尹英龍，劉寶泉

（陜西科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，西安 710021）

在直流微電網(wǎng)中，電力電子變換器在電力系統(tǒng)的大規(guī)模應(yīng)用［1-3］，給電力系統(tǒng)引入了大量非線性負(fù)載，對電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生諸多不利影響［4］。恒功率負(fù)載作為一種典型的非線性負(fù)載［5］，在DC/DC分布式系統(tǒng)以及大部分直流微電網(wǎng)的場景中占有越來越大的比例，尤其是當(dāng)閉環(huán)控制的多個電力電子變換器級聯(lián)時，后級通常可以等效為前級的恒功率負(fù)載。

目前的穩(wěn)定性研究以小信號擾動為主，利用小信號分析方法可以忽略系統(tǒng)中微小的非線性因素，對建立的模型線性化處理從而推導(dǎo)出穩(wěn)定性判據(jù)，能夠解決平衡點附近的穩(wěn)定性問題［6］，但恒功率負(fù)載和電力電子變換器自身特性給系統(tǒng)帶來的非線性不可忽略。為了尋求對含恒功率負(fù)載的系統(tǒng)進(jìn)行有效控制的方法，對其進(jìn)行大信號下的穩(wěn)定性分析尤為重要。在直流微網(wǎng)中，大信號穩(wěn)定性是指系統(tǒng)受到大擾動時系統(tǒng)的穩(wěn)定性［7］，例如起動、負(fù)載突變以及系統(tǒng)中有非線性負(fù)載等工況［8-9］。

目前，針對大信號的穩(wěn)定性分析主要有兩種方法，一是Lyapunov特征值法估計，將原系統(tǒng)狀態(tài)方程線性化后，通過系統(tǒng)雅克比矩陣的特征值來判斷系統(tǒng)在平衡點的穩(wěn)定性，當(dāng)特征值均有負(fù)實部時，該系統(tǒng)在平衡點處穩(wěn)定，但該方法涉及多維矩陣的復(fù)雜計算，不便于實際的操作。第二種方法是利用混合勢函數(shù)理論，它是一種基于Lyapunov直接法的特殊分析方法［10］，根據(jù)系統(tǒng)中元器件的能量關(guān)系，列寫能量方程，進(jìn)一步計算出解析形式的穩(wěn)定性判據(jù)。在電力系統(tǒng)中基于這一方法研究人員開展了大量工作并得到了諸多成果。文獻(xiàn)［11］利用混合勢函數(shù)結(jié)合驗證了無源控制下的燃料電池-超級電容器（FC-UC）系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［12］利用混合勢函數(shù)對三相PWM整流器級聯(lián)DC/DC變換器系統(tǒng)（雙閉環(huán)系統(tǒng)）進(jìn)行了大信號分析，得到大擾動下的穩(wěn)定邊界（不等式），并進(jìn)行了簡單的仿真驗證。文獻(xiàn)［13］使用混合勢函數(shù)推導(dǎo)了下垂控制的含CPL和LC濾波器的直流系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)，并通過仿真驗證了該判據(jù)的有效性。文獻(xiàn)［14-16］利用混合勢函數(shù)理論分析了開環(huán)控制的電力電子變換器在大信號擾動下的穩(wěn)定邊界，得到了解析形式的穩(wěn)定性判據(jù)，為系統(tǒng)的設(shè)計提供了準(zhǔn)則。文獻(xiàn)［17］利用混合勢函數(shù)理論對直流微電網(wǎng)級聯(lián)系統(tǒng)中恒功率負(fù)載和儲能單元充放電功率參數(shù)對穩(wěn)定性的影響進(jìn)行研究并得到了穩(wěn)定性判據(jù)。文獻(xiàn)［18-19］將級聯(lián)系統(tǒng)中負(fù)載變流器等效為恒功率負(fù)載，基于回轉(zhuǎn)器理論建立DC/DC變換器統(tǒng)一的大信號模型，并推導(dǎo)了基于該模型的混合勢函數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)，定量地分析了控制器參數(shù)對電流控制型BUCK/BOOST變流器穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)［20-22］利用混合勢函數(shù)的方法建立了雙級LC濾波器和4種阻尼濾波器的系統(tǒng)大信號模型，并推導(dǎo)各種濾波器對大擾動下的穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)［23］假設(shè)電流內(nèi)環(huán)跟蹤電壓外環(huán)實時變化，簡化了電壓電流雙閉環(huán)的等效電路并在此基礎(chǔ)上利用混合勢函數(shù)方法分析穩(wěn)定性并得出穩(wěn)定性判據(jù)。

當(dāng)前研究主要以開環(huán)為主，而閉環(huán)控制型（VMC）的電力電子裝置還沒有過多的涉及。本文以BUCK變換器為研究對象，控制方法采用電壓電流雙閉環(huán)，控制器選用比例積分控制器，建立了大信號平均模型，列寫了系統(tǒng)的混合勢函數(shù)，得到了大信號穩(wěn)定的充分條件；進(jìn)一步利用這一條件設(shè)計系統(tǒng)參數(shù)，得到漸進(jìn)穩(wěn)定域；并通過構(gòu)造能量函數(shù)，利用Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)驗證了穩(wěn)定域的存在性。最后，通過仿真驗證了所求穩(wěn)定運行條件的合理性。

1 閉環(huán)控制BUCK電路的大信號模型

根據(jù)圖1所示BUCK電路的簡化結(jié)構(gòu)，設(shè)占空比為D，恒功率負(fù)載功率為P0，輸入電壓為U1可以得到BUCK電路帶CPL狀況下的大信號平均模型：

BUCK電路采用電壓電流雙閉環(huán)控制，設(shè)電壓外環(huán)的比例系數(shù)kvp，積分系數(shù)kvi，參考電壓為vref，電流內(nèi)環(huán)的比例系數(shù)kip，積分系數(shù)kii，PWM比較器配置鋸齒波幅值vs=1，電路如圖2所示。

圖1 BUCK變換器簡化電路圖

圖2 帶CPL的雙閉環(huán)控制BUCK變換器電路圖

電壓電流雙閉環(huán)控制建立了電感電流與占空比的關(guān)系，有

根據(jù)電壓環(huán)和電流環(huán)的連接關(guān)系，有

則電壓閉環(huán)控制的占空比D可以表示為

則電壓電流雙閉環(huán)控制下的占空比D可以改寫為：

2 閉環(huán)控制BUCK 電路的混合勢函數(shù)模型

2.1 混合勢函數(shù)理論概述

1964年R.K.BRAYTON和J.K.MOSER提出了一種非線性網(wǎng)絡(luò)的理論，這是混合勢函數(shù)理論首次用于電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。這種方法從能量的角度出發(fā)，結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性分析方法，對滿足式（7）的網(wǎng)絡(luò)求解大信號穩(wěn)定充分條件及具體的大信號漸進(jìn)穩(wěn)定域。

首先要列寫電路的混合勢函數(shù)P（i，v），它是由電流勢函數(shù)A（i）、電壓勢函數(shù)B（v）以及由于電路拓?fù)湟鸬哪芰孔兓╥，γv-α）3部分組成，即：

根據(jù)式（8），分別求出P（i，v）中電流勢函數(shù)和電壓勢函數(shù)對電感電流和電容電壓的二階導(dǎo)數(shù)Aii和Bvv，進(jìn)而求解最小特征值λ1和λ2分別為：

由此可以得到系統(tǒng)在大信號擾動下穩(wěn)定的充分條件為λ1+λ2＞0，設(shè)混合勢函數(shù)關(guān)于電感電流和電容電壓的一階偏導(dǎo)數(shù)為Pi和Pv，進(jìn)一步構(gòu)造Lyapunov能量函數(shù)P*（i，v）為

再求出能量函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)d P*／d t，利用Lyapunov第二方法，找到使P*正定、d P*／d t負(fù)定的區(qū)域（i，v），即為系統(tǒng)在大信號下的漸進(jìn)穩(wěn)定域。

2.2 閉環(huán)控制BUCK變換器的混合勢函數(shù)

由電路中所有非儲能元件可以列寫出電流勢函數(shù)，若元件不能直接寫出電流勢函數(shù)，可以列寫電壓勢函數(shù)。圖2中所示BUCK電路中所有非儲能元件包括電壓源U1和恒功率負(fù)載CPL。其中恒功率負(fù)載的額定功率是P0，則電流勢函數(shù)可以記作P（i）。

電路中無電阻元件，開關(guān)前后的電源可以近似等效為受控電壓源，所有非儲能元件可以用電流勢函數(shù)表示：

恒功率負(fù)載Po的電流勢函數(shù)轉(zhuǎn)化為電壓勢函數(shù)：

電容C的能量：

混合勢函數(shù)P（i，v）為式（11）～（13）的和，求和整理后結(jié)果如下：

將所列寫的P（i，v）代入式（7）檢驗，混合勢函數(shù)列寫正確。進(jìn)一步將式（6）代入式（14），即可得到閉環(huán)控制的BUCK變換器帶CPL的混合勢函數(shù)：

3 閉環(huán)控制BUCK電路穩(wěn)定性分析

3.1 閉環(huán)系統(tǒng)大信號穩(wěn)定的充分條件

設(shè)A（i）、B（v）和（i，γv-α）分別為式（14）中的電流勢函數(shù)、電壓勢函數(shù)和其他部分，有

設(shè)A（i）和B（v）對電感電流的二階偏導(dǎo)數(shù)分別為Aii（i）和Bvv（v），有

設(shè)矩陣L-1／2Aii（i）L-1／2和C-1／2Bvv（v）C-1／2的最小特征根為λ1和λ2，有

大信號擾動下，要該變換器穩(wěn)定工作，需要λ1和λ2滿足λ1+λ2＞0，即

由恒功率負(fù)載的性質(zhì)，有

又有系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平衡點為（UL，IL），恒功率負(fù)載滿足-RL=-UL／IL，則大信號穩(wěn)定判據(jù)式（20）可以改寫為

3.2 閉環(huán)系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定域

基于式（21）所示的大信號穩(wěn)定判據(jù)，對圖2所示系統(tǒng)模型進(jìn)行參數(shù)設(shè)計，具體取值如表1所示。

表1 200 V/100 V BUCK電路電壓閉環(huán)部分參數(shù)

根據(jù)第2節(jié)構(gòu)造Lyapunov能量函數(shù)的方法，先求解Pi和Pv，有

下面構(gòu)造Lyapunov能量函數(shù)P*，并在能量函數(shù)的基礎(chǔ)上對時間t求導(dǎo)得到d P*（i，v）／d t：

當(dāng)P*（i，v）正定、d P*（i，v）／d t負(fù)定時，可以推得系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定域。以200 V/100 V BUCK變換器為例，把表1的參數(shù)代入式（24）（25）中計算，應(yīng)用Matlab繪圖工具分別繪制電壓閉環(huán)條件下的P*（i，v）及d P*（i，v）／d t隨電感電流i、電容電壓v的三維曲線圖，分別如圖3、4所示。

圖3 Lyapunov能量函數(shù)P*（i，v）三維圖

圖4 d P*（i，v）／d t三維圖

從圖中可以看出：存在著同時滿足P*（i，v）在P*=0平面以上和d P*（i，v）／d t在d P*／d t=0平面以下2個條件的區(qū)域，找到同時滿足2個條件的區(qū)域在i-v平面上的投影，即為該系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定域。

該系統(tǒng)在進(jìn)行電能轉(zhuǎn)換時的漸進(jìn)穩(wěn)定域可以表示為

根據(jù)式（26），可以繪制系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定域，穩(wěn)態(tài)工作點（100 V，5 A）包含在穩(wěn)定域中，如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定域示意圖

4 仿真驗證

本文主要采用Matlab/Simulink元件庫搭建雙閉環(huán)控制的BUCK電路帶恒功率負(fù)載仿真模型，具體如圖6所示，其中恒功率負(fù)載（CPL）模塊由含受控電流源單端口的電路模擬。

圖6 帶恒功率負(fù)載的BUCK電路仿真模型

利用表1中的電壓電流雙閉環(huán)控制的BUCK電路系統(tǒng)參數(shù)，對所求充分性條件的合理性進(jìn)行仿真驗證，如圖7所示。先改變恒功率負(fù)載的功率取值，取滿足充分條件的兩組功率值P0=200 W（圖（a））和P0=500 W（圖（b）），該系統(tǒng)電壓在短暫一段時間振蕩后能夠穩(wěn)定在100 V輸出；再取超出穩(wěn)定條件的功率值（P0=5 kW）仿真，如圖8所示，系統(tǒng)電壓在不斷大幅振蕩，無法達(dá)到給定的輸出電壓值。

進(jìn)一步對滿足充分條件的系統(tǒng)進(jìn)行加載實驗，驗證大信號擾動下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在帶恒功率負(fù)載為500 W 和800W 的系統(tǒng)穩(wěn)定運行后分別突加10Ω的負(fù)載，如圖9所示，電壓值均在加載之后短暫波動，很快恢復(fù)到期望的輸出電壓值100 V，說明恒壓負(fù)載的大信號擾動下系統(tǒng)能夠穩(wěn)定運行。再對帶恒功率負(fù)載Po=1 kW 的系統(tǒng)進(jìn)行負(fù)載功率階躍的仿真，如圖10所示，在穩(wěn)定運行后分別加載至2 kW 和3 kW，電壓值在短暫波動后迅速回到100 V，說明在功率突增的大信號擾動下，系統(tǒng)仍能穩(wěn)定運行。

圖7 恒功率負(fù)載滿足充分條件時的電壓波形

圖8 恒功率負(fù)載不滿足充分條件時的電壓波形

圖9 穩(wěn)定運行后突加電阻負(fù)載的電壓波形

圖10 P0=1 kW 穩(wěn)定運行后突加恒功率負(fù)載的電壓波形

5 結(jié)束語

本文基于大信號擾動的穩(wěn)定性研究閉環(huán)系統(tǒng)涉及不多，以雙閉環(huán)控制的BUCK變換器帶恒功率負(fù)載系統(tǒng)為研究對象，利用混合勢函數(shù)的理論，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。該條件與恒功率負(fù)載的負(fù)阻抗特性、電流環(huán)的比例系數(shù)以及系統(tǒng)的電感電容參數(shù)均有關(guān)，且該條件為系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計提供了依據(jù)。設(shè)計的系統(tǒng)可以進(jìn)一步構(gòu)造能量函數(shù)，通過Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)推導(dǎo)漸進(jìn)穩(wěn)定域。該穩(wěn)定域的存在性表明滿足充分條件的系統(tǒng)在大信號擾動下可以穩(wěn)定運行，仿真驗證了該條件的正確性。