崔 群, 李紹軍

基于伯恩斯坦多項(xiàng)式和D-vine copula的過程監(jiān)控方法

崔 群, 李紹軍

(華東理工大學(xué) 化工過程先進(jìn)控制和優(yōu)化技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200237)

針對利用Vine copula進(jìn)行過程故障監(jiān)控的建模過程中二元Copula函數(shù)種類選擇困難問題，提出一種基于懲罰伯恩斯坦多項(xiàng)式的D-vine copula選擇方法，運(yùn)用到化工過程故障監(jiān)控領(lǐng)域。該方法通過最近鄰算法確定D-vine copula模型的變量順序，利用懲罰伯恩斯坦多項(xiàng)式和核密度估計(jì)器分別估計(jì)得到D-vine copula的模型參數(shù)和單變量邊緣概率密度函數(shù)，構(gòu)成多元變量的聯(lián)合概率分布。最后結(jié)合高密度區(qū)域與靜態(tài)密度分位數(shù)表，構(gòu)建廣義局部概率指標(biāo)，實(shí)現(xiàn)在線過程監(jiān)控。該方法在田納西-伊斯曼(TE)過程和醋酸脫水過程進(jìn)行檢驗(yàn)。綜合故障檢測率和誤報(bào)率的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，表明該方法有良好的監(jiān)控性能。

過程監(jiān)控；伯恩斯坦多項(xiàng)式；懲罰平滑系數(shù)；D-vine copula

1 前 言

在現(xiàn)代工業(yè)中，過程安全和產(chǎn)品質(zhì)量是被關(guān)注最多的2個問題。過程監(jiān)控是提高過程安全和產(chǎn)品質(zhì)量的重要手段[1]。近年來，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法不要求過程模型和相關(guān)的專家知識，在過程監(jiān)控領(lǐng)域越發(fā)受到歡迎并取得有效的進(jìn)展。其中多變量統(tǒng)計(jì)過程監(jiān)控(multivariate statistical process monitoring，MSPM)是目前應(yīng)用最多的數(shù)據(jù)驅(qū)動方法。該類方法通過多變量分析利用正常歷史數(shù)據(jù)建立基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的模型，隨后將新數(shù)據(jù)映射到正常模型中判斷新數(shù)據(jù)是否統(tǒng)計(jì)正常。主元分析方法[2](principal component analysis，PCA)和偏最小二乘法[3](partial least squares，PLS)是多變量統(tǒng)計(jì)過程監(jiān)控的主要代表方法。該類算法的思想是將高維數(shù)據(jù)映射到低維特征空間，提取原始數(shù)據(jù)的絕大部分信息建立指標(biāo)進(jìn)行正常數(shù)據(jù)與異常數(shù)據(jù)的判斷。但在實(shí)際化工生產(chǎn)過程中，過程數(shù)據(jù)往往呈現(xiàn)非線性、非高斯特性。由于PCA只適用于線性和高斯假設(shè)的條件，使得該方法無法在復(fù)雜的過程監(jiān)控中取得好的監(jiān)控效果。針對以上特點(diǎn)，對于傳統(tǒng)方法的改進(jìn)和新方法的提出得到快速的發(fā)展。針對非線性問題，核主元分析[4](kernel principal component analysis，KPCA)、核偏最小二乘[5](kernel partial least squares，KPLS)、近鄰保留神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6]等方法相繼提出。Kano等[7]將獨(dú)立主元分析(independent component analysis, ICA)方法應(yīng)用于過程監(jiān)控解決非高斯問題。但是目前的MSPM方法，大多在建模前需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行降維或者對數(shù)據(jù)進(jìn)行高斯假設(shè)，這使得在對數(shù)據(jù)進(jìn)行總體分析時總會缺失一些信息，從而導(dǎo)致一些方法不能完整地描述數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。如果不對數(shù)據(jù)進(jìn)行降維操作，完全根據(jù)數(shù)據(jù)間的依賴性進(jìn)行建模將避免有用信息的損失。

近年來，作為概率建模的有效工具，copula方法通過描述變量間的相關(guān)性，將聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)有效地聯(lián)系起來，使得該方法在金融、氣象等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用[8-10]。然而，標(biāo)準(zhǔn)的多變量copula(如Gaussian/Student-t copula)在構(gòu)建維數(shù)較大數(shù)據(jù)間的依賴性時，缺乏靈活性。為此，Joe[11]提出了pair-copula。該方法是將多變量copula用一系列的二元copula來表示。Pair copula的結(jié)構(gòu)化使得一系列的pair copula可以聚集在不同的樹上，Bedford等[12]將此定義為Vine。Vine copula的提出加速了該方法在過程監(jiān)控領(lǐng)域中的應(yīng)用。Ren等[13]首先將Vine copula引入化工過程監(jiān)控領(lǐng)域，利用C-vine模型并結(jié)合廣義貝葉斯推斷概率指標(biāo)對非高斯、非線性的數(shù)據(jù)進(jìn)行監(jiān)測。周南等[14]利用核密度方法來估計(jì)R-vine。由于二元copula族種類眾多，這為Vine copula估計(jì)數(shù)據(jù)間的依賴性提供了更靈活的選擇。但是目前常用的Vine copula估計(jì)方法都是基于參數(shù)的方法，所有備選的copula首先使用最大似然估計(jì)進(jìn)行填充，隨后利用AIC準(zhǔn)則比較來選取最合適的二元copula族。這個過程需要計(jì)算出所有備選的copula密度，所需計(jì)算的參數(shù)眾多，使得copula選擇甚為復(fù)雜。而且常用參數(shù)二元copula存在參數(shù)假設(shè)條件。另一方面，對于復(fù)雜的化工數(shù)據(jù)來說，常用的參數(shù)copula族并不能完全描述數(shù)據(jù)間的依賴性，同時對于D-vine第一棵樹變量順序的確定，目前尚沒有統(tǒng)一的選擇方法。

目前最常用的Vine copula主要有C-vine和D-vine。相較于C-vine需要根據(jù)主導(dǎo)變量確定每棵樹的根節(jié)點(diǎn)，D-vine直線型結(jié)構(gòu)更加簡單且易于建模，因此本文采用D-vine copula結(jié)合伯恩斯坦多項(xiàng)式建立一種過程監(jiān)控模型(pBp-Dvine)。首先根據(jù)正常數(shù)據(jù)計(jì)算變量間的校正赤池信息準(zhǔn)則(corrected Akaike information criterion，cAIC)值作為權(quán)重，結(jié)合最近鄰算法確定變量順序，從而確定D-vine第一棵樹結(jié)構(gòu)。隨后利用懲罰伯恩斯坦多項(xiàng)式估計(jì)二元copula函數(shù)。根據(jù)前一棵樹的二元copula值估計(jì)下一棵樹的二元copula，直至模型確定。利用核密度估計(jì)器估計(jì)單變量邊緣概率密度函數(shù)，最后聯(lián)合copula密度函數(shù)構(gòu)成聯(lián)合概率密度。并針對化工生產(chǎn)過程，利用pBp-Dvine模型結(jié)合高密度區(qū)域(HDR)，構(gòu)建廣義局部概率指標(biāo)(GLP)。通過在TE過程和醋酸脫水過程中的應(yīng)用，表明pBp-Dvine模型在過程監(jiān)控具有良好性能。

2 D-vine copula理論及其選擇方法

對式(1)兩邊求導(dǎo)，則可以得到聯(lián)合概率密度的表達(dá)式為

一旦copula分布函數(shù)的形式固定，即可通過極大似然法對式(2)中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，得到多維數(shù)據(jù)的聯(lián)合概率密度。然而，對于傳統(tǒng)的多變量copula在面臨高維數(shù)據(jù)參數(shù)估計(jì)過程中可能會出現(xiàn)維度災(zāi)難。

2.1 D-vine copula

2.2 D-vine模型構(gòu)建

D-vine 模型是線性結(jié)構(gòu)，模型中變量的順序決定了D-vine的結(jié)構(gòu)。所以在建模前確定變量的順序是至關(guān)重要的。傳統(tǒng)的確定D-vine變量結(jié)構(gòu)的方法是采用相關(guān)性大小排序，即

通過求解優(yōu)化每個結(jié)點(diǎn)與其他結(jié)點(diǎn)的Kendall秩相關(guān)系數(shù)和，按照系數(shù)和的大小來確定結(jié)點(diǎn)的前后順序。

同時，在確定了變量的順序后，對于pair copula的估計(jì)，常用的方法是采用偽極大似然AIC準(zhǔn)則來估計(jì)。

在估計(jì)每個二元copula時，模型首先要計(jì)算所有可獲得的二元參數(shù)copula的最大似然估計(jì)，得到每個二元copula函數(shù)的密度值，然后通過計(jì)算AIC值求取最小的二元參數(shù)copula作為最后的最優(yōu)待選copula。而這在選擇過程中需要計(jì)算眾多copula參數(shù)導(dǎo)致過程復(fù)雜，而且對于精確模型的估計(jì)需要不斷優(yōu)化AIC準(zhǔn)則。同時，利用參數(shù)方法對二元copula進(jìn)行估計(jì)時，存在參數(shù)假設(shè)條件，而且常用的二元參數(shù)copula族并不能滿足所有的數(shù)據(jù)依賴性關(guān)系。

基于以上問題，Kauermann等[16]提出了半?yún)?shù)估計(jì)copula。由于現(xiàn)今的化工生產(chǎn)過程變量過多，且生產(chǎn)工況不時變化，導(dǎo)致實(shí)時采出的數(shù)據(jù)分布變化很快，且數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出非線性、非高斯的性質(zhì)，使用參數(shù)估計(jì)方法很難給出滿意的效果。而利用懲罰伯恩斯坦多項(xiàng)式來對模型進(jìn)行估計(jì)，伯恩斯坦多項(xiàng)式可以擬合任意的copula函數(shù)，同時根據(jù)cAIC結(jié)合最近鄰算法來確定D-vine的順序是一種新的半?yún)?shù)估計(jì)方法。

3 伯恩斯坦多項(xiàng)式D-vine模型構(gòu)建

3.1 邊緣概率密度估計(jì)

對于邊緣概率密度，使用核密度估計(jì)器估計(jì)各維變量的邊緣分布，一個單變量核密度估計(jì)器的形式如下：

3.2 Pair copula估計(jì)

由式(4)中可以看出，Vine模型的構(gòu)建等同于一系列二元copula的選擇，采用伯恩斯坦多項(xiàng)式作為基函數(shù)來估計(jì)copula密度：

通過最大化似然式(10)，估計(jì)出所有的系數(shù)向量，從而接連填充出所有的pair copula。高水平的樹的系數(shù)向量由低水平估計(jì)出來的copula參數(shù)來估計(jì)。

雖然上述估計(jì)過程是靈活的，但由于在估計(jì)每一個二元copula時需要使用(+1)2個參數(shù)，這使得在估計(jì)時可能會發(fā)生過擬合，同時為了控制擬合時函數(shù)的光滑度，對式(10)引入懲罰項(xiàng)：

3.3 D-vine第一顆樹結(jié)構(gòu)選擇

本文中采用最近鄰算法[21]計(jì)算變量順序。主要的計(jì)算流程如下：

2) 找出最小的cAIC值對應(yīng)的最小變量，從該變量開始，找到剩余變量中與該變量cAIC值最小的變量連接起來。

3) 從第2個變量開始，依次按照步驟(2)的規(guī)則進(jìn)行計(jì)算，直至最后一個變量計(jì)算完。

4 基于伯恩斯坦多項(xiàng)式和D-vine模型的過程監(jiān)控方法

4.1 監(jiān)測指標(biāo)

針對非線性、非高斯過程，基于概率的過程監(jiān)測的關(guān)鍵任務(wù)是設(shè)計(jì)出當(dāng)前樣本數(shù)據(jù)距離正常數(shù)據(jù)分布的概率性度量指標(biāo)。目前通用的基于Vine方法的概率指標(biāo)是基于高密度區(qū)域與密度分位數(shù)表結(jié)合構(gòu)建的非線性非高斯GLP，通過對正常樣本的概率密度的計(jì)算，制定密度分位數(shù)表，實(shí)現(xiàn)對實(shí)時數(shù)據(jù)的監(jiān)控。

則有

4.2 基于懲罰伯恩斯坦多項(xiàng)式D-vine的建模流程

基于懲罰伯恩斯坦多項(xiàng)式D-vine的過程監(jiān)控方法分為2個過程：離線建模和在線監(jiān)控。如圖1所示為整個過程的監(jiān)控流程圖。具體操作步驟如下：

圖1 pBp-Dvine過程監(jiān)控方法流程圖

離線建模:

1) 獲得正常操作情況下的訓(xùn)練數(shù)據(jù)；

2) 利用cAIC準(zhǔn)則作為邊權(quán)重，結(jié)合最近鄰算法求得最短路徑，確定D-vine模型的第一棵樹的變量順序，從而確定整個D-vine模型的結(jié)構(gòu)；

3) 指定伯恩斯坦多項(xiàng)式自由度，給定初始懲罰參數(shù)，由式(11)計(jì)算系數(shù)向量；

4) 由式(9)計(jì)算條件分布函數(shù)；

5) 由式(8)計(jì)算pair copula密度；

6) 其余的二元copula根據(jù)式(4)、(5)重復(fù)進(jìn)行。下一棵樹的估計(jì)過程由上一棵樹估計(jì)出的pair copula進(jìn)行迭代計(jì)算，直至計(jì)算到最后一棵樹；

7) 計(jì)算訓(xùn)練樣本的聯(lián)合概率密度值，構(gòu)建密度分位數(shù)表。

在線監(jiān)控：

1) 利用式(16)結(jié)合密度分位數(shù)表計(jì)算當(dāng)前樣本的GLP指標(biāo)；

2) 判斷GLP指標(biāo)是否超限，完成在線監(jiān)控過程。

5 應(yīng)用分析

本章通過TE過程和醋酸脫水實(shí)例的監(jiān)測效果驗(yàn)證基于伯恩斯坦多項(xiàng)式的D-vine copula方法的有效性，同時通過與KPCA、D-vine(參數(shù)估計(jì))方法的比較來驗(yàn)證所提出方法的有效性。

5.1 TE過程

TE仿真平臺是由美國Eastman化學(xué)公司開發(fā)的具有開放性和挑戰(zhàn)性的化工模型仿真平臺。其產(chǎn)生的數(shù)據(jù)具有非線性特征，廣泛用于測試復(fù)雜工業(yè)過程的控制和故障監(jiān)測模型。該過程具有5個主要的操作單元：反應(yīng)釜、冷凝器、壓縮機(jī)、氣液分離器和汽提塔[23]。TE過程數(shù)據(jù)集共有52個變量，其中41個為測量變量，11個為操縱變量。41個測量變量中有22個為連續(xù)變量。本文中采用22個連續(xù)變量來進(jìn)行建模。TE過程總共21個故障，每個故障有960個樣本，前160個為正常狀態(tài)下的樣本，從第161個樣本起，加入不同的故障共800個故障樣本。

對訓(xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)行離線建模，建立靜態(tài)密度分位數(shù)表，隨后對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行在線監(jiān)控。為了對比方法的有效性，這里對KPCA、D-vine(參數(shù)估計(jì))方法進(jìn)行比較，KPCA的主元個數(shù)選擇前85%。置信水平均設(shè)置為0.99。pBp-Dvine的自由度=8。其中KPCA的檢測結(jié)果取自文獻(xiàn)[24]。

表1給出了3種方法的監(jiān)測結(jié)果。表中2和SPE分別為KPCA在殘差子空間和主元子空間的監(jiān)測指標(biāo)，所提出的方法在總體上表現(xiàn)出了好的效果。針對故障1、2、6、8、12、13、14，所有方法都能取得相近的檢測結(jié)果，這表明提出的方法較其他方法在易監(jiān)測的故障上可以取得同等的檢測性能。針對故障3、4、5、9、15、19這些難檢測的故障來說，所有方法均不能有效檢測出故障，但同比于其他方法，pBp-Dvine仍能給出高于其他方法的檢測結(jié)果。尤其是對于故障15、19，提出的方法明顯高于其他方法的檢測水平。針對故障11、16和21，所提出的方法較其他方法得到了較好的提升?？傮w來說，本文提出的pBp-Dvine方法較其他監(jiān)測方法的監(jiān)控性能有所提升。如圖2所示為3種方法對于故障8的監(jiān)控圖。從圖中可以看出，所有方法均可以達(dá)到好的檢測效果。KPCA和D-vine的檢測率分別達(dá)到了97.38%和97.75%。這說明對于該類故障2種方法可以得到好的檢測率，而且2種方法表現(xiàn)出了相似的檢測效果，而提出的方法在此基礎(chǔ)上可以更早識別出故障，達(dá)到更高的檢測率(98.88%)，高于其他方法。

表1 TE過程故障檢測率對比分析

圖2 故障8的過程監(jiān)控圖

5.2 醋酸脫水過程

精對苯二甲酸是重要的有機(jī)化工原料。該產(chǎn)物由醋酸作為溶劑，對二甲苯經(jīng)過催化氧化得到粗對二甲苯酸再經(jīng)一系列化學(xué)操作得到。為了克服普通精餾無法有效將醋酸和水分離，工業(yè)上經(jīng)常采用共沸精餾法，加入共沸劑增加醋酸和水的相對揮發(fā)度，從而有效地分離水和醋酸[25]。

醋酸脫水系統(tǒng)由90級塔板和4個進(jìn)料組成。本文采用溫度、壓力、流量等連續(xù)的21個過程變量對頂部醋酸蒸餾過程進(jìn)行實(shí)時監(jiān)控。本次試驗(yàn)訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本為500組，測試數(shù)據(jù)樣本為300組。在離線建模階段，利用500組訓(xùn)練樣本進(jìn)行模型訓(xùn)練。對于測試的300組樣本，在開始的前100個時刻，過程處于正常運(yùn)行狀態(tài)。在第101時刻頂部醋酸產(chǎn)品含量由不到1.15%上升到1.5%，該過程持續(xù)100個時刻。到最后的100時刻，醋酸含量又回復(fù)到1.15%以下。

表2為在控制限CL=0.98條件下，KPCA、D-vine(參數(shù)估計(jì))、pBp-Dvine的檢測率(FDR)和誤報(bào)率(FAR)。pBp-Dvine的自由度取為12。

如圖3所示為醋酸脫水過程的監(jiān)控圖。結(jié)合表2和圖3可以發(fā)現(xiàn)，所有方法都可以完全地檢測出故障，這說明3種方法可以有效檢測出此類故障。由圖3中可以看出，pBp-Dvine方法的誤報(bào)率是最低的。綜合該故障的檢測率和誤報(bào)率，表明本文提出的pBp-Dvine方法在醋酸脫水過程中有良好的監(jiān)控性能。

表2 醋酸脫水過程的檢測率和誤報(bào)率(CL=0.98)

圖3 醋酸脫水過程的監(jiān)控圖

6 結(jié) 論

本文提出了一種基于pBp-Dvine模型的過程監(jiān)控方法，在過程監(jiān)控領(lǐng)域取得了不錯的監(jiān)測效果。pBp-Dvine方法首先根據(jù)兩兩變量間的cAIC值作為權(quán)重，利用最近鄰算法求得最短路徑，得到D-vine的第一顆樹結(jié)構(gòu)。隨后利用懲罰伯恩斯坦多項(xiàng)式估計(jì)二元copula函數(shù)。該方法在不降維的條件下，在二元copula的估計(jì)過程中摒棄參數(shù)假設(shè)，挖掘出高維變量間的復(fù)雜信息，從而獲得半?yún)-vine模型，使得模型估計(jì)更靈活。TE過程和醋酸脫水過程證明了pBp-Dvine方法的良好性能。

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Process monitoring based on Bernstein polynomials and D-vine copula

CUI Qun, LI Shao-jun

( Key Laboratory of Advanced Control and Optimization for Chemical Processes,East China University of Science and Technology, Ministry of Education, Shanghai 200237, China)

Vine copula modeling has problems in binary copula function selection. A D-vine copula selection method based on penalizing Bernstein polynomial was proposed in this study and applied to fault monitoring of chemical processes. The order of variables of the D-vine copula model was determined by the nearest neighbor algorithm. The parameters of the D-vine copula model and the univariate marginal probability density function were estimated by penalizing Bernstein polynomial and kernel density estimator, respectively, thus forming the joint probability distribution of multiple variables. Finally, the generalized local probability index was constructed by combining the high-density region and the static density quantifier, and then on-line process monitoring was realized. The proposed method was applied in Tennessee Eastman (TE) and acetic acid dehydration processes. The statistical results of fault detection rate and false alarm rate show that the proposed method has a good monitoring performance.

process monitoring; Bernstein polynomial; penalized spline smoothing; D-vine copula

TP277

A

10.3969/j.issn.1003-9015.2021.01.014

1003-9015(2021)01-0118-09

2019-12-30；

2020-03-24。

國家自然科學(xué)基金(21676086)。

崔群（1994-），男，山西運(yùn)城人，華東理工大學(xué)碩士生。

李紹軍，E-mail：lishaojun@ecust.edu.cn