田大平，汪 敏

（江漢大學 人工智能學院，湖北 武漢 430056）

Laplace 算子在黎曼流形上的表達式可以簡單地理解為將散度算子作用于梯度算子的一個常見的二階橢圓微分算子［1?2］。在歐氏空間中的直角坐標系下，Laplace 算子的表達式形式非常整齊，即為對各個變量的二階偏導數(shù)的和。但是，在三維歐氏空間的柱坐標系和球坐標系下，Laplace 算子的表達式就比較復雜。文獻［1］以習題的形式給出了Laplace 算子在球坐標系下的表達式，但沒有給出具體的推導過程。關(guān)于Laplace 算子在各種標架場下的表達式的推導已有許多不同的方法。文獻［3］從Hamilton 算子出發(fā)推導出Laplace 算子在球坐標系下的表達式；文獻［4］從Green 公式出發(fā)應用變分法推導出Laplace 算子在柱坐標系下的表達式；文獻［5］采用幾何拼裝法推導出Laplace 算子的表達式；文獻［6］研究了在球坐標系和柱坐標系下作用于矢量函數(shù)的Laplace 算子。另外，Laplace 算子的應用涉及面非常廣泛，如文獻［7］研究了正交標架叢上Laplace 算子的應用，文獻［8］研究了Yamabe 流上Laplace 算子特征值的單調(diào)性應用。除了在數(shù)學的各分支學科上的應用外，在計算機科學、物理學等學科中也會涉及到Laplace 算子的應用，如文獻［9］研究了應用Laplace 算子設(shè)計高通濾波器進行圖像增強，文獻［10］研究了基于原子體積場Laplace 算子對金屬玻璃剪切轉(zhuǎn)變區(qū)的預測。

從黎曼幾何的角度出發(fā)，Laplace 算子就是將散度算子作用于黎曼流形上的光滑函數(shù)的梯度場，其表達式非常簡單。本文將黎曼流形特殊成歐氏空間，可以通過計算直接推導出Laplace 算子在直角坐標系下的表達式。然后應用直角坐標系與柱坐標系以及球坐標系之間的變換公式，通過計算可以分別推導出Laplace 算子在柱坐標系以及球坐標系下的具體表達式。

1 預備知識

首先給出本文中需要用到的一些記號。光滑流形M上的全體光滑切向量場（即C∞切向量場）的集合記為（M）。g，和?分別記為三維歐氏空間R3上的直角坐標系、柱坐標系和球坐標系下的度量。gij，和?ij分別記為矩陣(gij)、()和(?ij)(i,j= 1,2,3)的逆矩陣中對應位置的元素。C∞(R3)表示R3上的全體光滑函數(shù)的集合。

用D表示黎曼流形(M,?)上的協(xié)變微分算子。設(shè)X∈（M），則DX是M上光滑的(1,1)型張量場。將DX作縮并，便可得到M上一個光滑函數(shù)，記為

定義1［2］線性映射div：（M）→C∞(M)稱為黎曼流形(M,?)上的散度算子。設(shè)X（M），稱divX為切向量場X的散度。

設(shè)(U;xi)是M的一個局部坐標系，令

則

式中，G=det(gij)。

定義2［2］設(shè)f∈C∞(M)，定義切向量場?f:C∞(M) →（M）為

稱切向量場?f為光滑函數(shù)f的梯度場。

將散度算子div 作用于?f，便得到從C∞(M)到C∞(M)的線性映射，記作Δ:C∞(M)→C∞(M)，即對于任意的f∈C∞(M),Δf= div(?f)。

定義3［2］線性映射Δ:C∞(M) →C∞(M)稱為黎曼流形(M,?)上的Laplace 算子。

在M的局部坐標系(U;xi)下，有

設(shè)三維歐氏空間R3上的直角坐標系(x,y,z)與柱坐標系(r,θ,z)及球坐標系(r,φ,θ)之間變換公式為

與

2 結(jié)論

定理1設(shè)R3上的直角坐標系(x,y,z)與柱坐標系(r,θ,z)及球坐標系(r,φ,θ)之間分別有方程（2）和（3）的變換公式，則Laplace 算子Δ在柱坐標系及球坐標系下的表達式分別為

與

證明將黎曼流形M3特殊成歐氏空間R3，并且關(guān)于R3上的標準歐氏度量g有

從而有

對于任意的f∈C∞(R3),由（1）式可得，f在直角坐標系(x,y,z)下的Laplace 表達式為

因此，Laplace 算子Δ在R3上的直角坐標系(x,y,z)下的表達式為

下面先證明式（4）。由方程（2）可得

則關(guān)于R3上的柱坐標系(r,θ,z)下的度量有

從而有

對于任意的f∈C∞(R3),由（1）式可得其在柱坐標系(r,θ,z)下的Laplace 表達式為

于是，Laplace 算子Δ在R3上的柱坐標系(r,θ,z)下的表達式為

即式（4）得證。

同理，由方程（3）可得

則關(guān)于R3上的球坐標系(r,φ,θ)下的度量?有

從而有

對于任意的f∈C∞(R3),由（1）式可得，其在球坐標系(r,φ,θ)下的Laplace 表達式為

于是得到Laplace 算子Δ在R3上的球坐標系(r,φ,θ)下的表達式為

即式（5）得證。