高 彤 ，陳 鴻 ，張 亮 ，王晉祺

(1.中北大學(xué) 電子測(cè)試技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測(cè)試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原030051；2.太原科技大學(xué) 交通與物流學(xué)院，山西 太原030051；3.上海無(wú)線電設(shè)備研究所，上海201109)

0 引言

現(xiàn)如今檢測(cè)技術(shù)朝著精密、高效的方向不斷提升，眼鏡的生產(chǎn)和加工也向著高精度、自動(dòng)化方向發(fā)展。 傳統(tǒng)的方法需要定制相應(yīng)的模板，工序復(fù)雜，耗時(shí)長(zhǎng)，而且精度不高[1]，不滿足工業(yè)生產(chǎn)需求。 目前國(guó)內(nèi)外普遍使用鏡片自動(dòng)磨邊機(jī)，它是一種根據(jù)輪廓掃描儀所提供的輪廓數(shù)據(jù)進(jìn)行自動(dòng)加工鏡片的設(shè)備，實(shí)現(xiàn)鏡架凹槽或鏡片輪廓參數(shù)的獲取并傳給數(shù)控磨邊機(jī)從而實(shí)現(xiàn)加工全自動(dòng)。測(cè)量輪廓的方式主要分為接觸式測(cè)量和非接觸式測(cè)量。 接觸式測(cè)量利用掃描探針與被測(cè)物體接觸，使掃描探針或被測(cè)物體旋轉(zhuǎn)一周，實(shí)現(xiàn)對(duì)被測(cè)物體進(jìn)行離散的空間點(diǎn)位置的獲取，通過(guò)一定的數(shù)學(xué)計(jì)算，完成對(duì)所測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分析擬合，最終還原出被測(cè)物體的輪廓；非接觸測(cè)量有超聲波法以及基于視覺(jué)技術(shù)的激光三角法、結(jié)構(gòu)光法等[2-4]，但利用光學(xué)的測(cè)量方式不適用于鏡架凹槽。本文所研究的接觸式探針掃描儀利用低壓力接觸式探針掃描鏡架內(nèi)凹槽或鏡片邊緣輪廓，其掃描原理就是利用檢測(cè)探針接觸被測(cè)物體一周的過(guò)程中得到旋轉(zhuǎn)編碼器返回的長(zhǎng)度序列以及旋轉(zhuǎn)平臺(tái)的旋轉(zhuǎn)角度來(lái)確定輪廓的坐標(biāo)信息，編碼器記錄的長(zhǎng)度是檢測(cè)探針升起位置到被測(cè)物體輪廓邊緣點(diǎn)的距離。 實(shí)際工程中，由于儀器零部件的安裝不精準(zhǔn)，檢測(cè)探針的零點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心往往不重合，所以需要對(duì)得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理才能得到準(zhǔn)確的曲線輪廓[5]。 對(duì)于此類(lèi)系統(tǒng)誤差問(wèn)題，一般做法是對(duì)誤差來(lái)源進(jìn)行分析后，需要建立誤差的精準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型，提出系統(tǒng)誤差補(bǔ)償或抑制方法[6-9]。 為了解決本文研究的問(wèn)題，參考文獻(xiàn)[10]提出的方法是對(duì)誤差進(jìn)行了精確建模，建立系統(tǒng)的誤差數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用最小二乘法的基本原理求解最佳參數(shù)[10-12]，但這種方法運(yùn)算量較大，難以實(shí)現(xiàn)在線標(biāo)定[13]。 本文提出一種利用尺寸已知的正方形標(biāo)定板，通過(guò)測(cè)量標(biāo)定板得到的數(shù)據(jù)來(lái)獲取到系統(tǒng)參數(shù)，從而對(duì)被測(cè)物體的輪廓坐標(biāo)進(jìn)行在線標(biāo)定。 并通過(guò)Qt Creator 軟件編程模擬仿真了測(cè)量過(guò)程驗(yàn)證了算法的準(zhǔn)確性。

1 掃描測(cè)量原理及誤差產(chǎn)生原因

應(yīng)用極坐標(biāo)系下的構(gòu)圖原理，如圖1 所示，以滑軌的初始位置為極坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)O 為檢測(cè)鉤升起的位置，旋轉(zhuǎn)編碼器記錄由檢測(cè)鉤起始點(diǎn)到測(cè)量邊緣點(diǎn)P 的長(zhǎng)度ρ。 當(dāng)檢測(cè)鉤所在的滑軌每旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度Δθ，則有與之相對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度序列。 實(shí)際測(cè)量中，只要能夠獲得被測(cè)對(duì)象輪廓一周無(wú)窮多個(gè)位置的坐標(biāo)(ρ，θ)，即可得到所需輪廓。

圖1 測(cè)量原理圖

誤差產(chǎn)生原因：由掃描原理可知，測(cè)量點(diǎn)的起始測(cè)量位置須是一個(gè)定點(diǎn)，這樣得到的數(shù)據(jù)才準(zhǔn)確，而實(shí)際測(cè)量中由于掃描部件的安裝會(huì)有偏差，導(dǎo)致檢測(cè)鉤的起始點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)不重合，進(jìn)而導(dǎo)致檢測(cè)鉤起始點(diǎn)在測(cè)量過(guò)程中是隨旋轉(zhuǎn)平臺(tái)繞旋轉(zhuǎn)中心而變化的，并非定點(diǎn)。 旋轉(zhuǎn)中心到檢測(cè)鉤所在滑軌存在垂直距離，用這樣得到的數(shù)據(jù)直接去擬合輪廓不可行，所以在正式測(cè)量鏡框前需要對(duì)測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行標(biāo)定。

2 測(cè)量系統(tǒng)坐標(biāo)標(biāo)定算法

2.1 建立標(biāo)定模型

建立合適的坐標(biāo)系對(duì)于問(wèn)題的求解非常關(guān)鍵，圖2所示是將被測(cè)鏡框固定在卡槽測(cè)量鏡框鏡圈。

圖2 鏡框/鏡片掃描儀

為了便于說(shuō)明測(cè)量結(jié)果及計(jì)算，建立如圖3 所示的測(cè)量坐標(biāo)系，其原點(diǎn)O 為旋轉(zhuǎn)中心，兩條坐標(biāo)軸x 軸和y 軸的方向?yàn)榭ú鄣膬山M對(duì)邊方向。 為了獲取系統(tǒng)參數(shù)，這里采用帶有4 個(gè)圓角的正方形標(biāo)定板，將正方形標(biāo)定板固定在卡槽內(nèi)，標(biāo)定板的邊長(zhǎng)方向與卡槽的兩種組對(duì)邊方向一致，將與第一條被測(cè)邊長(zhǎng)垂直的坐標(biāo)軸定為x 軸正方向，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)；將與第二條被測(cè)邊長(zhǎng)垂直的坐標(biāo)軸定為y 軸正方向。 Q 為檢測(cè)鉤起始點(diǎn)，M 為旋轉(zhuǎn)中心到檢測(cè)鉤所在滑軌的垂心，P 為測(cè)量點(diǎn)。將QM 的值設(shè)為ΔL，OM 的值設(shè)為d。

圖3 測(cè)量坐標(biāo)系

2.2 測(cè)量系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定

下面選取一種位置情況進(jìn)行說(shuō)明，如圖4 所示的參數(shù)標(biāo)定模型中，設(shè)選取的一組極小值點(diǎn)的位置如圖中的P0、P2。 測(cè) 量 點(diǎn) 是P0位 置 時(shí)，設(shè) 滑 軌 與x 軸 的 夾 角 為θ0，即∠OP0M0=θ0，其對(duì)邊極小測(cè)量點(diǎn)為P2，設(shè)滑軌與x 軸夾角為θ2，即∠OP2M2=θ2。 在這里不作正負(fù)區(qū)分，本文規(guī)定從x 軸正半軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成的角為正角。

圖4 參數(shù)標(biāo)定模型

已知正方形標(biāo)定板的邊長(zhǎng)L=45 mm，從測(cè)量數(shù)據(jù)可以確定O0P0以及Q2P2的長(zhǎng)度分別設(shè)為ρ0和ρ2，從測(cè)量數(shù)據(jù)還可以確定滑軌由測(cè)量P0點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到測(cè)量P2點(diǎn)所用的旋轉(zhuǎn)角度Δθ。 則可列出以下方程：

由 于sinθ0和sinθ2均 是 方 程(8)的 解，且 不 相 等，將 測(cè)量數(shù)據(jù)帶入方程(8)解出sinθ0和sinθ2，帶入方程(4)即可解得d。 從ρ0和ρ2的大小關(guān)系可以確定該方程的兩個(gè)解 與θ0和θ2的 對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系，若ρ0＞ρ2，則θ0＜θ2，反 之θ0＞θ2，從而確定θ0和θ2的值，將其帶回式(1)或式(2)即可解出QM 的長(zhǎng)度ΔL。

得到θ0和θ2的值后，再加上P0、P2在標(biāo)定模型中的位置確定，即可確定檢測(cè)鉤在測(cè)量P0、P2點(diǎn)時(shí)滑軌與x軸正半軸的夾角。 圖4 這種情況下，在測(cè)量P0點(diǎn)時(shí)，滑軌與x 軸正半軸的夾角就是θ0。 同理，如果選取的一組數(shù)據(jù)是P1、P3，得到滑軌在這兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)與y 軸的夾角θ1和θ3，則在測(cè)量P1點(diǎn)時(shí)，滑軌與x 軸正半軸的夾角為θ1+π/2。

設(shè)滑軌在初始位置與x 軸正半軸的夾角為α0，利用滑軌從初始位置逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到測(cè)量極小值點(diǎn)的位置時(shí)的旋轉(zhuǎn)角Δα，以及檢測(cè)鉤在測(cè)量該極小值點(diǎn)時(shí)滑軌與x 軸正半軸的夾角即可確定α0。例如測(cè)量極小值點(diǎn)是圖4的P0點(diǎn)， 滑軌由初始位置轉(zhuǎn)到測(cè)量P0點(diǎn)位置所用的旋轉(zhuǎn)角為Δα，則α0=θ0-Δα。

2.3 測(cè)量系統(tǒng)坐標(biāo)標(biāo)定

獲取到系統(tǒng)參數(shù)d、ΔL、滑軌在初始位置與x 軸的夾角α0后，即可對(duì)測(cè)量點(diǎn)P 的坐標(biāo)進(jìn)行標(biāo)定。 如圖5 坐標(biāo)標(biāo)定模型，要確定任意測(cè)量點(diǎn)P 的坐標(biāo)，則需要確定OP與x 軸正半軸的夾角β 以及OP 的長(zhǎng)度。 測(cè)量P 點(diǎn)時(shí)滑軌與x 軸正半軸的夾角α 可由α0和旋轉(zhuǎn)角Δα 得到，則：

P 點(diǎn)的直角坐標(biāo)由極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換即可得P(OPcosβ，OPsinβ)。

圖5 坐標(biāo)標(biāo)定模型

3 測(cè)量數(shù)據(jù)處理

根據(jù)上述分析，測(cè)量正方形標(biāo)定板的過(guò)程中如果采樣點(diǎn)是連續(xù)的才會(huì)得到理想極小值點(diǎn)，即邊長(zhǎng)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)。而實(shí)際工程測(cè)量中采樣點(diǎn)是離散選取的。提高采樣點(diǎn)數(shù)可以提高取到理想極小值點(diǎn)的概率，本文所研究的接觸式鏡框掃描儀所能達(dá)到的角度分辨率最小為0.225°，即旋轉(zhuǎn)一圈采樣1 600 個(gè)點(diǎn)，在此分辨率下根據(jù)式(6)給定ρ、θ0后繪制Δθ 和d 的關(guān)系圖，如圖6 所示，顯然0.225°的角度分辨率達(dá)不到系統(tǒng)要求的0.5 mm 精度。

圖6 系統(tǒng)精度說(shuō)明圖

4 模擬仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證標(biāo)定算法，在給定正方形標(biāo)定板、旋轉(zhuǎn)中心與坐標(biāo)系的相對(duì)位置關(guān)系后，利用Qt Creator 軟件編程模擬仿真出在給定系統(tǒng)參數(shù)d、ΔL、α0下的數(shù)據(jù)。利用仿真出的數(shù)據(jù)用標(biāo)定算法解出系統(tǒng)參數(shù)的值并于設(shè)定值進(jìn)行比較，從而驗(yàn)證算法的準(zhǔn)確性。

4.1 測(cè)量數(shù)據(jù)生成

當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心和標(biāo)定板的位置關(guān)系確定后，測(cè)量數(shù)據(jù)即可確定，與坐標(biāo)系的位置無(wú)關(guān)。 這里仍然設(shè)旋轉(zhuǎn)中心為坐標(biāo)點(diǎn)(0，0)，設(shè)旋轉(zhuǎn)中心到垂心的連線與x 軸正半軸所成夾角為γ，系統(tǒng)的角度分辨率為φ=2π/n(n 為總采樣點(diǎn)數(shù))，γ 的值可由系統(tǒng)角度分辨率和滑軌與x 軸正半軸的初始夾角α0確定，則滑軌運(yùn)動(dòng)到任意位置時(shí)，旋轉(zhuǎn)中心到滑軌的垂心坐標(biāo)為M(dcosγ，dsinγ)。 此時(shí)滑軌的斜率k=tan(γ-π/2)，則滑軌所在直線方程確定，利用該直線方程與被測(cè)點(diǎn)所在的標(biāo)定板輪廓曲線或直線方程聯(lián)立可得測(cè)量點(diǎn)P 的坐標(biāo)，求出M 點(diǎn)到P 點(diǎn)的距離再加上ΔP 即仿真出測(cè)量長(zhǎng)度值ρ。

將四角帶有圓弧(半徑為r)的正方形標(biāo)定板輪廓分為四部分，如圖7 所示，分別為測(cè)量點(diǎn)從D0到D1、D1到D2、D2到D3以 及D3到D0。

圖7 測(cè)量數(shù)據(jù)生成

當(dāng)測(cè)量點(diǎn)位于D0到D1范圍時(shí)，與切線方程聯(lián)立的方程分為直線x=x1和y=y2以及圓[x-(x1-r)]2+[y-(y1-r)]2=r2，x1和y2已知。 設(shè)與兩條直線聯(lián)立解出交點(diǎn)坐標(biāo)為P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，與圓聯(lián)立解出兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)P3(x3，y3)、P4(x4，y4)，M 點(diǎn) 與 這4 個(gè) 交 點(diǎn) 的 距 離 設(shè) 為d1、d2、d3、d4。 先比較d1和d2的大小，若d1＜d2，則繼續(xù)比較r 與y2-y1的大小，若y2-y1≤r，說(shuō)明此時(shí)測(cè)量點(diǎn)位于圓弧上，否則測(cè)量點(diǎn)就是D1；若d1＞d2，則繼續(xù)比較r 與x1-x2的大小，若x1-x2≤r，說(shuō)明此時(shí)測(cè)量點(diǎn)位于圓弧上，否則測(cè)量點(diǎn)就是D2。當(dāng)測(cè)量點(diǎn)位于圓弧區(qū)段時(shí)，比較d3和d4的大小，較大的對(duì)應(yīng)的為此時(shí)的測(cè)量點(diǎn)。 當(dāng)滑軌運(yùn)動(dòng)到其他區(qū)段時(shí)測(cè)量點(diǎn)的選取過(guò)程同理。

4.2 測(cè)量數(shù)據(jù)擬合

模擬出測(cè)量數(shù)據(jù)后，繪制輸出數(shù)據(jù)曲線波形圖如圖8所示。 對(duì)4 個(gè)極小值及周?chē)蓸狱c(diǎn)進(jìn)行最小二乘法擬合，即設(shè)：f(x)=a2x2+a1x+a0。

對(duì)上述矩陣變換求解得到系數(shù)矩陣A[14-15]，就得到了擬合曲線。

圖8 輸出數(shù)據(jù)波形圖

4.2.1 采樣點(diǎn)數(shù)目的選取

改變m 的大小得到不同的擬合函數(shù)計(jì)算出系統(tǒng)參數(shù)d，通過(guò)比較計(jì)算值與設(shè)定值的差值選擇合適的m。將用于擬合的采樣點(diǎn)數(shù)從5 到100 遞增，得到系統(tǒng)參數(shù)d，繪制d 關(guān)于采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系折線圖，如圖9 所示。若用于曲線擬合的采樣點(diǎn)數(shù)過(guò)少，則會(huì)導(dǎo)致計(jì)算出的系統(tǒng)參數(shù)與理想值差距很大，故繼續(xù)提高采樣點(diǎn)數(shù)的起始設(shè)定值，如圖10 所示，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)選取在40 ～60 范圍內(nèi)，d 的計(jì)算值穩(wěn)定接近設(shè)定值1.00 cm 且符合系統(tǒng)精度要求。

圖9 d 關(guān)于采樣點(diǎn)數(shù)的折線圖1

改變正方形標(biāo)定板與坐標(biāo)系的位置關(guān)系后，經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明上述范圍仍然適用。

4.2.2 擬合結(jié)果

將m 取為40，擬合結(jié)果如表1 所示，顯然無(wú)論取標(biāo)定板的哪組極小值數(shù)據(jù)去擬合，擬合后的數(shù)據(jù)均比擬合前的數(shù)據(jù)更接近設(shè)定值，且符合系統(tǒng)精度要求。

4.3 坐標(biāo)標(biāo)定結(jié)果

直接利用模擬得到的1 600 個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)繪制輪廓坐標(biāo)點(diǎn)如圖11(a)所示。 利用標(biāo)定過(guò)的系統(tǒng)參數(shù)對(duì)正方形標(biāo)定板的輪廓坐標(biāo)進(jìn)行標(biāo)定后的結(jié)果如圖11(b)所示，顯然標(biāo)定后的輪廓與真實(shí)輪廓接近。

圖10 d 關(guān)于采樣點(diǎn)數(shù)的折線圖2

表1 擬合前后系統(tǒng)參數(shù)對(duì)比

圖11 輪廓坐標(biāo)圖

5 結(jié)論

為解決輪廓掃描儀檢測(cè)鉤零點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)平臺(tái)的旋轉(zhuǎn)中心不重合造成的測(cè)量長(zhǎng)度及角度誤差，本文提出一種利用正方形的特點(diǎn)，通過(guò)測(cè)量正方形標(biāo)定板得到的測(cè)量數(shù)據(jù)并經(jīng)給最小二乘法擬合后計(jì)算出輪廓掃描儀的系統(tǒng)參數(shù)，進(jìn)而對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理實(shí)現(xiàn)了坐標(biāo)標(biāo)定，還原出被測(cè)物體的真實(shí)輪廓。 并通過(guò)Qt Creator 軟件編程模擬仿真了測(cè)量過(guò)程，用仿真出的數(shù)據(jù)驗(yàn)證了算法的可行性。 該方法大大降低了測(cè)量?jī)x的制造和安裝要求，通過(guò)在線標(biāo)定即可快速測(cè)量被測(cè)物體輪廓且滿足系統(tǒng)的精度要求，標(biāo)定精度高而可靠。