戶攀攀 劉建新 蔡久鳳 劉志偉

1西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 成都 610031 2西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 成都 610031

0 引言

地鐵限界的計(jì)算方法經(jīng)歷了不斷細(xì)化的發(fā)展過程。UIC505計(jì)算方法以系列標(biāo)準(zhǔn)的形式對(duì)車輛提出限界校核方法，但由于UIC標(biāo)準(zhǔn)提供的參考輪廓只適用于歐洲聯(lián)運(yùn)鐵路，對(duì)于不是按照UIC標(biāo)準(zhǔn)修建的線路動(dòng)態(tài)偏移量的設(shè)置方法是不同的，所以不能照搬其算法[1,2]。CJJ96—2003《地鐵限界標(biāo)準(zhǔn)》計(jì)算方法雖然考慮的因素較全面，但因無法準(zhǔn)確考慮車輛一系二系振動(dòng)變形量，且沒有車速與懸掛變形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以在確定計(jì)算參數(shù)時(shí)取值均趨向極限狀態(tài)可能會(huì)使計(jì)算結(jié)果偏于保守[3]。動(dòng)力學(xué)計(jì)算方法沒有考慮到制造、安裝、維護(hù)誤差等因素，使得計(jì)算結(jié)果不完全切合實(shí)際[4,5]。在總結(jié)國內(nèi)外限界計(jì)算方法研究基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，本文研究出一種基于Matlab編程與三維空間幾何變換理論[6]來獲取車輛動(dòng)態(tài)包絡(luò)線的新方法，以某地鐵車輛為例，采用線路實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)獲取車輛運(yùn)行過程中的動(dòng)態(tài)偏移量，再疊加CJJ96-2003《地鐵限界標(biāo)準(zhǔn)》[7]計(jì)算方法得到車輛的靜態(tài)偏移量，基于三維空間幾何變換理論推導(dǎo)方程，利用Matlab軟件編程來計(jì)算地鐵車輛在實(shí)際線路上運(yùn)行的整個(gè)過程中車輛的動(dòng)態(tài)輪廓，得到所有動(dòng)態(tài)輪廓上控制點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接輸出車輛的動(dòng)態(tài)包絡(luò)線，最終實(shí)現(xiàn)車輛動(dòng)態(tài)包絡(luò)線的獲取。為了簡化計(jì)算，本文暫不考慮點(diǎn)頭、搖頭以及縱向位移對(duì)車輛動(dòng)態(tài)輪廓的影響。

1 基于三維空間幾何變換的計(jì)算方程推導(dǎo)

圖1 位置示意圖

1.1 繞X軸旋轉(zhuǎn)變換

圖2 變化前后示意圖

1.2 三維平移變換

當(dāng)空間向量發(fā)生平動(dòng)時(shí)可以分解為在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的平動(dòng)，假設(shè)在X、Y、Z方向平動(dòng)值分別為TX、TY、TZ，則發(fā)生平動(dòng)后其坐標(biāo)只在每個(gè)方向的坐標(biāo)值上分別疊加該方向的平動(dòng)量。

1.3 三維空間幾何變換

當(dāng)空間向量在三維空間內(nèi)既平動(dòng)又轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，假設(shè)先繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)為再平動(dòng)為其中轉(zhuǎn)角為φ，在X、Y、Z方向的平動(dòng)量分別為。則變動(dòng)前后的坐標(biāo)關(guān)系為

且將矩陣稱為三維變換矩陣。

類似的在三維空間中存在某一剛體，其上有任意一點(diǎn)P= (x,y,z)，當(dāng)剛體繞X軸旋轉(zhuǎn)φ角且發(fā)生平動(dòng)后，該剛體上的P點(diǎn)變?yōu)镻''點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的關(guān)系也可以用上述公式表示。

2 計(jì)算截面與控制點(diǎn)

2.1 基準(zhǔn)坐標(biāo)系

軌道坐標(biāo)的XOY平面位于軌面上，X軸在軌道中心線上并與車輛行進(jìn)方向一致，Y軸與前者垂直并切于設(shè)計(jì)軌頂面，Z軸豎直向上，以X軸上任意一點(diǎn)為原點(diǎn)，構(gòu)建笛卡爾右手直角坐標(biāo)系O-XYZ[8]。

2.2 計(jì)算截面與車輛輪廓線坐標(biāo)

為了描述整節(jié)車輛在線路上的運(yùn)行行為，一般需在車輛上選擇多個(gè)截面輪廓來代表整個(gè)車輛，稱此截面為計(jì)算截面[9]。在計(jì)算車輛動(dòng)態(tài)包絡(luò)線時(shí)，要先確定車輛的計(jì)算截面，車輛的計(jì)算截面應(yīng)建立在車輛運(yùn)動(dòng)時(shí)車輛輪廓點(diǎn)發(fā)生最大位移的截面上，能體現(xiàn)出車輛的最大橫向、垂向動(dòng)態(tài)偏移。

現(xiàn)選取車輛的4個(gè)計(jì)算截面,如圖3所示，分別為截面A-A（車體的端部截面）、截面B-B（過前轉(zhuǎn)向架中心的截面）、截面C-C（過車體中心的橫截面）以及截面D-D（過后轉(zhuǎn)向架中心的截面）。本文以某地鐵車輛為例按上述方法選取計(jì)算截面，考慮到篇幅，僅列出A-A斷面和B-B斷面上控制點(diǎn)坐標(biāo)，如表1、表2所示。

圖3 截面位置示意圖

表1 靜止?fàn)顟B(tài)下車輛A-A輪廓線控制點(diǎn)的坐標(biāo) mm

表2 靜止?fàn)顟B(tài)下車輛B-B輪廓線控制點(diǎn)的坐標(biāo) mm

3 動(dòng)態(tài)包絡(luò)線的獲取方法

3.1 獲取流程

本文以某地鐵車輛為例，研究獲取車輛的動(dòng)態(tài)包絡(luò)線的新方法，獲取方法流程如圖4所示，通過線路實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)獲取車輛運(yùn)行過程中的動(dòng)態(tài)偏移量再疊加由CJJ96-2003《地鐵限界標(biāo)準(zhǔn)》中的計(jì)算方法得到車輛的靜態(tài)偏移，基于三維空間幾何變換理論推導(dǎo)出方程，確定方程中的參數(shù)，利用Matlab軟件編寫函數(shù)來計(jì)算地鐵車輛在實(shí)際線路上運(yùn)行的整個(gè)過程中車輛的動(dòng)態(tài)輪廓及其上控制點(diǎn)的坐標(biāo)，最后通過Matlab編寫程序直接輸出車輛的動(dòng)態(tài)包絡(luò)線，最終實(shí)現(xiàn)車輛動(dòng)態(tài)包絡(luò)線的獲取。

圖4 獲取方法流程圖

本文在研究車輛的動(dòng)態(tài)包絡(luò)線問題時(shí)，先將計(jì)算截面簡化，如圖5所示。假設(shè)車體是絕對(duì)的剛體且質(zhì)量分布均勻，采用前文所述的坐標(biāo)系O-XYZ，要研究的問題可描述為已知?jiǎng)傂攒圀w平衡狀態(tài)下的各點(diǎn)的坐標(biāo)，車輛在線路上運(yùn)行時(shí)產(chǎn)生振動(dòng)，假設(shè)側(cè)滾角為φ，車輛發(fā)生的總的垂向偏移量為TZ，總的橫向偏移量為TY，總的縱向偏移量為TZ，車輛上存在一點(diǎn)Q，經(jīng)車輛振動(dòng)后Q(x，y，z)點(diǎn)最終變?yōu)辄c(diǎn)，兩者之間的關(guān)系可以用式（4）來表示。

圖5 計(jì)算截面簡圖

3.2 三維變換矩陣的參數(shù)確定

三維變換矩陣中的參數(shù)包括車輛在運(yùn)行過程中的側(cè)滾角φ以及各方向上的偏移量TX、TY、TZ，本文暫不考慮車輛縱向位移帶來的影響所以TX的取值為零。

1）總的垂向偏移量TZ

假設(shè)計(jì)算截面A-A，B-B，N-N(任意截面)內(nèi)由一系二系引起的車體的垂向偏移量分別為ZA、ZB、ZN，磨耗引起的垂向固定偏移量及各種安裝誤差等引起的垂向偏移量為Z、zi，其數(shù)值大小可參考CJJ96—2003《地鐵限界標(biāo)準(zhǔn)》得到。已知各輪對(duì)左側(cè)一系橫向坐標(biāo)yaycyeyg大小為-965 mm，右側(cè)一系橫向坐標(biāo)ybydyfyh大小為965 mm，前后轉(zhuǎn)向架左側(cè)二系橫向坐標(biāo)ypyq大小為-925 mm，前后轉(zhuǎn)向架右側(cè)二系橫向坐標(biāo)ymyn大小為925 mm，且已測(cè)得各輪對(duì)左右兩側(cè)一系引起的垂向偏移量za、zb、zc、zd、ze、zf、zg、zh，前后轉(zhuǎn)向架左右兩側(cè)二系引起的垂向偏移量zm、zn、zp、zq。經(jīng)分析可得在任意截面N-N內(nèi)，總的垂向偏移量為[4,10]

截面B-B內(nèi)，由一系二系引起的車體的垂向偏移量zB，可分為兩部分，一是由一系引起的車體的垂向偏移量用zB1來表示，二是由二系引起的車體的垂向偏移量用zB2來表示，則有

分別求解zB1和zB2，因?yàn)檐圀w是剛性的，所以對(duì)于截面B-B內(nèi)任意點(diǎn)由一系、二系引起的車體的垂向偏移量zB1、zB2而言，其值與在一系、二系左右位置測(cè)量出的垂向偏移量有關(guān)，之間的關(guān)系可以近似為線性的

綜上可求出截面B-B內(nèi)，由一系二系引起的車體的垂向偏移量ZB，令ZN=ZB再將其帶入式（5）中便得到截面B-B內(nèi)，車體總的垂向偏移量TZ。用同樣的方法可以計(jì)算出截面D-D內(nèi)總的垂向偏移量TZ。

已求出ZB、ZD后可計(jì)算除截面B-B、D-D外任意截面N-N內(nèi)一系二系引起的車輛的垂向偏移量ZN，已知各截面相互平行如圖3所示，車輛定距a大小為12 600 mm，以截面C-C所在的位置作為X軸的原點(diǎn)，正方向與車輛行進(jìn)方向一致，現(xiàn)在引入?yún)?shù)XN，表示任意截面N-N在X軸上的坐標(biāo)，則有：

令XN=XA，XN=XC代入式（9）即可求得截面A-A，C-C內(nèi)一系二系引起的車輛的垂向偏移量ZA、ZC。同樣在求其他任意計(jì)算截面內(nèi)一系二系引起的車輛的垂向偏移量時(shí)，只需要將上式中的參數(shù)換成所要計(jì)算的截面的X軸坐標(biāo)即可。綜上可求出任意截面N-N內(nèi)由一系二系引起的車輛的垂向偏移量ZN，再將其代入式（5）中便得到任意截面N-N內(nèi)總的垂向偏移量TZ。

2）車體總的橫向偏移量TY

車輛在線路上運(yùn)行時(shí)，車輛相對(duì)于軌道發(fā)生的橫向偏移量包括：輪對(duì)相對(duì)于軌道的發(fā)生橫向偏移Y1，轉(zhuǎn)向架相對(duì)于輪對(duì)的橫向偏移Y2，車體相對(duì)于轉(zhuǎn)向架的橫向偏移Y3，以及磨耗引起的固定偏移量各種安裝誤差等引起的偏移量yi。設(shè)在任意截面N-N內(nèi)輪對(duì)總的橫向偏移量為TY1，轉(zhuǎn)向架總的橫向偏移量為TY2，車體總的橫向偏移量為TY3，則有[4,10]

根據(jù)CJJ96—2003《地鐵限界標(biāo)準(zhǔn)》中規(guī)定的各個(gè)參數(shù)的值可以近似求得車輛總的橫向偏移量。

3）線路實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

運(yùn)行過程中車體的側(cè)滾角以及由一系二系引起的垂向偏移是隨時(shí)間變化的。前者是在車體地板中心安裝角位移傳感器測(cè)得的，后者是在一系二系對(duì)應(yīng)位置安裝位移傳感器測(cè)得的。為了使結(jié)果更精確更切合實(shí)際，在對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣時(shí)，將采樣頻率設(shè)置為2 000 Hz，采樣時(shí)間500 s,最終得到106個(gè)采樣點(diǎn)，即za、zb、zc、zd、ze、zf、zg、zh、zm、zn、zp、zq，這些參數(shù)均取出個(gè)數(shù)值。由于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)較多,此處僅列舉抽取的側(cè)滾角φ，以及一位輪對(duì)左，一系引起的垂向偏移量za，如圖6、圖7所示。

圖6 側(cè)滾角φ

圖7 垂向偏移量za

4 基于Matlab獲取車輛動(dòng)態(tài)包絡(luò)線的算例與分析

4.1 車輛動(dòng)態(tài)包絡(luò)線的獲取

在利用推導(dǎo)出的式（4）來計(jì)算車輛偏移后各個(gè)計(jì)算截面內(nèi)控制點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，需要很多輸入?yún)?shù),如靜止?fàn)顟B(tài)下計(jì)算截面輪廓線控制點(diǎn)的坐標(biāo)x、y、z以及TX，TY，TZ，φ (其中x以及TX為零)，且本文抽取的線路實(shí)際測(cè)量的參數(shù)均有106個(gè)數(shù)值，將這些參數(shù)帶入前文所推導(dǎo)的公式中計(jì)算得到ZA、ZB、ZN也均有106個(gè)。由于輸入和輸出的參數(shù)數(shù)量龐大，本文利用Matlab軟件[10]自行編寫函數(shù)來計(jì)算車輛偏移后各個(gè)計(jì)算截面內(nèi)控制點(diǎn)的坐標(biāo)，輸出所有偏移的截面輪廓，并通過Matlab中的delaunayTriangulation和convexHull函數(shù)來實(shí)現(xiàn)車輛動(dòng)態(tài)包絡(luò)線的獲取，計(jì)算流程如圖8所示。

圖8 計(jì)算流程圖

本文自行編寫的函數(shù)和腳本主要包括：

1）函數(shù)Bver，Dver，Nver，其作用是計(jì)算出各計(jì)算截面內(nèi)由一系二系引起的車體的垂向偏移量；

2）函數(shù)Balt，Dalt，Nalt，其作用是計(jì)算出各截面發(fā)生偏移后各控制點(diǎn)的坐標(biāo)；

3）Bplot，Dplot，Nplot，其作用是輸出各截面各個(gè)動(dòng)態(tài)偏移輪廓；

4）Bmax，Dmax，Nmax，其作用是得到各截面各個(gè)控制點(diǎn)的極限坐標(biāo)及最大的偏移輪廓，最終得到車輛的動(dòng)態(tài)包絡(luò)線。

通過Matlab中的delaunayTriangulation和convexHull函數(shù)，繪制出這些離散點(diǎn)的最大輪廓，從而實(shí)現(xiàn)車輛動(dòng)態(tài)包絡(luò)線的輸出[11]。此處僅列出程序中的部分代碼，具體內(nèi)容如下所示：

DT=delaunayTriangulation(y,z);

%此函數(shù)基于列向量y和z中的點(diǎn)創(chuàng)建二維Delaunay三角剖分（y、z為控制點(diǎn)的坐標(biāo)）

k=convexHull(DT)；

%此函數(shù)找到返回三角剖分的凸包的頂點(diǎn)

maxY=DT.Points(k,1)；

%各截面各個(gè)控制點(diǎn)的橫向的極限坐標(biāo)

maxZ=DT.Points(k,2)；

%各截面各個(gè)控制點(diǎn)的垂向的極限坐標(biāo)

plot(maxY,maxZ,‘r-’,‘LineWidth’,2)；

%畫出某計(jì)算截面的最大的偏移輪廓，即是所求的某計(jì)算截面內(nèi)車輛動(dòng)態(tài)包絡(luò)線

4.2 結(jié)果及分析

現(xiàn)將已得到車輛在某線路上運(yùn)行的動(dòng)態(tài)包絡(luò)線與CJJ96—2003《地鐵限界標(biāo)準(zhǔn)》中規(guī)定的限界進(jìn)行對(duì)比校核。查找到A1型地鐵車輛在高架線曲線段設(shè)備限界坐標(biāo)值輸入到Matlab中，最終得到利用本文所提出的方法獲取到的車輛動(dòng)態(tài)包絡(luò)線與標(biāo)準(zhǔn)中的規(guī)定的車輛限界之間的關(guān)系，此處僅列舉計(jì)算截面A-A、B-B與標(biāo)準(zhǔn)對(duì)比的結(jié)果，如圖9、圖10所示。

圖9、圖10中黑色的線是車體靜態(tài)的截面輪廓，黑色的點(diǎn)是控制點(diǎn)的位置，綠色的線是計(jì)算截面各個(gè)偏移的輪廓，品紅色的線是利用本文所提出的方法獲取到的車輛動(dòng)態(tài)包絡(luò)線，藍(lán)色的線是根據(jù)CJJ96—2003《地鐵限界標(biāo)準(zhǔn)》得到的車輛限界。從圖中可以看出本文所獲取到的車輛的動(dòng)態(tài)包絡(luò)線遠(yuǎn)小于標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的車輛限界，即車輛滿足限界要求，可在線路上安全運(yùn)行。

圖9 計(jì)算截面A-A的計(jì)算結(jié)果與對(duì)比圖

圖10 計(jì)算截面B-B的計(jì)算結(jié)果與對(duì)比圖

5 結(jié)論

本文基于三維空間幾何變換理論，采用線路實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)并疊加靜態(tài)偏移量，利用Matlab軟件計(jì)算地鐵車輛在實(shí)際線路上運(yùn)行的地鐵車輛動(dòng)態(tài)輪廓，得到所有動(dòng)態(tài)輪廓上控制點(diǎn)的坐標(biāo)，并輸出車輛的動(dòng)態(tài)包絡(luò)線，將其與CJJ96—2003《地鐵限界標(biāo)準(zhǔn)》中規(guī)定的限界進(jìn)行對(duì)比分析，得到如下結(jié)論：

1)本文所提出的車輛動(dòng)態(tài)包絡(luò)線獲取方法簡單便捷，可操作，易實(shí)現(xiàn)，采用線路實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)并疊加靜態(tài)偏移使得最終結(jié)果更切合實(shí)際，可以更加有效地利用限界的有效空間，也為以后的車輛限界計(jì)算提供新思路。

2)利用Matlab自行編寫函數(shù)，能夠快速處理大量的數(shù)據(jù)，使得車輛動(dòng)態(tài)包絡(luò)線獲取更迅速更便捷；通過編寫程序可直接輸出車輛動(dòng)態(tài)包絡(luò)線，無需采用CAD繪制最大輪廓圖。

3)將本文所獲取的車輛動(dòng)態(tài)包絡(luò)線與CJJ96—2003《地鐵限界標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的限界進(jìn)行對(duì)比分析，可知前者遠(yuǎn)小于后者，即車輛滿足限界要求。