楊 揚，李桂花

(中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051)

0 引 言

媒介傳染病是通過媒介將病原微生物傳染給宿主后進行傳播的傳染病，常見的媒介有蚊子、蜱類、三尖蟲、沙蠅和黑螢等.媒介傳染病始終威脅著人類健康，這就對如何預(yù)防傳染病提出了嚴重的挑戰(zhàn).對傳染病模型的研究可使我們更了解疾病的傳播，從而為疾病的控制提供一些合理的建議.

在常見的傳染病模型中，對以蚊子為媒介的疾病，比如瘧疾、登革熱、西尼羅河病毒(WNV)的研究較多[1-6].模型在建立過程中，一般假設(shè)恢復(fù)率μ為常數(shù).但在現(xiàn)實生活中，恢復(fù)率與醫(yī)療資源的數(shù)量有關(guān)，如果醫(yī)院有足夠的病床(設(shè)病床數(shù)量為b>0)，病人就能夠得到有效的治療.在病床數(shù)一定的情況下，染病者數(shù)量越多，恢復(fù)率越低.因此，設(shè)恢復(fù)率函數(shù)是染病者數(shù)量Ih的減函數(shù).取恢復(fù)率函數(shù)為[7-8]

本文將宿主種群Nh分為易感者Sh、染病者Ih和恢復(fù)者Rh，將媒介種群Nv分為易感者Sv和染病者Iv，且滿足關(guān)系式Nh=Sh+Ih+Rh及Nv=Sv+Iv.建立如下系統(tǒng)

(2)

本文接下來考慮平衡點的存在性，研究平衡點的穩(wěn)定性及分支情況，通過數(shù)值模擬驗證了Bogdanov-Takens分支、Hopf分支和極限環(huán)的存在.

1 平衡點的存在性

為分析平衡點的存在性，令系統(tǒng)(2)的4個微分方程的右端都等于零，即

接下來分析正平衡點的存在性，由式(3)、式(5)和式(6)可得

將上述所得Iv，Sh，Nh代入式(4)得

(7)

其中

A2=βvdhd0(A+Nv0βh)>0，

A1=Abd1dhβv-Nv0βhβvdhA+

Nv0βhβvdhbd1+A2(1-p)dvd0，

A0=-Ab(Nv0βhβvdh-Ad1(1-p)dv)=

-A2bd1(1-p)dv(R0-1).

為了確定方程(7)正根的存在性，考慮下面的情況：

1)R0>1時，即A0<0，此時Δ>0，方程(7)只有一個正根Ih2.

2)R0<1時，即A0>0，分以下兩種情形討論：

ⅰ)A1>0，方程(7)無正根；

3)當(dāng)R0<1時，系統(tǒng)(2)不存在正平衡點，若滿足下列條件之一

ⅰ)A1>0，

ⅱ)A1<0，Δ<0.

2 穩(wěn)定性和分支分析

則無病平衡點E0的Jacobian矩陣的特征方程為

Q(λ)=(λ+dh)2[λ2+((1-p)dv+d1)λ+

顯然λ1=λ2=-dh<0，特征值λ3，λ4滿足方程

λ2+[(1-p)dv+d1]λ+d1(1-p)dv(1-R0)=0.

由韋達定理可知

λ3+λ4=-[(1-p)dv+d1]<0，

λ3λ4=d1(1-p)dv(1-R0).

所以，R0<1時，Re(λ3)，Re(λ4)<0，R0>1時，λ3<0<λ4.

綜上所述，有如下定理：

定理2對于系統(tǒng)(2)，R0<1時，無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的；R0>1時，無病平衡點E0是不穩(wěn)定的.

接下來討論正平衡點E=(Sh，Ih，Nh，Iv)的穩(wěn)定性.系統(tǒng)(2)在正平衡點E處的Jacobian矩陣為

記

(1-p)dv(dh+μ(b，Ih))，

則系統(tǒng)(2)的正平衡點E處Jacobian矩陣的特征方程為

(λ+dh)(λ3+a1λ2+a2λ+a3)=0.

由μ(b，Ih)，Iv的表達式計算可得

所以，可以將系數(shù)a3表示為Ih的函數(shù)

2bd0Ih+b2d1)+A2(1-p)dvb(d0-d1)]=

2(Abd0βvdh+Nv0βhβvbd0dh)Ih+Aβvdhd1b2+

Nv0βhβvdhd1b2+A2(1-p)dvbd0-A2(1-p)dvbd1]=

2bβvdhd0(A+Nv0βh)Ih+b(Aβvdhd1b+

Nv0βhβvdhd1b+A2(1-p)dvd0-A2(1-p)dvd1)]=

bf′(Ih)+A2bd1(1-p)dv(R0-1)]，

即

由Routh-Hurwitz判據(jù)可知，當(dāng)a2>0，a3>0且a1a2-a3>0時，特征方程均具有負實部，此時，正平衡點E2是局部漸近穩(wěn)定的.當(dāng)a1a2=a3，a2>0且a3≠0時，特征方程會出現(xiàn)一對純虛根，此時系統(tǒng)會發(fā)生Hopf分支.

定理3對于系統(tǒng)(2)的正平衡點E，有

1)正平衡點E1是不穩(wěn)定的；

2)當(dāng)a2>0，a3>0且a1a2-a3>0時，正平衡點E2是局部漸近穩(wěn)定的；

3)當(dāng)a1a2=a3，a2>0且a3≠0時，系統(tǒng)會發(fā)生Hopf分支.

3 數(shù)值模擬

為了驗證正平衡點的存在性，取A=2.5，βh=1，dh=0.036，dv=0.06，p=0.007，b=0.2，μ1=0.094 273 299，μ0=0.05，Nv0=2，βv=0.26，利用Matcont工具包繪制Ih隨βv的變化圖像.由圖1 可以看出，正平衡點的個數(shù)隨βv的增加而變化，當(dāng)βv較小時，系統(tǒng)不存在正平衡點；當(dāng)βv取值在0.190 226～10.370 1之間時，系統(tǒng)存在兩個正平衡點；當(dāng)βv=0.190 226，Ih=0.307 316 以及βv=10.370 1，Ih=0.307 317 時出現(xiàn)極限點(LP點)，此時兩個正平衡點重合；當(dāng)βv>10.370 1時，系統(tǒng)正平衡點消失.

圖1 系統(tǒng)(2)平衡點個數(shù)隨βv變化的分支圖

為了驗證Hopf分支的存在性，選取βv為分支參數(shù)，選擇圖1 中βv值較大的LP點作為初始點，繪制BT分支曲線，如圖2 所示.

圖2 系統(tǒng)(2)鞍結(jié)點分支曲線圖

由圖2 可以看出，βv=24.710 211，Ih=0.201 863時出現(xiàn)了Bogdanov-Takens分支(BT點).進一步以圖2 中的BT點作為初始點繪制Hopf分支曲線，如圖3 中虛線所示，在βv=51.046 348，Ih=0.397 027處出現(xiàn)了廣義Hopf分支(GH點)，此處第一Lyapunov系數(shù)為-6.590 647×10-4，說明該極限環(huán)是穩(wěn)定的.再以GH點為初始點，繪制出極限環(huán)(見圖3).

圖3 系統(tǒng)(2)BT分支及Hopf分支曲線圖

下面取參數(shù)μ1=25.540 831 37，b=0.041 87，βv=51.046 348，其它參數(shù)取圖1 中的值.選擇初始點(Sh，Ih，Nh，Iv)=(41.7，0.4，69.4，1.7)繪制t-Ih時間序列圖，如圖4 所示.

圖4 μ1=25.540 831 37，b=0.041 87時系統(tǒng)(2)的時間序列圖

由圖4 可知，該模型出現(xiàn)了周期解，且極限環(huán)是穩(wěn)定的，這驗證了理論分析的正確性.