韋征，江玉生

中國礦業(yè)大學(北京)力學與建筑工程學院，北京 100083

城市地下軌道交通因其高效、便捷等優(yōu)勢，在日常通勤中扮演重要角色。在城市軌道交通線網(wǎng)高密度化的趨勢下，隧道間近距離交叉穿越的情況越來越多[1-7]。為保持既有隧道結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，在復雜的地質(zhì)環(huán)境下，研究新隧道對鄰近既有隧道的影響是十分必要的。

近年來，許多學者通過現(xiàn)場觀測和理論分析[8-12]，研究了盾構(gòu)上跨對既有隧道的影響；通過物理模型試驗[13-16]定量研究盾構(gòu)上跨過程中既有隧道與周圍土體的關系；隨著計算機軟件的不斷發(fā)展，人們通過數(shù)值模擬研究探討復雜地質(zhì)環(huán)境下的新舊隧道相互作用機理[17-23]。然而，這些研究大多沒有詳細研究盾構(gòu)上跨過程中既有隧道的剪切變形及如何快速預測隧道變形的方法。

理論解析法以彈性力學為支撐，因其簡單實用而被應用于快速預測隧道相互作用及內(nèi)力計算。理論解的基本假設通常將隧道簡化為等值長梁或彈性Euler-Bernoulli梁。Euler-Bernoulli梁理論假定，梁彎曲變形過程中其橫截面始終保持不變并與彎曲軸線相垂直，如圖1所示。然而，隧道是由錯縫交叉的管片通過螺栓連接，連接處的剪切變形遠大于管片自身的剪切變形，因此不能忽略螺栓連接處的剪切變形。

圖1 Timoshenko梁與Euler-Bernoulli梁變形示意圖Fig.1 Schematic diagram of timoshenko beam and Euler-Bernoulli beam deformation

隧道發(fā)生彎曲變形的同時，產(chǎn)生剪切變形，本文考慮了管片間接縫，對理論解析法進行改進。首先，將隧道簡化為擱置于Winkler彈性地基上具有剪切變形的Timoshenko梁[24]，通過計算盾構(gòu)開挖引起土體損失率對既有隧道位置處土體位移，建立隧道縱向位移平衡微分方程；通過有限差分法，求得縱向位移及彎矩、剪力、管片間錯臺量內(nèi)力值。其次，通過盾構(gòu)單線、雙線上跨既有隧道工程案例，論證理論解析法的正確性。最后，通過與Euler-Bernoulli梁計算得到的彎矩、剪力等內(nèi)力值對比，驗證考慮隧道剪切變形的必要性。同時，分析土體損失率與既有隧道的縱向位移、彎矩、剪力及管片錯臺量的相關性。

1 隧道縱向位移理論解

1.1 盾構(gòu)開挖引起地層位移

盾構(gòu)上跨在既有隧道位置處引起的土體位移以縱向位移為主。本文采用Loganathan[25]在軟黏土地層中由地層損失引起的縱向位移表達式?？紤]盾構(gòu)上跨既有隧道水平方向并非垂直穿越情況(圖2)，對Loganathan給出的公式進行補充修正：

(1)

圖2 盾構(gòu)斜穿既有隧道示意圖Fig.2 Schematic diagram of shield tunneling up-crossing existing tunnel at a certain angle

1.2 地層位移引起隧道縱向變形

既有隧道在盾構(gòu)上跨引起地層位移作用下產(chǎn)生隆起變形及內(nèi)力變化?？紤]既有隧道接頭對整體剪切剛度的削弱，采用Timoshenko梁模型模擬隧道的變形與內(nèi)力變化。與Euler-Bernoulli梁理論不同，Timoshenko梁理論假定：在梁受力變形前，任意一梁截面與中性軸垂直相交；在受力變形后，梁截面不再與中性軸垂直相交，而且在剪切變形作用下截面與中性軸法線方向成一定夾角，并產(chǎn)生剪切變形，如圖1所示；同時，隧道發(fā)生變形后，地層與隧道相互作用通過Winkler地基模型模擬，認為隧道與彈簧接觸面不發(fā)生分離；土體簡化為均質(zhì)土層，暫不考慮土體固結(jié)沉降、蠕變。

圖3為盾構(gòu)開挖對既有隧道的縱向變形影響分析示意圖。在地層損失引起的位移作用下，既有隧道剪力Q、彎矩M平衡方程如下：

(2)

(3)

圖3 盾構(gòu)開挖對既有隧道的縱向變形影響示意圖Fig.3 Schematic diagram of the influence of shield tunneling on longitudinal deformation of existing tunnels

式中，k為地基系數(shù)；D為隧道外徑；h(x)為隧道縱向位移。

為了更加準確計算既有隧道的縱向變形與內(nèi)力，考慮管片接頭對隧道整體剪切剛度的影響，即隧道發(fā)生彎曲變形后隧道截面不再與中性軸垂直，隧道剪切剛度變化由圖1幾何關系計算得出。因此，將既有隧道簡化為考慮剪切變形的Timoshenko梁，更能準確反映隧道彎曲變形大小及內(nèi)力變化。

根據(jù)Timoshenko梁假定，隧道彎矩、剪力可表示為

(4)

(5)

式中，(EI)eq為隧道等效抗彎剛度；(κGA)eq為隧道等效剪切剛度。

聯(lián)立式(1)至式(5)得到考慮隧道剪切變形的縱向位移平衡微分方程

(6)

式(6)為高階常微分方程，不便于直接求解?；谟邢薏罘衷?，可將隧道等份額的進行差分。隧道被等份額差分為n+5個單元，其中4個虛擬單元位于隧道兩端，每端各2個。單元長度為l。根據(jù)有限差分原理，式(6)的有限差分形式為

(7)

式中，hi-2，hi-1，hi，hi+1，hi+2分別為單元i-2，i-1，i，i+1，i+2縱向位移，uz，i-1，uz，i，uz，i+1分別為單元i-1，i，i+1通過修正后的Loganathan解得到的地層位移。

對于樁基邊界，假定樁基兩端自由，則樁基兩端彎矩M及剪力分別為0，即

M0=Mn=0

(8-1)

Q0=Qn=0

(8-2)

根據(jù)有限差分原理：

(9-1)

(9-2)

(10-1)

(10-1)

由式(8)至式(10)得到，隧道兩端額外4個虛擬節(jié)點單元的位移表達式如下：

(11)

令

式(11)代入位移方程式(6)，得

[K]{h}=[J]{U}

(12)

式中，{h}為隧道縱向位移矩陣；{U}為修正后的Loganathan地層位移矩陣；[K]、[J]分別為公式的系數(shù)矩陣。

(13)

{h}={h0(x)，h1(x)，h2(x)，…，hn-2(x)，hn-1(x)，hn(x)}T

(14)

(15)

{U}={uz，0(x)，uz，1(x)，uz，2(x)，…，uz，n-2(x)，uz，n-1(x)，uz，n(x)}T

(16)

式(12)轉(zhuǎn)換成位移公式可表示為

{h}=[K]-1[J]{U}

(17)

式中，[K]-1為[K]的逆矩陣。

通過式(17)得到既有隧道縱向位移解析解。式(2)至式(5)得到隧道彎矩、剪力解析解。

當隧道等效剪切剛度(κGA)eq是無窮大，即不考慮隧道剪切變形時，上述方程將退化為基于Winkler地基的Euler-Bernoulli梁模型方程。

2 方程參數(shù)

考慮管片接縫對隧道整體剪切剛度的影響，一些學者將Timoshenko梁[29]應用于分析隧道的變形及內(nèi)力。隧道發(fā)生彎曲變形橫截面雖然為一平面，但不再與中性軸垂直相交，而是在剪切作用下截面與中性軸法線方向呈φ夾角(圖1)，并產(chǎn)生剪切變形，根據(jù)力學平衡方程：

(18a)

(18b)

M=kcEIQ=φκGA

(18c)

式中，M為彎矩；Q為剪力；q為產(chǎn)生彎曲變形的外荷載；h為梁中性軸撓度；φ為剪切角；φ為橫截面的旋轉(zhuǎn)角；kc為中性軸曲率；E為土體彈性模量；I為梁橫截面的面積慣性矩；κ為Timoshenko梁剪切系數(shù)；G為梁的剪切模量；A為梁的橫截面積。

在以往的分析中，研究者通常將隧道假設為由連續(xù)的混凝土管片組成的筒體結(jié)構(gòu)，如Euler-Bernoulli梁。這樣僅能分析隧道的彎曲變形，沒有考慮管片縱向與環(huán)向的螺栓接縫的存在，忽略了剪切變形。實際中，隧道產(chǎn)生彎曲變形的同時，伴隨有剪切變形。因此，隧道簡化成具有抗彎剛度和抗剪強度的Timoshenko梁，以下就從這兩方面展開探討。圖4為Timoshenko梁簡化模型。

圖4 Timoshenko梁簡化模型Fig.4 Simplified model of Timoshenko beam

2.1 等效抗彎剛度

Liao 等[26]提出，考慮管片間接縫的存在，當隧道發(fā)生彎曲變形時存在一個等效抗彎剛度(EI)eq，使得旋轉(zhuǎn)角θ等于管片轉(zhuǎn)角θsg與管片間接縫轉(zhuǎn)角θjt的和，即

θ=θsg+θjt

(19)

Shiba等[27]修正了等效抗彎剛度(EI)eq的計算方法(圖5)，將兩個半管片及管片之間螺栓接縫部分作為研究單元。管片部分的長度為lsg，螺栓接縫的影響長度為kljt，其中l(wèi)jt為連接螺栓接縫的長度，k為螺栓接縫的影響因素。假定隧道發(fā)生彎曲變形時，隧道橫截面保持平面，各橫截面的中性軸位置相同；螺栓沿環(huán)向均勻分布，且具有相同的力學性能；不考慮螺栓的預緊力；螺栓承受抗拉變形，管片承受抗壓變形?；谝陨霞俣ǎ鶕?jù)環(huán)向管片間接縫幾何關系，給出中性軸轉(zhuǎn)角ψ與管片間接縫轉(zhuǎn)角θjt的表達式如下：

(20a)

(20b)

圖5 等效抗彎剛度的計算圖示Fig.5 Diagram of equivalent flexural rigidity calculation

式中，n′為環(huán)向螺栓個數(shù)；kjt為管片接縫處平動剛度；Esg為管片彈性模量；Isg為管片環(huán)截面的面積慣性矩；Ajt、Asg分別為螺栓和管片橫截面積。

隧道發(fā)生彎曲變形時，管片間接縫的旋轉(zhuǎn)角變化速率遠大于管片旋轉(zhuǎn)角。因此，假定管片旋轉(zhuǎn)角變化在單位時間內(nèi)被視為線性變化，即

(21)

將式(20b)、式(21)代入式(19)，得到隧道等效抗彎剛度表達式為

(22)

2.2 等效剪切剛度

Liao等[26]提出管片接縫影響范圍的概念。當隧道發(fā)生剪切變形時，存在一個等效剪切剛度(κGA)eq，使得隧道剪切變形U等于管片剪切變形Usg與管片間接縫剪切變形Ujt的和，即

U=Usg+Ujt

(23)

(24)

(25)

式中，n′為環(huán)向螺栓個數(shù)；κjt、κsg分別為螺栓及管片環(huán)向剪切系數(shù)，對于圓形截面螺栓，通常κjt取0.9，κsg取0.5；Gjt、Gsg分別為螺栓剪切剛度及隧道管片剪切剛度；Esg、Ejt分別為管片、螺栓彈性模量；υsg、υjt分別為管片、螺栓的泊松比；Ajt、Asg分別為螺栓和管片橫截面積。

將式(24)、式(25)代入式(23)，計算公式假設管片接縫處的剪力完全由螺栓承受，忽略管片間摩擦力。因此，引入等效剪切剛度修正因子μ對公式進行修正，本文取μ=1。同時，得到隧道等效剪切剛度表達式為

(26)

同理，根據(jù)幾何關系，管片間接頭縫隙處的錯臺量δ可表示為

(27)

2.3 地基模型參數(shù)

地基系數(shù)k是Winkler地基模型的重要參數(shù)。Vesic[28]通過等直長梁與均質(zhì)各項同性地基相互作用的載荷試驗，綜合考慮梁的剛度與地層特性，給出地基系數(shù)表達式：

(28)

式中，Es為土體彈性模量；EI為梁的抗彎剛度，可用梁的等效抗彎剛度(EI)eq等值替換；B用隧道外徑D等值替換。

Vesic提出的理論通過試驗和工程案例得到了論證。然而，城市地下隧道具有一定埋深，此理論不再適用。Attewell等[29]考慮隧道埋深，修正了地基系數(shù)。本文采用Attewell等修正后的地基系數(shù)k表達式：

(29)

3 案例驗證

3.1 單線上跨既有隧道

黃德中、戴仕敏等[30-31]報道了上海外灘隧道近距離以75°夾角上跨2號線雙線平行隧道案例。如圖6所示，2號線平行雙線隧道外徑同為6.2 m，內(nèi)徑5.5 m，環(huán)寬1 m，水平向距離14.4 m。軸線埋深27 m，位于灰色黏土和灰色粉質(zhì)黏土間，地層土體物理參數(shù)見表1。因2號線所在地層有較高含水量，且抗壓強度小，在上跨穿越過程中及通過后，對2號線隧道結(jié)構(gòu)變形進行了實時監(jiān)測。

圖6 外灘通道上跨2號線隧道示意圖Fig.6 Schematic diagram of the Bund Passage up-crossing Line-2 tunnel

表1 現(xiàn)場地層力學參數(shù)Tab.1 Soil parameters of the site

新建上海外灘隧道采用土壓平衡盾構(gòu)法施工，主要穿越灰色泥質(zhì)黏土層和灰色黏土層，如圖6所示。開挖半徑為7.135 m，隧道外徑為13.95 m，隧道內(nèi)徑為12.75 m，襯砌管片厚度為0.6 m，環(huán)寬2 m，軸線埋深15.4 m。盾構(gòu)掘進至既有隧道頂部，盾構(gòu)底部距離2號線頂部最小間距僅為1.46 m。

2號線隧道襯砌結(jié)構(gòu)力學性能參數(shù)見表2。根據(jù)式(22)、式(26)計算得到2號線所在地層等效抗彎剛度和等效剪切剛度分別為7.8× 104MN·m2，2.5×103MN/m。綜合考慮既有隧道所在灰色黏土層和灰色粉質(zhì)黏土層，土體泊松比取0.33，彈性模量取17.5 MPa。盾構(gòu)上跨既有隧道過程中進行了良好的同步注漿，地層損失率取0.2%。

表2 2號線隧道管片參數(shù)Tab.2 Line-2 tunnel segment parameters

既有隧道在盾構(gòu)穿越過后表現(xiàn)為隆起，2號線雙線縱向位移理論值與實測值[31]趨勢均保持一致，驗證本文方法的正確性，如圖7所示。

圖7 實測數(shù)據(jù)與本文解析解對比Fig.7 Comparison between measured tunnel displacement and analytical solutions

3.2 雙線上跨既有隧道

陳亮等[32]報道了上海地鐵8號線上跨既有2號線工程案例。地鐵8號線曲阜路站—人民廣場站區(qū)間平行雙線隧道，分別為上行線與下行線，采用土壓平衡盾構(gòu)法施工。盾構(gòu)主要穿越泥質(zhì)粉質(zhì)黏土層、泥質(zhì)黏土層和粉質(zhì)黏土層。開挖半徑為3.175 m，隧道外徑為6.2 m，隧道內(nèi)徑為5.5 m，襯砌管片厚度為0.35 m，環(huán)寬1 m，軸線埋深15.4 m。盾構(gòu)施工過程中上跨既有運營2號線風險源。

圖8 上海地鐵8號線上跨2號線示意圖Fig.8 Schematic diagram of Shanghai Metro Line 8 up-crossing Line 2

既有2號線平行雙隧道，外徑與內(nèi)徑分別為6.2 m和5.5 m，環(huán)寬1 m，兩隧道軸線水平向距離為18 m，其中南線、北線軸線埋深16.185 m和16.111 m。研究區(qū)間隧道所在地層主要為灰色黏土層和灰色粉質(zhì)黏土層，主要土體物理參數(shù)見表3。

表3 現(xiàn)場地層力學參數(shù)Tab.3 Soil parameters of the site

盾構(gòu)以水平方向76°夾角完成上跨穿越，盾構(gòu)底部距離2號線南線、北線頂部最小縱向間距分別為1.33 m和1.35 m。為確保盾構(gòu)施工對既有隧道穩(wěn)定性，在上跨穿越前后對2號線縱向位移變形進行了布點監(jiān)測。

根據(jù)表3地層參數(shù)，既有隧道所在土體彈性模量為17.5 MPa。取地基平均泊松比為0.33，由式(39)可得到地基反力系數(shù)k=3.76 MN/m3。根據(jù)吳昌勝等[33]計算方法，結(jié)合上海地區(qū)泥質(zhì)粉質(zhì)黏土層、泥質(zhì)黏土和粉質(zhì)黏土層盾構(gòu)施工引起地層損失率計算公式，8號線盾構(gòu)開挖引起的地層損失率為0.2%。根據(jù)式(22)、式(26)計算得到2號線所在地層等效抗彎剛度和等效剪切剛度分別為7.8×104MN·m2和2.5×103MN/m。

圖9為隧道隆起理論解與現(xiàn)場監(jiān)測結(jié)果對比圖。8號線上行線第一次上跨2號線南線之后，2號線南線最大隆起值位于8號線上行線軸線處。計算值略大于實測值，與防止既有隧道變形過大采取抑制措施有關。8號線下行線二次穿越2號線南線之后，由于盾構(gòu)二次上跨既有2號線南線引起縱向位移疊加，2號線南線最大隆起位置不在8號線下行線軸線處。對比計算結(jié)果與實測發(fā)現(xiàn)，計算結(jié)果雖然略大于實測值，但既有2號線南線隆起趨勢與計算結(jié)果保持一致。此外，盾構(gòu)二次穿越既有2號線北線隧道縱向位移具有同樣的規(guī)律。

圖9 2號線監(jiān)測數(shù)據(jù)與本文解析解對比圖Fig.9 Comparison between Line-2 measured tunnel displacement and analytical solutions

4 參數(shù)分析

通過與兩個有代表性工程實例的比較，驗證了所提方法的有效性。本節(jié)通過一系列參數(shù)分析，探討了隧道剪切剛度、土體損失率等因素對既有隧道的影響。

4.1 剪切剛度影響

圖10為考慮隧道剪切變形的Timoshenko梁與不考慮剪切變形的Euler-Bernoulli梁模型的隧道彎矩M、剪切力Q及管片錯臺量δ對比。

圖10 Timoshenko梁與Euler-Bernoulli梁模型對隧道變形及內(nèi)力影響的對比Fig.10 Calculation of tunnel longitudinal deformation and internal force by Timoshenko beam and Euler-Bernoulli beam

由圖10對比發(fā)現(xiàn)，兩者的隧道彎矩及剪切力變化趨勢基本一致，但Euler-Bernoulli梁模型假定隧道等效剪切剛度為無窮大，不考慮剪切效應，計算得到的結(jié)果均明顯大于Timoshenko梁模型計算值。Timoshenko梁考慮隧道剪切效應，可以進一步得到隧道的管片錯臺量δ變化。Euler-Bernoulli梁假定梁的等效剪切剛度無窮大，不能考慮隧道剪切效應，無法進一步得到管片錯臺量的變化?？梢?，基于Euler-Bernoulli梁理論的計算方法往往高估隧道的剪切力、彎矩等內(nèi)力，若應用其結(jié)果進行隧道加固處理，勢必導致加固過度保守，造成不必要的浪費。

隨著隧道剪切剛度的增大，管片錯臺量逐漸減小(圖11)，當隧道剪切剛度增大到一定值時，管片錯臺量變化趨于0。這是因為當隧道剪切剛度為無窮大時，Timoshenko梁模型退化成為不考慮剪切變形的Euler-Bernoulli梁模型。隧道只考慮發(fā)生彎曲變形、錯臺量為0時，不發(fā)生剪切變形。因此，在設計盾構(gòu)隧道時，應保證隧道管片接頭具有一定的抗剪強度，以免隧道管片錯動較大造成結(jié)構(gòu)破壞、漏水垮塌等問題。

圖11 等效剪切剛度對既有管片錯臺量的影響Fig.11 The effect of equivalent shear stiffness on the dislocation of segmen

5.2 土體損失率影響

圖12給出了不同地層損失率V1與隧道最大位移Wmax、最大彎矩Mmax、最大剪力Qmax、管片錯臺量最大值δmax的對應變化關系，變化規(guī)律基本符合線性變化特征。一方面，土體損失率與隧道位移、彎矩、剪切力、管片錯臺量呈線性相關；另一方面，應加強對盾構(gòu)施工的精確化操作，避免盾構(gòu)脫離軌道而引起不必要的施工縫隙。當盾構(gòu)施工過程中產(chǎn)生超挖時，應及時做好同步注漿填充，必要時進行二次補漿，降低土體損失率，從而減少隧道本身變形及內(nèi)力。

圖12 地層損失率對隧道變形及內(nèi)力影響Fig.12 Effects of ground volume loss ratio on dislocations and internal forces of tunnel

6 結(jié) 論

在理論解析法分析盾構(gòu)上跨既有隧道時，常把隧道簡化為彈性直梁或者Euler-Bernoulli梁，沒有考慮隧道的剪切變形。本文提出了一種考慮隧道剪切變形的Timoshenko梁理論，用以研究盾構(gòu)上跨對既有隧道變形及內(nèi)力的影響。

修正的Loganathan理論計算既有隧道位置處的地層位移，建立基于Winkler彈性地基的Timoshenko梁關于縱向位移的微分平衡方程。采用有限差分法求解既有隧道變形及內(nèi)力。Timoshenko梁理論不僅可以合理計算隧道彎矩、剪切力，而且能計算管片錯臺量，彌補了Euler-Bernoulli梁理論無法計算管片錯臺量的缺陷。通過案例分析，揭示了盾構(gòu)開挖引起的土體損失率與隧道縱向位移、彎矩、剪切力、管片錯臺量變化呈線性正相關的規(guī)律。

本文理論模型沒有考慮隧道所在地層不均勻特性和施工過程中支護、地下降水等因素的影響，在以后的研究中，可將這些影響因素考慮進去。