龐振華，劉 放，唐 語，吳 濤

（西南交通大學 機械工程學院，成都 610031）

0 引言

目前，大部分港口、工廠、車間都在向自動化方向發(fā)展，在未來工業(yè)自動化也將是主要的發(fā)展方向。要發(fā)展自動化，起重機起到了至關重要的作用，然而起重機的搖擺仍然是目前需要解決的主要問題之一。抑制起重機的搖擺能有效的提高其工作效率，能更好的促進工業(yè)自動化的進程；并且抑制起重機的擺動保證工業(yè)系統(tǒng)的安全運行。

國內(nèi)外有許多學者對此進行了研究并且取得了相應的成果[1]。目前的防搖措施主要有機械防搖和電子防搖。在機械防搖上，吳俊杰，吉陽，等采用吊盤式機械防搖方案[2]；Ho-Hoon Lee采用在運動過程中改變繩長[3]，研究結果表明，上述防搖方式能有效的抑制吊重的擺動。在電子防搖方式上，張圓圓，何永玲等采用模糊控制算法[4]，通過模糊控制規(guī)則進行控制；梁成，劉放，等采用PD控制[5]；趙華洋，李理，等采用神經(jīng)元控制的方法對起重機進行防擺研究[6]，Aydin Yesildirek采用基于切換Lyapunov函數(shù)的非線性控制器[7]。LEAT，MOON S C等采用自適應滑膜控制對不同長度的纜線造成的穩(wěn)定性進行了研究[8]，周奇才，王璐，等研究彈性起重機防搖[9]。

為了改善起重機在運動過程中的搖擺問題，本文提出了一種速度、擺角的雙PI控制方法。通過仿真軟件計算出無防搖控制下，起重機的自由擺動。最后分析了兩種啟動方案對所提出的控制方法的影響。

1 建立起重機動力學模型

1.1 建立抽象模型

將起重機實際模型進行抽象處理（如圖1所示），在笛卡爾坐標系中，小車與重物連在一起，小車受驅(qū)動力可在橫梁上自由運動，重物在小車運動情況下進行自由擺動。該系統(tǒng)可通過兩個廣義坐標變量來描述，小車相對于原點O的距離為x，重物擺動角度與中心線夾角為θ。

在本次研究中忽略鋼絲繩與小車之間的阻尼；忽略鋼絲繩的質(zhì)量。

圖1 起重機抽象模型

1.2 建立動力學方程

小車在驅(qū)動力F的作用下移動，重物隨之進行自由擺動，小車與橫梁之間的阻尼系數(shù)為c。利用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的動力學方程[10]：

其中L是拉格朗日函數(shù)，由于該系統(tǒng)為2自由度模型，故qi（i=1，2）是兩個廣義坐標變量。q1代表的是小車的位移x，q2代表重物擺動角度θ。Ti代表系統(tǒng)外力，若系統(tǒng)僅有保守力做功，則Ti為0。L可以描述為：

其中K是整個系統(tǒng)的動能，P代表系統(tǒng)的勢能。

系統(tǒng)的動能有兩部分組成，第一部分為小車的動能，第二部分為重物的動能。小車的速度為沿橫梁移動的速度，重物的絕對速度為重物隨小車的牽連速度ve和重物繞小車中心轉(zhuǎn)動的相對速度vr的合速度，如圖2所示。

通過幾何關系可得：

其中v1為小車的絕對速度，v2為重物的絕對速度；重物的牽連速度ve=v1；相對速度

系統(tǒng)動能K：

系統(tǒng)勢能P：

拉格朗日函數(shù)L：

圖2 速度合成圖

將式(6)代入拉格朗日方程得：

上式中：m1為小車質(zhì)量；m2為重物質(zhì)量；c為小車與橫梁之間的阻尼系數(shù)，x為小車的位移，F(xiàn)為小車所受的驅(qū)動力；l為鋼絲繩的長度；θ為重物的角位移。

將上述數(shù)學模型寫成矩陣形式：

2 控制算法

PID控制器是一種線性控制器，它根據(jù)給定值ri與實際值輸出值yo構成控制偏差：

PID控制規(guī)律為：

式(11)可以寫為：

式中：ki=kp/Ti為積分增益；kd=kpTd為微分增益。

本文研究兩種小車啟動方式對起重機控制系統(tǒng)的影響。兩種啟動方式采用相同的控制原理，不同點在于施加驅(qū)動力的方式。第一種方式是先施加恒定的驅(qū)動力，達到一定的速度之后再采用控制算法降低重物的擺動角度；第二種方式是直接采用控制算法控制小車達到設定速度并降低重物擺動角度。

圖3 控制框圖

該起重機控制系統(tǒng)采用的控制方法如圖3所示，采用兩個控制器控制，其中速度控制器將小車運動速度穩(wěn)定在參考值附近；角度控制器將重物的角位移控制在極小的范圍內(nèi)。

3 模型仿真與數(shù)據(jù)分析

選取適當參數(shù)代入上述動力學方程，各參數(shù)選取結果如表1所示。Simulink和MATLAB優(yōu)化工具箱用作仿真平臺。

表1 仿真參數(shù)

3.1 無控制下重物擺角變化

下圖為小車在無阻尼情況下施加恒定驅(qū)動力，加速一段時間后取消外力時重物擺角的變化（如圖4所示）。圖中的3條曲線代表小車運動時重物擺動情況，每條曲線所代表的小車的加速時間不同。

曲線1代表小車在10N的驅(qū)動力下加速1s得到的重物擺動曲線。在t=0.5s的時刻，重物擺角出現(xiàn)最大值，擺角大小約為0.225rad，最大振幅僅出現(xiàn)一次。在加速1s之后，小車保持直線運動，上下振幅有所減小，振幅約為0.103rad。由于鋼絲繩與小車之間的連接沒有阻尼存在，因此在小車直線運動階段重物進行等幅振蕩。

圖4 重物自由擺動

曲線2代表小車在相同驅(qū)動力下加速2s，重物自由擺動的曲線。在小車加速過程中，重物出現(xiàn)了兩次的最大振幅，振幅大小與曲線1中的最大振幅接近。在2s之后，小車保持直線運動，重物在小車運動過程中進行等幅振蕩，振幅大約為0.185rad。

曲線3代表的是小車加速3s，重物在鋼絲繩的牽引下自由擺動曲線。小車在加速過程中，重物在-0.25～0rad之間擺動，其中最大擺角為-0.223（rad）。加速過程結束后，小車保持直線運動，同時重物開始進行等幅振蕩，振幅為0.215rad。

綜合3條曲線分析，小車在加速過程，重物擺動的振幅大小基本相同，同時也是運動過程中的最大振幅，并且重物僅在θ<0的范圍內(nèi)擺動。當加速過程結束，小車保持直線運動，由于重物的存在，小車速度在一定范圍內(nèi)振蕩。加速1s，小車速度約在1.1m/s附近上下振蕩；加速2s，小車速度約在2.3m/s附近上下振蕩；加速3s，小車速度約在3.4m/s附近上下振蕩。

重物在無外部激勵下保持等幅振蕩，但是3次仿真結果的振幅大小不相同。通過圖4可知，勻速情況下振幅大小與加速時間相關，小車加速結束時刻重物所在的位置影響重物后續(xù)擺動的振幅，但是3種情況下擺動周期相差不大。

3.2 無驅(qū)動力情況下，小車和重物加速度和擺角變化

當小車在原點時，直接給控制器輸入控制信號，控制小車和重物運動。本次研究3種參考速度下小車的運動情況和重物擺動規(guī)律。

圖5表示的是控制器設定的參考速度分別為1.1m/s，2.3m/s，3.4m/s的情況下，重物擺角隨時間的變化。曲線1代表控制系統(tǒng)中的參考速度為1.1m/s時，重物擺動情況；曲線2代表參考速度為2.3m/s時，重物擺動情況；曲線2代表參考速度為3.4m/s時，重物擺動情況。

參考速度為1.1m/s的情況下，小車的加速時間大約為5s，在此段時間內(nèi)，重物產(chǎn)生不規(guī)則振動，擺角的最大值約為0.13rad，出現(xiàn)最大擺角的時刻約為0.5s。在小車的加速過程中，重物振動的振幅逐漸衰減，大約6s之后，振幅衰減到0rad，小車以1.1m/s的速度做勻速直線運動。

圖5 重物擺角變化

曲線2和曲線3分別表示參考速度為2.3m/s和3.4m/s時，重物擺動的規(guī)律。曲線2的最大擺角出現(xiàn)在0.58s，最大擺角為0.30rad；曲線3的最大擺角出現(xiàn)在0.64s，最大擺角為0.45rad。這兩次控制時間與第一種情況相似，重物擺角都在大約6s之后穩(wěn)定到0rad，并且重物的振動都在逐漸衰減。雖然3種情況下最大擺角相差較大，但是都能在1s之后快速衰減到可接受的范圍內(nèi)。

當參考速度為2.3m/s和3.4m/s時，控制系統(tǒng)為了使小車快速到達設定速度，系統(tǒng)會在剛開始的時候給小車一個較大的驅(qū)動力從而產(chǎn)生很大的加速度（如圖6所示）。當參考速度為2.3m/s時，最大加速度為7.7m/s2；參考速度為3.4m/s時，最大加速度為11.3m/s2。因此系統(tǒng)會產(chǎn)生較大的沖擊。

3.3 施加驅(qū)動力后，小車和重物加速度和擺角變化

小車在啟動過程中先采用恒定驅(qū)動力啟動，當加速到一定速度之后再采用PID控制算法將小車速度控制在預期值，并抑制重物的擺動。圖7展示了上述情況下重物擺動角度的變化。

圖6 小車加速度變化

圖7 重物擺角變化

如圖7所示，曲線1為施加1s恒定驅(qū)動力的重物擺動曲線；曲線2為施加2s恒定驅(qū)動力的重物擺動曲線；曲線3為施加2s恒定驅(qū)動力的重物擺動曲線。3條曲線大約在0.47s出現(xiàn)最大值，最大擺角為0.22rad，而且3種情況下最大值相同，這是因為前1s內(nèi)小車在恒定驅(qū)動力下運動。從圖7可以看出，在恒定驅(qū)動力結束之后，控制系統(tǒng)能迅速的將重物擺動的角度抑制在極小的范圍內(nèi)，控制期間的最大擺動角度約為0.04rad。由于加速時間不同，抑制重物擺動的時間略有差別。曲線1停擺時間約為6s；曲線2停擺時間約為7s；曲線3停擺時間約為8s.若不考慮恒定驅(qū)動力的加速時間，重物停擺時間相差不大。

如圖8所示，小車在3種情況下小車在0時刻的加速度最大，加速度最大值約為3.3m/s2，之后小車加速度的峰值越來越小。小車的最大加速度是由恒定驅(qū)動力產(chǎn)生的，在控制階段，小車的加速度明顯降低，并且快速穩(wěn)定到0m/s2。

圖8 小車加速度變化

4 結語

根據(jù)仿真數(shù)據(jù)可以看出，本文提出的控制算法在兩種情況下啟動都能很好地控制小車的行駛速度，同時能有效的抑制重物的擺動。

小車勻速運行速度較低時，完全由控制器控制小車的啟動，能有效的降低重物的最大擺角，并且系統(tǒng)能快速到達穩(wěn)定狀態(tài)。

小車勻速行駛的速度較高時，完全由控制器控制小車的啟動會顯著增加重物的最大擺角，并且小車會受到較大的柔性沖擊。先施加恒定驅(qū)動力后在采用控制器能有效的減小重物的最大擺角和小車的柔性沖擊。