肖燕

摘要：分類討論作為一種比較常見的數(shù)學(xué)思想，通過引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律，能夠幫助學(xué)生組織、歸納數(shù)學(xué)知識(shí)，可以有效促使學(xué)生的概括能力以及思維條理性得到良好發(fā)展。靈活運(yùn)用分類思想充分分析題目，可以幫助學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行全面的分析，基于不同情況進(jìn)行具體分析，得出不同的答案，可有效提高學(xué)生解答習(xí)題的正確率，并且分類思想的運(yùn)用，還可以有效鍛煉學(xué)生邏輯思維。本文通過總結(jié)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)視角出發(fā)，對(duì)分類討論思想的原則以及意義進(jìn)行了分析，針對(duì)如何有效運(yùn)用分類討論思想以提高解題教學(xué)的效果提出了幾點(diǎn)策略建議。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)習(xí)題;分類討論;數(shù)形結(jié)合

引言：學(xué)生步入初中階段后，無論是學(xué)習(xí)內(nèi)容，亦或是思維方式等方面都產(chǎn)生了不小的變化。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論不僅是教學(xué)重點(diǎn)，還是教學(xué)難點(diǎn)，為了對(duì)初中生進(jìn)行選拔，中考試卷中通常會(huì)在設(shè)置分類討論題，對(duì)學(xué)生邏輯思維以及解題能力進(jìn)行考查。因此，在平時(shí)的解題教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師明確分類討論思想的重要性，并將這一思想通過教學(xué)傳達(dá)給學(xué)生，改善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，這樣學(xué)生在進(jìn)行習(xí)題解答時(shí)，才可以充分分析題目，不僅可以確保答案的全面性、完整性，還可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，從而提高學(xué)生答題效率。

一、分類討論在代數(shù)中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，代數(shù)是一個(gè)比較常見的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生一般會(huì)遇到各種各樣的相關(guān)問題，此時(shí)，學(xué)生需要對(duì)題目?jī)?nèi)容進(jìn)行認(rèn)真觀察，基于分類思想，對(duì)題目的多種情況進(jìn)行全面分析。通常來說，在解答這類數(shù)學(xué)題時(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生展開多方位的思考，根據(jù)不同的情況分析題目。

以這一習(xí)題為例：x的方程（k-2）x^2+4x+2=0有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍。在進(jìn)行這一類問題的解答時(shí)，基于分類討論思想分析題干，需要分兩種情況進(jìn)行考慮：第一種，當(dāng)k-2≠0的時(shí)候，這個(gè)方程為一元二次方程，那么判別式為△=4^2-4X2（k-2）=32-8K≥0，由此可以得出k≤4;第二種，當(dāng)k-2=0時(shí)，方程為一元一次方程，4x+2=0，有實(shí)數(shù)根 ，綜上所述，若方程（k-2）x2+4x+2=0總有實(shí)數(shù)，則k≤4。基于分類思想，分情況進(jìn)行習(xí)題解答，可最終得到正確、完整的答案。但是，如果學(xué)生缺乏分類討論思想，面對(duì)這類代數(shù)題，通常會(huì)無法產(chǎn)生解題思路，或者是提供的答案不完整。由此可見，分類討論思想對(duì)學(xué)生來說至關(guān)重要。

二、分類討論在幾何中的應(yīng)用

（一）在三角形中的應(yīng)用

1.全等三角形和相似三角形的存在性問題（這段請(qǐng)寫手根據(jù)實(shí)際情況展開）

2.特殊三角形（等腰三角形、直角三角形和等腰直角三角形）的存在性問題

例在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，已知A（2，-1），P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則符合條件的動(dòng)點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3 C.4 D.5

分析：本題可分為三種情況：

①以O(shè)A為腰，若點(diǎn)O為頂角頂點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫弧，與x軸的交點(diǎn)有兩個(gè);

②以O(shè)A為腰，若點(diǎn)A為頂角頂點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫弧，與軸的交點(diǎn)有一個(gè)（除了點(diǎn)O外）;

③以O(shè)A為等腰三角形的底，作線段OA的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)有一個(gè)。

所以在x軸上共有4個(gè)點(diǎn)，使得P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形

（二）在四邊形中的應(yīng)用

如平行四邊形、菱形、矩形、正方形的存在性問題，這類問題大多可轉(zhuǎn)化為特殊三角形的存在性問題來解決，

（三）在其他幾何（圓、線段、角）中的應(yīng)用

在解答這道習(xí)題時(shí)：在一個(gè)直角坐標(biāo)系中，直線 上有一個(gè)半徑為1的圓，圓心P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ，m），將圓P向斜下方直線移動(dòng)，移動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位，請(qǐng)問：圓P與x軸相切需要幾秒。這道習(xí)題中有一個(gè)關(guān)鍵信息，即“圓P與x軸相切”，所以必須運(yùn)用分類討論思想，考慮到所有圓P與x軸相切的情況，之后針對(duì)不同情況進(jìn)行解答，才能確保答案的完整性。首先，題干中提到圓P經(jīng)過移動(dòng)會(huì)與X軸相切，此時(shí)圓P處在第一象限，這是大多數(shù)學(xué)生都會(huì)想到的第一種情況，但還存在另外一種可能，當(dāng)圓P與X軸相交之后，如果繼續(xù)沿著直線移動(dòng)，當(dāng)圓P移動(dòng)到第三象限時(shí)，圓P與x軸會(huì)相切。因此對(duì)這道習(xí)題進(jìn)行解答，必須運(yùn)用分類討論思想，全面分析任何一種存在的可能，確保完整全面的解答該習(xí)題。在幾何問題的解答過程中，除了分類討論思想，還要注重運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可以有效將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，學(xué)生可以清晰直觀的觀察已知條件，從而促使學(xué)生對(duì)題干形成深刻的理解，可有效促使學(xué)生的解題正確率獲得改善。

答時(shí)，主要涉及到線段和三角形，尤其是與三角形高相關(guān)的問題，靈活運(yùn)用分類討論思想，分析所有存在的可能，并針對(duì)每一種可能進(jìn)行解答，可確保答案的完整性。

以這樣一道習(xí)題為例：一個(gè)等腰三角形的兩條邊的邊長(zhǎng)分別是5cm和7cm，求證：這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是多少cm？很多學(xué)生閱讀這一題目時(shí)都認(rèn)為這是一道簡(jiǎn)單的習(xí)題，三下五除二就得出了答案，但是結(jié)果卻是錯(cuò)誤的。這是由于學(xué)生進(jìn)行習(xí)題解答時(shí)，沒有運(yùn)用分類思想，導(dǎo)致得出的答案是片面的，所以教師在教學(xué)過程中，一定要滲透分類思想，促使學(xué)生養(yǎng)成全面分析問題的習(xí)慣和意識(shí)，這樣才能有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)全面提升。在拿到這個(gè)題目的時(shí)候，學(xué)生總是想當(dāng)然的認(rèn)為這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是5cm或者7cm，很難考慮到5cm和7cm都是這個(gè)等腰三角形腰長(zhǎng)的情況，所以對(duì)于問題的思考不夠全面。在進(jìn)行這道習(xí)題的回顧時(shí)，教師幫助學(xué)生明確分類討論思想的重要性，以及運(yùn)用該思想進(jìn)行習(xí)題解答的方式，幫助學(xué)生加深印象，才能有效促使學(xué)生的解題正確率獲得提高。

3.分類討論與圓

直線與圓的位置關(guān)系可以分為三種，分別為：直線與圓相切、直線與圓相交、直線與圓相離，在進(jìn)行關(guān)于的圓的習(xí)題解答時(shí)，必須運(yùn)用分類討論思想，全面考慮每一種可能存在的情況，確保答案的完整性。

2.分類討論與角

關(guān)于角的習(xí)題具有不確定性的特點(diǎn)，這是因?yàn)樯渚€的位置和角的旋轉(zhuǎn)方向是不確定的，所以在進(jìn)行關(guān)于角的習(xí)題解答中，要充分運(yùn)用分類討論思想，結(jié)合題干中的已知條件，導(dǎo)入數(shù)形結(jié)合思想，先復(fù)制圖，再結(jié)合不同情況進(jìn)行繪圖和思考，可以幫助學(xué)生對(duì)題目有更加直觀的了解。

以這樣的一道習(xí)題為例：已知 為30度，∠AOB 是∠BOC三倍，那么∠AOC 是多少度。學(xué)生可以先對(duì)題干進(jìn)行分析，并將已知條件用繪畫的形式畫出來，并且要確保圖畫的準(zhǔn)確性。結(jié)合題目中已經(jīng)給出的確定條件，可以將 畫出來，但線段OA的方向是不確定的，線段OA可以在線段OB的上方，也可以在線段OB的下方，學(xué)生必須充分運(yùn)用分類思想，才能對(duì)題干進(jìn)行透徹分析，從而得到全面的答案。

結(jié)語：綜上所述，在初中數(shù)學(xué)解題過程中，分類討論思想是一個(gè)比較常見的解題方法，在測(cè)試題中出現(xiàn)頻率也比較高，而且，縱觀當(dāng)前階段的數(shù)學(xué)試卷發(fā)現(xiàn)，總是有學(xué)生由于不善于運(yùn)用分類討論思想，而導(dǎo)致給出的答案不完整，所以，教師要加強(qiáng)對(duì)分類討論思想的滲透，特別是代數(shù)、幾何、實(shí)際問題等，一定要有意識(shí)地滲透分類討論解題思想，幫助學(xué)生更加透徹地認(rèn)識(shí)這一解題方法，并靈活運(yùn)用到解題過程中，可有效幫助學(xué)生提高解答習(xí)題的效率和正確率。

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