【關(guān)鍵詞】反思經(jīng)歷;考究思考;分?jǐn)?shù)除法;數(shù)學(xué)思維

【背景】

杜威說：“我們不是從經(jīng)歷中學(xué)習(xí)，而是從反思經(jīng)歷中學(xué)習(xí)?！薄白寣W(xué)生在反思經(jīng)歷中學(xué)習(xí)”是全景式數(shù)學(xué)教育編織思考力培養(yǎng)課程和實(shí)施思考力培養(yǎng)活動的重要方式和路徑。筆者在臺灣和第七屆中國教育創(chuàng)新年會上執(zhí)教的“分?jǐn)?shù)除法”，就是一節(jié)讓學(xué)生在反思“思考經(jīng)歷”中學(xué)習(xí)的典型范式。在教學(xué)中，筆者期望學(xué)生在自主探索、創(chuàng)新多樣算法的同時(shí)，著重回味、反思每一種新創(chuàng)算法的經(jīng)歷，琢磨“它”到底是怎樣一步步想出來的，啟迪學(xué)生“思維的自我認(rèn)知”，讓學(xué)生逐步學(xué)會洞察自己和他人的思考機(jī)制、思考流程、思考方法、思考規(guī)律。長此以往，學(xué)生就能養(yǎng)成自覺從反思經(jīng)歷中學(xué)習(xí)的意識和習(xí)慣，養(yǎng)成自覺關(guān)注、重視思考機(jī)制、思考過程、思考方法、思考規(guī)律的意識和習(xí)慣，學(xué)會思考“思考”、考究“思考”，學(xué)會更好地獨(dú)立思考。同時(shí)，在不一樣的方法和思考中，看見更多的個(gè)性，產(chǎn)生更多的碰撞。而這，也正是讓學(xué)生的思維趨向多元、趨向完整、趨向深刻、趨向靈活、趨向批判不可或缺的重要磁場與路徑。下面，筆者把這節(jié)課的教學(xué)實(shí)錄以及相關(guān)思考簡述如下，敬請大家指正。

【教學(xué)過程】

一、奇算暖場

播放用十指直接掰“□□×9”的方法（□□的個(gè)位>十位）（詳見“全景式數(shù)學(xué)”微信公眾號“張宏偉老師陪你玩數(shù)學(xué)——數(shù)學(xué)手指游戲”系列https：//mp.weixin.qq.com/s/xyUP28cOmPbneh JYZPwIMA）。

學(xué)生大呼神奇，倍感驚異，原來兩位數(shù)乘9還可以這樣算。

師：很多數(shù)學(xué)知識都像這樣，背后隱藏著很神奇的秘密。

二、原態(tài)計(jì)算

生（出奇地一致）：簡單！

師：把大家都認(rèn)為很簡單的事情做出不一樣來，是很不簡單、很了不起的事情。你能用5種以上不同的方法計(jì)算它嗎？

生（非常意外、異口同聲）：??？

師：只要你想盡一切辦法去做，大膽嘗試，你一定能！

三、另類計(jì)算

學(xué)生獨(dú)立嘗試，教師巡視，很快采集到了5種不同的算法。

師：少數(shù)學(xué)生研究出5種新算法后，就停止了嘗試和思考。2020年11月7日，我在臺灣上這節(jié)課時(shí)，全班的算法超過了7種！

一些研究出5種算法的學(xué)生又開始了新的探索，之后小組交流。

四、考究“思考”

師：我非常激動、非常自豪！你們又創(chuàng)造出了7種算法，加上剛才的1種，一共8種，太了不起了！想不想把這7種新算法都欣賞欣賞？

生：想！

師（一一板書7種方法）：比這些算法更重要的，是你要試著思考“思考”（板書），也就是看透每一種解法人家（自己）是如何一步步思考出來的，嘗試看見每一步觸發(fā)思考的節(jié)點(diǎn)，看見如何鏈接已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，看見思考的流程、機(jī)制和規(guī)律，這是學(xué)習(xí)中最重要的事情。因?yàn)槲覀儾皇菑慕?jīng)歷中學(xué)習(xí)，而是從反思經(jīng)歷中學(xué)習(xí)（板書）。下面，我們先一起來反思“以童宇成同學(xué)為代表的算的經(jīng)歷”，研究他們是如何一步步思考出這種算法的。

生：我猜他是看到分?jǐn)?shù)想到了小數(shù)，就想，能不能把分?jǐn)?shù)除法變成小數(shù)除法。

師：這種方法是由“分?jǐn)?shù)÷分?jǐn)?shù)”中的誰下手開啟思考的？

生：分?jǐn)?shù)。

師：由分?jǐn)?shù)聯(lián)想到小數(shù)，需要搜索、聯(lián)想學(xué)過的哪個(gè)知識，才能實(shí)現(xiàn)從分?jǐn)?shù)→小數(shù)呢？

生：分?jǐn)?shù)和小數(shù)互化，用分子除以分母，就變成了小數(shù)。

教師相機(jī)板書這種算法的思維流程和觸發(fā)機(jī)制：分?jǐn)?shù)→小數(shù)→怎么變→子÷母→小數(shù)除法。

生：我猜她也是從分?jǐn)?shù)下手，看見分?jǐn)?shù)想到整數(shù)，然后想“怎么變成整數(shù)，商又不變呢？”，就用被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘相同的數(shù)。

師：真好！0要除外。這是聯(lián)想學(xué)過的哪個(gè)知識點(diǎn)來解決的？

生：商不變的性質(zhì)。

教師讓馬東籬自己說一遍自己是怎么一步步把這個(gè)想法想出來的，并板書：分?jǐn)?shù)→整數(shù)→怎么變→利用商不變的性質(zhì)→整數(shù)除法。

學(xué)生在討論中理清了曹同學(xué)的思維流程和觸發(fā)機(jī)制：分?jǐn)?shù)→整數(shù)→怎么變→利用分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系→分?jǐn)?shù)就是整數(shù)除以整數(shù)→再利用學(xué)過的運(yùn)算定律→整數(shù)除法。

引導(dǎo)學(xué)生對比：同樣是把分?jǐn)?shù)除法變成整數(shù)除法，馬氏算法和曹氏算法在哪個(gè)思考節(jié)點(diǎn)上不同，為什么會產(chǎn)生這樣的不同？

生1：因?yàn)榍懊孀龀隽私Y(jié)果是32，反過來看除法式子，發(fā)現(xiàn)用分子9除以分子3正好等于3，用分母10除以分母5等于2，所以就想用分子除以分子作分子，用分母除以分母作分母。

師：把已知的正確結(jié)果放回原題中，去尋找它們的關(guān)系和規(guī)律，這是一種非常棒的研究方法，叫“執(zhí)果索因”。還有不同的猜想嗎？

生2：我看到分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)想起了分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)的算法“分子乘分子作分子，分母除以分母作分母”，順著這個(gè)思路，我就想是不是除法就是“分子除以分子作分子，分母除以分母作分母”，我一試，真的行。

師：這種算法與前面三種算法下手的點(diǎn)一樣嗎？

生：不一樣，他們是從“分?jǐn)?shù)”下手，劉雨鑫是從“÷”下手……

教師板書：從除法下手，除法→乘法→乘法算法：子×子作子、母×母作母→除法：子÷子作子、母÷母作母。

生2：我想除法和乘法的意思是相反的，那么它們算的方法也應(yīng)該是相反的，乘法是分子乘分子，現(xiàn)在分子不去乘分子了，反過來去乘分母作分子;分母也不去乘分母作分母了，反過來去乘分子作分母。

童宇成不住地點(diǎn)頭，說自己就是這樣想的。

六、驗(yàn)證——從具體到一般、從歸納到演繹

師：我們研究出了11種算法，基本上搞明白了它們是怎樣一步步思考出來的，還分析了它們的共同點(diǎn)與聯(lián)系，到這里可以停止了嗎？

生：不能。

師：那下一步要做什么？（生茫然）這道題的確可以用小數(shù)計(jì)算，可是……

學(xué)生先后想到：（1）分?jǐn)?shù)如果不能化成有限小數(shù)時(shí)，這種方法就不能用了;（2）這種方法不能做所有的分?jǐn)?shù)除法;（3）這些方法都要驗(yàn)證，看看是不是適用于所有的分?jǐn)?shù)除法;（4）“子÷子作子”“母÷母作母”，只有分子、分母都能整除時(shí)才能用，而且簡便，但是，當(dāng)分子、分母不能整除時(shí)不能用。

師：太棒了！不同的分?jǐn)?shù)除法各有更適合自己的算法。我們要根據(jù)具體情況靈活選擇更合適的方法來解決。那么，這些方法到底怎么來驗(yàn)證呢？

生：多舉一些例子！

師：舉例法是人們發(fā)現(xiàn)規(guī)律常用的方法，但是一些分?jǐn)?shù)除法能用，并不能代表所有的分?jǐn)?shù)除法都能用。想一想，在數(shù)學(xué)里，什么可以代替、代表所有的數(shù)？

生：字母！用字母來證明！

于是，師生一起完成了證明（如圖1，a、b、c、d 都不等于0）。

學(xué)生從上文所述的8（1）算法、8（3）算法、方程算法中自選其一嘗試用字母證明，因篇幅有限，這里僅分享學(xué)生對8（1）算法的證明（如圖2，a、b、c、d 都不等于0）。

七、第二次整體回顧——覺醒自己的改變

師：和上課之前相比，你的思想認(rèn)識發(fā)生了哪些改變？有了哪些新的感受或感慨？

學(xué)生反饋如下：（1）我原來以為分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)只有乘除數(shù)的倒數(shù)這一種算法，沒想到竟然有這么多種算法;（2）我知道了要思考“思考”，知道了怎么一步步去思考;（3）不僅要學(xué)別人怎么做題，更要學(xué)別人怎么思考……

【課程創(chuàng)生的價(jià)值和意義】

本節(jié)課教學(xué)，除了開篇提到的嘗試啟迪學(xué)生“思維的自我認(rèn)知”，讓他們學(xué)會“在反思經(jīng)歷中學(xué)習(xí)”，學(xué)會考究自己和他人如何思考，學(xué)會更好地獨(dú)立思考，鞏固、打通、提升分?jǐn)?shù)除法的知識和技能，筆者還試圖達(dá)成以下幾項(xiàng)更重要、更深層的目標(biāo)：其一，為學(xué)生打開更多的窗。讓學(xué)生看見通常學(xué)習(xí)中很多“沒看見”的東西——看見更多思考、更多方法、更多可能、更多驚奇;看見打通、印證、殊途同歸;看見更多聯(lián)系、更豐富多彩的數(shù)學(xué)世界，進(jìn)一步開闊學(xué)生的視野，激發(fā)他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣、信心和好奇心。其二，高年級要延續(xù)歸納能力的培養(yǎng)，更要注重演繹能力的培養(yǎng)（后面的字母證明就是），讓學(xué)生不僅看見歸納的數(shù)學(xué)，更看見演繹的數(shù)學(xué)。其三，拋磚引玉。數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)。筆者希望大家在日常教學(xué)中能像“分?jǐn)?shù)除法”這節(jié)課一樣，在教每一項(xiàng)內(nèi)容、上每一節(jié)課甚至做每一道題時(shí)，都能明晰：它培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的課程價(jià)值到底是什么？它能給學(xué)生的思考力帶來哪些增量？即它能在豐富思維方法、改善思維方式、啟迪“思維的自我認(rèn)知”等方面提供哪些支撐？為學(xué)生的思維成長做出哪些貢獻(xiàn)？……努力把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重心從過度注重?cái)?shù)學(xué)知識技能的獲取，更多地轉(zhuǎn)移、回歸、聚焦到數(shù)學(xué)思考能力的系統(tǒng)培養(yǎng)上，啟生心智，開其慧根，使數(shù)學(xué)知識的教學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)閱⒌蠑?shù)學(xué)智慧的教育。