彭元媛 范進(jìn)軍

(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，250358，濟(jì)南)

1 引 言

有阻尼受迫振動、無阻尼受迫振動、有阻尼自由振動、理想狀態(tài)下自由振動四種情況下的彈簧振子振動系統(tǒng)都可以用一類二階微分方程進(jìn)行刻畫和描述[1-4].本文對這一類二階微分方程的四種情況進(jìn)行分析，考慮從定性角度應(yīng)用奇點類型判斷零解穩(wěn)定性，從定量角度探討解決周期解存在的條件.鑒于理論判斷的抽象性，結(jié)合MATLAB強(qiáng)大的繪圖功能[5-8]，利用MATLAB繪制系統(tǒng)的軌線圖，從直觀上判斷微分方程解的穩(wěn)定性.

2 預(yù)備知識

為了對彈簧振子振動系統(tǒng)進(jìn)行定性、定量分析并利用MATLAB軟件進(jìn)行相關(guān)問題的數(shù)值模擬，給出如下定義和引理.

定義1[1]對于平面自治系統(tǒng)

使X(x0,y0)=Y(x0,y2)=0的點(x0,y0)，稱為平面自治系統(tǒng)的奇點.

引理1[1]給定二維常系數(shù)線性自治系統(tǒng)

令p=-(a+d)=-π(A),q=ad-bc=det(A).當(dāng)p>0,q>0時，若p2-4q>0，則奇點(0,0)是穩(wěn)定的結(jié)點；若p2-4q<0，則奇點(0,0)是穩(wěn)定的焦點；若p2-4q=0，則奇點(0,0)是穩(wěn)定的臨界結(jié)點或退化結(jié)點；當(dāng)p=0,q>0時，奇點(0,0)是中心.

3 定性與定量分析

二階微分方程(m≠0)

(1)

可以用于刻畫彈簧振子振動系統(tǒng)，其中m,k分別表示彈簧的質(zhì)量和彈簧的彈性系數(shù)，r為阻尼系數(shù)，lcosnt為所受強(qiáng)迫力.這一振動系統(tǒng)，共有如下四種情況：

i)當(dāng)r≠0,l≠0時，方程(1)為有阻尼受迫振動方程；

ii)當(dāng)r=0,l≠0時，方程(1)為無阻尼受迫振動方程；

iii)當(dāng)r≠0,l=0時，方程(1)為有阻尼振動方程；

iv)當(dāng)r=0,l=0時，方程(1)為自由振動方程.

下面主要研究二階微分方程(1)的解及其解的穩(wěn)定性.

3.1一般步驟

1)定性分析：由奇點理論分析對應(yīng)齊次系統(tǒng)的奇點類型，進(jìn)而判斷系統(tǒng)的零解是否穩(wěn)定.

2)定量分析：通過求出微分方程的通解，分析周期解存在的條件.

3)MATLAB數(shù)值模擬：選取適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)參數(shù)和初值，利用MATLAB繪制出系統(tǒng)特定解附近的軌線圖及線素場，進(jìn)而直觀分析系統(tǒng)解的穩(wěn)定性.

3.2定性分析通常利用李雅普諾夫第二方法來判斷系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性，但構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)比較困難.這里給出用奇點理論，通過判斷奇點類型，進(jìn)而判斷系統(tǒng)零解穩(wěn)定性的方法.

當(dāng)l=0時，方程(1)為齊次線性方程

(2)

(3)

自治系統(tǒng)(3)對應(yīng)的系數(shù)矩陣為

應(yīng)用引理1知，若r2-4mk>0，則(0，0)為方程組(3)的穩(wěn)定結(jié)點；若r2-4mk<0，則(0，0)為方程組(3)的穩(wěn)定焦點；若r2-4mk=0，則(0，0)為方程組(3)的穩(wěn)定的臨界結(jié)點或退化結(jié)點；當(dāng)r=0時，(0,0)為方程組(3)的中心.

因為方程組(3)的奇點(0,0)對應(yīng)齊次方程(2)的零解，若方程組(3)的奇點是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)(2)的零解是穩(wěn)定的.所以當(dāng)l=0時，方程(1)的零解是穩(wěn)定的.

3.3定量分析對于二階微分方程(1)，可以利用特征根法和常數(shù)變易法(或待定系數(shù)法)，先求其通解，進(jìn)而分析系統(tǒng)周期解存在的解析條件.

3.3.1 通 解 考慮系統(tǒng)(1)對應(yīng)的齊次線性方程(2)，其特征方程為

mλ2+rλ+k=0,

特征根為

下面，分三種情況討論方程(1)的通解.

1)Δ=r2-4mk>0.此時λ1和λ2為實根，且λ2<λ1<0，方程(2)的一個基本解組為x1=eλ1t,x2=eλ2t.

易知方程(1)滿足初始條件x(0)=0,x′(0)=0的解為

從而系統(tǒng)的通解為

其中C1,C2為任意常數(shù).

易知方程(1)滿足初始條件x(0)=0,x′(0)=0的解為

其中C1,C2為任意常數(shù).

易知方程(1)滿足初始條件x(0)=0,x′(0)=0的解為

其中C1,C2為任意常數(shù).

綜上，有阻尼受迫振動(r≠0,l≠0)，即情況i)時方程(1)的通解為

其中C1,C2為任意常數(shù).

同理可得：無阻尼受迫振動(r=0,l≠0),即情況ii)時方程(1)的通解為

有阻尼振動(當(dāng)r≠0,l=0)，即情況iii)時方程(1)的通解為

自由振動(r=0,l=0)，即情況iv)時方程(1)的通解為

1998年之后，谷祺教授還帶領(lǐng)一批博士生，深入研究財務(wù)危機(jī)企業(yè)投資行為分析與對策、EVA財務(wù)管理系統(tǒng)及其中國化、公司股價與剩余收益模型、公司治理與公司財務(wù)行為、新型兩權(quán)分離與公司價值、會計信息復(fù)雜性與財務(wù)估價等財務(wù)領(lǐng)域的前沿問題，并在《會計研究》等期刊發(fā)表了一系列學(xué)術(shù)論文。這些論文不僅豐富了財務(wù)管理學(xué)術(shù)研究的視野，而且將委托代理理論、信息不對稱理論、公司治理理論以及經(jīng)濟(jì)利潤、估值模型等新的理論和概念引入財務(wù)管理領(lǐng)域，在研究視角、理論框架、研究方法等方面都做出了積極的嘗試和探索。

x=C1cosωt+C2sinωt，即x=C1′cos(ωt+C2′),

1)Δ=r2-4mk>0.方程(2)的一個基本解組為x1=eλ1t，x2=eλ2t.這兩個函數(shù)都不是周期函數(shù)，此時方程(2)和方程(1)都沒有周期解.

其中C1,C2為任意常數(shù).

4 數(shù)值模擬

借助MATLAB繪制出平面自治系統(tǒng)在相平面上的軌線圖及線素場，直觀分析方程(1)解的穩(wěn)定性.

4.1有阻尼受迫振動(r≠0,l≠0)的數(shù)值模擬對情況i)分以下幾種情況進(jìn)行數(shù)值模擬.

1)Δ=r2-4mk>0.取r=3,k=m=l=n=1，初始值(x,v)為(0,0)，(0.05,0.05),(0.1,0.1),(0.2,0.2),(0.3,0.3),軌線圖如圖1所示，其中經(jīng)過原點(0,0)的軌線用紅色標(biāo)出.

由圖1可知，軌線由初始點起，快速靠近過(0,0)的解曲線，根據(jù)解穩(wěn)定性定義，此時方程(1)滿足初始條件x(0)=0,x′(0)=0的解是穩(wěn)定的.

圖1 Δ>0時的軌線圖

2)Δ=r2-4mk<0.取k=10,r=m=l=n=1，初始值(x,v)為(0,0),(0.02,0.02),(0.05,0.05),(0.1,0.1),(0.2,0.2)，軌線圖如圖2所示，其中經(jīng)過原點(0,0)的軌線用紅色標(biāo)出.

圖2 Δ<0時的軌線圖

由圖2可知，軌線由初始點起，呈螺旋狀趨向于過(0,0)的解曲線，根據(jù)解穩(wěn)定性定義，此時方程(1)滿足初始條件x(0)=0,x′(0)=0的解是穩(wěn)定的.

3)Δ=r2-4mk=0.取r=2,k=m=l=n=1，初始值(x,v)為(0,0),(0.05,0.05),(0.1,0.1),(0.2,0.2),(0.3,0.3)，軌線圖如圖3所示，其中經(jīng)過原點(0,0)的軌線用紅色標(biāo)出.同理，根據(jù)解穩(wěn)定性定義，此時方程(1)滿足初始條件x(0)=0,x′(0)=0的解是穩(wěn)定的.

圖3 Δ=0時的軌線圖

4.2無阻尼受迫振動(r=0,l≠0)的數(shù)值模擬對情況ii)分以下幾種情況進(jìn)行數(shù)值模擬.

由圖4可知，隨著初始點與(0,0)的距離縮短，軌線向過(0,0)的解曲線靠近.根據(jù)解穩(wěn)定性定義，此時方程(1)滿足初始條件x(0)=0,x′(0)=0的解是穩(wěn)定的.

圖時的軌線圖

由圖5可知，隨著初始點與(0,0)的距離縮短，軌線呈螺旋狀向過(0,0)的解曲線靠近.根據(jù)解穩(wěn)定性定義，此時方程(1)滿足初始條件x(0)=0,x′(0)=0的解是穩(wěn)定的.

圖時的軌線圖

4.3有阻尼振動(r≠0,l=0)的數(shù)值模擬對情況iii)分以下幾種情況進(jìn)行數(shù)值模擬.

1)Δ=r2-4mk>0.取m=1,k=1,r=3，初始值x,v分別取x=-0.4∶0.01∶0.4；v=-0.4∶0.01∶0.4, 線素場如圖6所示、軌線圖如圖7所示.

根據(jù)圖6和圖7，并結(jié)合解穩(wěn)定性定義，此時方程(1)的零解是穩(wěn)定的.

圖6 Δ>0時，(0，0)附近的線素場

圖7 Δ>0時，(0，0)附近的軌線圖

2)Δ=r2-4mk<0.取m=1,k=10,r=1，初始值x,v分別取x=-0.4∶0.01∶0.4；v=-0.4∶0.01∶0.4, 線素場如圖8所示、軌線圖如圖9所示.

根據(jù)圖8和圖9以及解穩(wěn)定性定義，此時方程(1)的零解是穩(wěn)定的.

圖8 Δ<0時，(0，0)附近的線素場

圖9 Δ<0時，(0，0)附近的軌線圖

3)Δ=r2-4mk=0.取m=1,k=1,r=2，初始值x,v分別取x=-0.4∶0.01∶0.4；v=-0.4∶0.01∶0.4, 線素場如圖10所示、軌線圖如圖11所示.

基于圖10和圖11以及解穩(wěn)定性定義，此時方程(1)的零解是穩(wěn)定的.

圖10 Δ=0時，(0，0)附近的線素場

圖11 Δ=0時，(0，0)附近的軌線圖

4.4自由振動(r=0,l=0)的數(shù)值模擬對情況iv)進(jìn)行數(shù)值模擬.

取k=m=1,初始值x,v分別取x=-0.4∶0.01∶0.4；v=-0.4∶0.01∶0.4, 線素場如圖12所示、軌線圖如圖13所示.

由圖13可知，方程(1)的零解是穩(wěn)定的.另外，線素場圖12也可驗證這一點.

圖12 自由振動方程(0，0)附近的線素場

圖13 自由振動方程(0，0)附近的軌線圖