孫 娜

(山西工商學(xué)院 計算機信息工程學(xué)院，山西 太原 030006)

隨著數(shù)字化測量技術(shù)與智能儀器的快速發(fā)展，采樣控制系統(tǒng)[1～3]已經(jīng)受到很大的重視。采樣系統(tǒng)是一個混雜系統(tǒng)，它是由一個連續(xù)時間的被控對象和一個離散時間控制器組成。采樣控制指對所需要的物理信號進(jìn)行采樣，得到的采樣信息經(jīng)過計算機進(jìn)行處理進(jìn)而產(chǎn)生控制。在狀態(tài)反饋控制[4～6]中，最優(yōu)控制、系統(tǒng)的鎮(zhèn)定性都需要狀態(tài)變量的有效信息，但在實際工業(yè)應(yīng)用中，由于多率采樣[7]方案的引入，使得控制器使用的量測信息在同一時刻可能不能全部獲得，因而基于狀態(tài)信息的狀態(tài)反饋控制也難以實現(xiàn)。已有一些文獻(xiàn)通過對狀態(tài)變量的信息進(jìn)行估計進(jìn)而設(shè)計相應(yīng)的控制器來保證系統(tǒng)穩(wěn)定。文獻(xiàn)[8～10]提出通過利用已有的輸入、輸出狀態(tài)信息來重構(gòu)一個動態(tài)系統(tǒng)(觀測器)去預(yù)估系統(tǒng)狀態(tài)的不可測信息，但這些觀測器函數(shù)的構(gòu)造在維數(shù)上都有不同要求。本文首先通過利用多率采樣信息構(gòu)造系統(tǒng)狀態(tài)的線性函數(shù)，這樣避免重建整個狀態(tài)向量信息。其次，證明利用預(yù)定義函數(shù)進(jìn)行狀態(tài)反饋時閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。特別地，在這一部分，也提出所設(shè)計的預(yù)定義狀態(tài)反饋控制器也適合于不可觀測系統(tǒng)。最后，通過數(shù)值仿真案例證明所提方法的有效性。

1 問題描述與建模

考慮一個連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，其狀態(tài)空間方程表示如下：

其中，x(t)∈n，u(t)∈m和y(t)∈r分別為系統(tǒng)(1)的狀態(tài)變量、控制輸入和被控輸出；A,B,C分別是維數(shù)為n×n,n×m,r×n的定常矩陣且(A,B)是可控的、(A,C)是可觀測的。

本文假定系統(tǒng)(1)所有的狀態(tài)變量即系統(tǒng)量測輸出的采樣周期為T.則上述的連續(xù)時間狀態(tài)方程離散為下列離散時間LTI模型：

當(dāng)輸入向量以周期T進(jìn)行采樣，量測輸出向量在t=lT0進(jìn)行采樣，系統(tǒng)表示如下：

(4)

其中l(wèi)=0,1,2,…，N-1.當(dāng)t=kT時，xk=x(kT),uk=u(kT),C0、D0以及輸出向量yk+1定義如下：

(5)

文獻(xiàn)[10]中指出，當(dāng)N≥υ時，可以定義如下的狀態(tài)反饋控制器：

(6)

在本文中，可以證明N≥υ時不是一個必要條件。

考慮離散時間LTI模型：

其中(AT,BT)是可控的,(AT,C)是可觀測的。

可以采取以下形式的控制器：

u(kT)=Fx(kT)

(7)

(7)中F是適當(dāng)維數(shù)的常矩陣，通過利用多率采樣信息來實現(xiàn)(7)的控制。

將xk+1=ATxk+BTuk代入(7)中得：

Fxk+1=F(ATxk+BTuk)=FATxk+FBTuk

等價的有：

Fxk=FATxk-1+FBTuk-1

(8)

由yk+1=C0xk+D0uk得：C0xk=yk+1-D0uk等價的有：

C0xk-1=yk-D0uk-1

(9)

如果FATxk-1和C0xk-1是已知的，通過yk和uk-1的信息可以得到Fxk.為了實現(xiàn)這個目的，應(yīng)該求解FAT=PC0.

如果FAT=PC0有解，可以寫成如下形式：

(10)

其中q是一個正整數(shù)且取決于所給定的線性函數(shù)。令μ是滿足條件(10)的所有q的最小值，用μ表示可控性維數(shù)。由于有很多q是滿足條件(10)，依據(jù)不同實際情況選取合適的q值。利用(8)和(9)，所需要的狀態(tài)反饋函數(shù)Fxk可以定義如下：

Fxk=Pyk+(FBT-PD0)uk-1

(11)

具體推導(dǎo)如下：

將FAT=PC0代入(8)式得：Fxk=PC0xk-1+FBTuk-1，將C0xk-1=yk-D0uk-1代入

Fxk=PC0xk-1+FBTuk-1得：Fxk=P(yk-D0uk-1)+FBTuk-1，整理得：

Fxk=Pyk+(FBT-PD0)uk-1

P的值由FAT=PC0計算得出，輸出向量yk由式子(5)得到，P和yk共同作為已知的輸入序列。

2 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

在本節(jié)，我們對離散時間線性時不變系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。為了保證(11)式狀態(tài)反饋函數(shù)Fxk的實現(xiàn)，F(xiàn)xk=PC0應(yīng)該有解。開環(huán)系統(tǒng)的輸入信息由以下動力學(xué)系統(tǒng)得到：xk+1=ATxk+BTuk，進(jìn)而，閉環(huán)動力學(xué)系統(tǒng)可以寫成：

xk+1=(AT+BTF)xk

(12)

選取合適的F能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

如果Fxk=PC0沒有解即Fxk-PC0≠0，這表示狀態(tài)反饋函數(shù)Fxk的實現(xiàn)中出現(xiàn)錯誤。這種錯誤會影響整個閉環(huán)系統(tǒng)。因此，閉環(huán)系統(tǒng)動力學(xué)模型可以如下表示：

其中Δuk=uk-Fxk

(14)

因此，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)(13)狀態(tài)矩陣的特征值在單位圓內(nèi)，則閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

已有文獻(xiàn)[8][10]說明為了預(yù)估系統(tǒng)狀態(tài)所采用的線性函數(shù)方法僅適用于可觀測系統(tǒng)。本文證明對于利用預(yù)定義狀態(tài)反饋函數(shù)實現(xiàn)系統(tǒng)的控制中，系統(tǒng)的可觀測不是一個必要條件。

考慮以下經(jīng)過采樣的一個不可觀測系統(tǒng)：

即使q≤N時，(10)式也可以滿足。當(dāng)

(16)

則系統(tǒng)(15)是不可觀測的。

從(16)式中先選取l個線性無關(guān)行向量，此外再選取n-l個與之線性無關(guān)的行向量來構(gòu)造矩陣Q，可得Q是非奇異矩陣。

根據(jù)(17)式和(18)式，l維可觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程可以表示為：

n-l維不可觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程表示為：

3 仿真結(jié)果

例1：考慮如下連續(xù)時間不鎮(zhèn)定系統(tǒng)，該系統(tǒng)包含9個狀態(tài),1個輸出和1個輸入。

系統(tǒng)矩陣A,b,c表示如下：

其中：

該系統(tǒng)的特征根經(jīng)過計算如下：

u(kT)=Fx(kT)

(25)

F=[F1F2]F1=[-9.34 -12.89 -19.28 -23.16 -31.88]

F2=[-5.16 -58.58 -19.15 24.16]

離散閉環(huán)系統(tǒng)的特征值如下：

該系統(tǒng)的采樣周期為T=0.6s，T0=0.12s.利用本文所設(shè)計的狀態(tài)反饋控制器(11)可以得到該仿真的最優(yōu)控制器。其中，N=6,P的值給定如下：

P=103×[0.07 -0.41 0.92 -1.03 0.58 -0.13]

為了驗證所設(shè)計的方案，取狀態(tài)初始值為：

X0=[-2 -1 0 1.5 1 2.5 -1.5 3 -2.5]T.圖1是N=6時預(yù)定義狀態(tài)函數(shù)的值和它估計值的狀態(tài)響應(yīng)曲線。

時間(s) 時間(s)

當(dāng)Fxk=PC0沒有解時，系統(tǒng)在N=5時仍然可以達(dá)到穩(wěn)定，這時系統(tǒng)(13)的所有特征值都落在單位圓內(nèi)。圖2顯示了系統(tǒng)在N=5時真實值和近似估計值的狀態(tài)響應(yīng)曲線。

圖3顯示了隨著采樣時刻的變化，根據(jù)預(yù)定義狀態(tài)反饋函數(shù)，得到的系統(tǒng)變量的誤差響應(yīng)曲線。

圖3 采樣時刻的誤差響應(yīng)曲線(當(dāng)Fxk=PC0無解)

例2：用來證明所提出的控制器方案也適用于不可觀測系統(tǒng)。

考慮如下連續(xù)時間系統(tǒng)，該系統(tǒng)包含8個狀態(tài),1個輸出，1個輸入。

系統(tǒng)矩陣A,b,c表示如下：

其中：

很容易看出，該系統(tǒng)有兩個穩(wěn)定的不可觀測模式。利用本文第三部分對于不可觀測系統(tǒng)所設(shè)計的控制方案，可以把系統(tǒng)分解為可觀測和不可觀測兩種模式。利用第三部分的公式(17)和(18)，可以得到：

圖4 近似預(yù)估計值與測量值的比較(N=5)

4 小結(jié)

本文提出了一種新的計算狀態(tài)變量的方案——利用一個預(yù)定義線性函數(shù)設(shè)計狀態(tài)反饋控制器。該方案可以推廣應(yīng)用到不可觀測系統(tǒng)，所提方案最大的優(yōu)勢在于N≤ν時該方案仍然適用。對于一類不可觀測系統(tǒng)，本文也證明了即使Fxk=PC0沒有解系統(tǒng)仍然可以達(dá)到鎮(zhèn)定。利用兩個仿真案例證明了所提方案的有效性：在案例1中，對于一個含有9個狀態(tài)變量的連續(xù)時不變系統(tǒng)，利用預(yù)定義狀態(tài)反饋控制器，使得系統(tǒng)的預(yù)估計值和測量值基本沒有差別；在案例2中，對于一個含有8個狀態(tài)變量的不可觀測系統(tǒng)，也證明了本文所設(shè)計的控制器方案仍然適用。