shí),nh5→0,nh→；

由參考文獻(xiàn)[13]，可以得到下述的定理1.

定理1[13]假設(shè)Zi，i=1,2,…,n是一組獨(dú)立同分布的隨機(jī)向量，滿足條件C1-C3,γ0為γ的真值，則有

推論1[13]如果π(Zi,γ)是連續(xù)的，γ0為γ的真值，在條件C1-C3下，有

2.2回歸系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)似然由Zhou X S等人[14]的研究結(jié)果可知，系數(shù)函數(shù)向量β(u)=(β1(u),β2(u),…,βp(u))T在u0處的局部線性估計(jì)可表示為

其中，IP和0p分別表示p階單位矩陣和p階零矩陣，

Y=(Y1,Y2,…,Yn)T，X=(X1，X2，…，Xn)T，ε=(ε1，…，εn)T，

W(u0)=Diag(Kh(U1-u0)δ1,Kh(U2-u0)δ2,…,Kh(Un-u0)δn)，

(10)

構(gòu)造輔助隨機(jī)向量

(11)

(12)

利用Lagrange乘子法選擇最優(yōu)pi，可得

(13)

其中λ為拉格朗日乘數(shù)且為下述方程的解

(14)

定理2如果假設(shè)條件C1-C10成立，則當(dāng)β(u)為真值時(shí)，有

其中χp2表示自由度為p的卡方分布.

基于定理2可以定義β(u)的近似置信水平為1-α的置信區(qū)間為

Iα(β(u))={β(u)|l(β(u))≤χp2(1-α)}.

3 定理的證明

下面給出定理2的證明，首先給出如下的引理1.

引理1若假設(shè)條件C4-C10成立，則有

其中

證經(jīng)計(jì)算有

類似于文獻(xiàn)[11]中定理2，可證

下面給出定理2的證明.

證由引理1的證明簡(jiǎn)單計(jì)算可得

(15)

由引理1的證明及文獻(xiàn)[15]中引理1的證明可得

(16)

類似于文獻(xiàn)[16]中的定理2的證明可知

λ=OP((n/h)-1/2).

(17)

由(15)式和(16)式，將(13)式進(jìn)行Taylor展開易得

(18)

又由(14)式，結(jié)合(15)-(17)式，可得

(19)

(20)

再根據(jù)(18)-(20)式,計(jì)算可知

結(jié)合引理1，定理2得證.