王成偉 張卷美

1. 北京服裝學(xué)院，北京市 100029

2. 北京電子科技學(xué)院，北京市 100070

三次Bézier 曲線廣泛地應(yīng)用在曲線自由設(shè)計(jì)中，但三次Bézier 曲線不能表示二次曲線并且控制點(diǎn)固定時(shí)形狀不易改變，為此，很多研究者利用形狀參數(shù)來構(gòu)造Bézier 擴(kuò)展曲線[1-10]。 文獻(xiàn)[1]通過增加t 的次數(shù)，得到了4 個(gè)帶有一個(gè)參數(shù)的基函數(shù)，擴(kuò)展了三次Bézier 曲線。 文獻(xiàn)[2-4]分別研究了含有一個(gè)形狀參數(shù)由二次三角多項(xiàng)式組成的基函數(shù)，這樣構(gòu)成的曲線的端點(diǎn)特性與三次Bézier 類似。 文獻(xiàn)[5-6]分別討論了二次和三次三角擬Bézier 曲線，它們都含有兩個(gè)形狀參數(shù)，但基函數(shù)和曲線一般不具有對稱性，只具有擬對稱性。 文獻(xiàn)[7]針對一類帶有雙參數(shù)三次Bézier 擴(kuò)展曲線，研究其形狀參數(shù)如何改變曲線的形狀的。 文獻(xiàn)[8-9]分別研究了三次Bézier 曲線的擴(kuò)展，雖然曲線中含有三個(gè)形狀參數(shù)，但是所構(gòu)造的基函數(shù)和曲線一般不具有對稱性。

本文討論了三次Bézier 新的擴(kuò)展曲線，三個(gè)形狀參數(shù)λ、α 和β 含在擴(kuò)展曲線中，拓廣了三次Bézier 曲線的，它克服了文獻(xiàn)[8-9]中基函數(shù)和曲線不對稱的缺點(diǎn)，且更具有一般性。 當(dāng)λ=1 時(shí)，就是文獻(xiàn)[1]中討論的曲線；λ=0 時(shí)，就是文獻(xiàn)[2]中討論的曲線；當(dāng)λ=1，α=0 時(shí)，就是三次Bézier 曲線。 實(shí)例表明，本文所構(gòu)造的曲線，可以精確表示一些二次曲線且形狀是可調(diào)的，對曲線造型是有益的。

1 λαβ -TC-Bézier 基函數(shù)的構(gòu)造及性質(zhì)

定義1 對t ∈[- 1，1]，令

其中，參數(shù)λ ∈[0，1]、α ∈[- 3，1]、β ∈[- 1，1]。

稱(1)式為λαβ-TC-Bézier 基函數(shù)。

三參數(shù)λ、α 和β 取不同值時(shí)，基函數(shù)所繪的圖形見圖1。

式(1)所表示的基函數(shù)擁有性質(zhì)如下:

性質(zhì)1 非負(fù)性及權(quán)性

性質(zhì)2 對稱性

對任意的t ∈[0，1]，總有bi(t) = b3-i(1 -t)，i = 0，1，2，3。

性質(zhì)3 端點(diǎn)性質(zhì)

性質(zhì)4 退化性

當(dāng)λ=1 時(shí)，式(1)就退化為文獻(xiàn)[1]中討論的基函數(shù)；λ=0 時(shí)，式(1)就退化為文獻(xiàn)[2]中討論的基函數(shù)；當(dāng)λ=1，α=0 時(shí)，式(1)就退化為三次Bézier 的基函數(shù)。

性質(zhì)4 說明了三次Bézier 基函數(shù)是λαβ-TC-Bézier 基函數(shù)的特例。

圖1 λαβ-TC-Bézier 基函數(shù)所繪制的圖形

2 λαβ-TC-Bézier 曲線的構(gòu)造及性質(zhì)

定義2 給定控制點(diǎn)Pi∈Rd，d=2，3，i=0，1，2，3，對λ ∈[0，1]、α ∈[ - 3，1] 和β ∈[- 2，1]，構(gòu)造曲線

把(2)式叫做λαβ -TC-Bézier 曲線。

顯然， λαβ -TC-Bézier 曲線，當(dāng)λ=1 時(shí)，就退化為文獻(xiàn)[1]中討論的曲線；λ=0 時(shí)，就退化為文獻(xiàn)[2]中討論的曲線；當(dāng)λ=1，α=0 時(shí)，就退化為三次Bézier 曲線。

圖2 表示3 條λαβ -TC-Bézier 曲線，由于三參數(shù)取值不同，曲線位置也不同，從下到上(λ，α，β) 分別取(1，-1，0)， (1，0，0)， (0，0，1)。

圖2 3 條λαβ -TC-Bézier 曲線

由性質(zhì)1-4，我們可以推導(dǎo)出λαβ -TCBézier 曲線如下的性質(zhì):

性質(zhì)5 凸包性

由性質(zhì)1 可得到這條性質(zhì)。

性質(zhì)6 對稱性

由控制點(diǎn)P0P1P2P3和P3P2P1P0構(gòu)成的λαβ -TC-Bézier 曲 線 的 是 一 樣 的，但 是 方 向相反。

根據(jù)性質(zhì)2，有:

性質(zhì)7 端點(diǎn)性質(zhì)

B(0)= P0，B(1)= P3；

3 形狀參數(shù)對曲線的形狀的影響

(1) 固定兩個(gè)參數(shù)α，β， 當(dāng)另一個(gè)參數(shù)λ變動時(shí)，曲線位置和形狀就發(fā)生變化，見圖3(a)和圖3(b)。 圖3(a)中，固定α=-3，β=0.5，曲線由上到下分別取λ=0.1，0.5， 0.9 的情況。此時(shí)，λ 取值越小，曲線越逼近其控制多邊形。圖3(b)中，固定α =- 1，β =- 0.5，曲線由下到上分別取λ=0.1，0.5， 0.9 的情況。 此時(shí)，此時(shí)，此時(shí)，λ 取值越小，曲線越遠(yuǎn)離控制多邊形。

(2) 固定參數(shù)λ，β，當(dāng)α 變動時(shí)，生成的曲線也發(fā)生變化，見圖3(c)。 圖3(c)中固定λ =0.4，β = 0.6， 曲線從下往上分別取α=-3，-1.5，-0.2， 1 的情況。 從圖3(c)可知，當(dāng)λ，β值不變，α 越大曲線與控制多邊形越接近。

(3) 固定一個(gè)參數(shù)λ，α， 當(dāng)另一個(gè)參數(shù)β變動時(shí)，如圖3(d)所示，所生成的曲線位置有所變化。 圖3(d)中固定λ = 0.5，α = 0.6，曲線從下往上分別取β=-1，0， 1 的情況。 從圖3(d)可知，當(dāng)λ，α 值不變，β 越大曲線與控制多邊形越接近。

4 兩條曲線的拼接

為了下面定理的敘述和證明方便需要，記:

圖3 形狀參數(shù)對曲線的影響情形

定理1 若

圖4 λαβ -TC-Bézier 曲線的C1 連續(xù)光滑拼接

5 曲線應(yīng)用實(shí)例

5.1 曲線表示橢圓

當(dāng)λ =α =β =0 時(shí)，λαβ -TC-Bézier 曲線能夠表示橢圓。 若取4 個(gè)控制頂點(diǎn)P0(0，1)，P1(2，1)，P2(2，1)，P3(2，0) 時(shí)， λαβ -TC-Bézier曲線的坐標(biāo)表達(dá)式為

就可以得到橢圓方程

圖5 λαβ -TC-Bézier 曲線表示的橢圓弧

5.2 曲線表示圓

當(dāng)λ =α =β =0 時(shí)，λαβ -TC-Bézier 曲線能夠表示圓。 若取4 個(gè)控制頂點(diǎn)P0(0，2)，P1(2，2)，P2(2，2)，P3(2，0) 時(shí)， λαβ -TC-Bézier 曲線的坐標(biāo)表達(dá)式為

就可以得到圓方程

x2+ y2= 4

如圖6 所示，圖6 中，實(shí)線部分是由控制頂點(diǎn)P0(0，2)，P1(2，2)，P2(2，2)，P3(2，0) 表示的圓弧，虛線是由方程x2+ y2= 4 表示的圓。

5.3 曲線表示拋物線

當(dāng)λ =α =β =0 時(shí)，λαβ -TC-Bézier 曲線能夠表示拋物線。 若取4 個(gè)控制頂點(diǎn)P0(0，0)，P1(2，0)，P2(2，1)，λαβ 時(shí)， λαβ -TC-Bézier 曲線的坐標(biāo)表達(dá)式為

圖6 λαβ -TC-Bézier 曲線表示的圓弧

就可以得到橢圓方程

圖7 λαβ -TC-Bézier 曲線表示的拋物線弧

5.4 曲線表示袖山弧線

圖8 λαβ -TC-Bézier 曲線表示袖山弧線

6 結(jié)束語

本文構(gòu)造的λαβ -TC-Bézier 曲線含有3 個(gè)形狀參數(shù)，通過調(diào)控3 個(gè)參數(shù)，進(jìn)行曲線設(shè)計(jì)。本文所構(gòu)造曲線具有一定的廣泛性，當(dāng)λ=1 時(shí)，就是文獻(xiàn)[1]中討論的曲線；λ=0 時(shí)，就是文獻(xiàn)[2]中討論的曲線；當(dāng)λ=1，α=0 時(shí)，就是三次Bézier 曲線。 所構(gòu)造的曲線可以表示橢圓、圓、拋物線等二次曲線，克服了三次Bézier 曲線不能表示二次曲線和形狀不能修改的缺點(diǎn)。 實(shí)例表明，本文構(gòu)造的曲線應(yīng)用前景非常廣泛。