張志勇，王建波，蔣文杰，李博浩

（1.機(jī)械裝備高性能智能制造關(guān)鍵技術(shù)湖南省重點實驗室，長沙理工大學(xué)，湖南 長沙 410114；2.長沙理工大學(xué)汽車與機(jī)械工程學(xué)院，湖南 長沙 410114）

隨著車輛工業(yè)的發(fā)展，在設(shè)計生產(chǎn)的過程中，除了滿足最基本的安全性及操縱穩(wěn)定性的前提，行業(yè)內(nèi)對車輛的平順性及舒適性也有了日益嚴(yán)苛的要求[1?2]。在傳統(tǒng)被動懸架逐漸難以完全滿足需求的情況下，出現(xiàn)了能根據(jù)控制策略調(diào)整懸架特性的主動懸架和半主動懸架，并逐漸應(yīng)用于現(xiàn)代汽車中[3]。其中由于半主動控制懸架系統(tǒng)能耗低、控制效果好、結(jié)構(gòu)簡單和可靠性高等優(yōu)點，成為現(xiàn)階段最有前景的一種可控懸架系統(tǒng)[4]。目前，半主動懸架中運用最廣泛的是磁流變半主動懸架，其主要元件是磁流變阻尼器，通過改變該阻尼器的外加電壓或電流可以影響其內(nèi)部磁流變液的外加磁場，進(jìn)而改變磁流變液中磁性顆粒的黏滯特性，宏觀表現(xiàn)為磁流變阻尼器阻尼的改變。因此，可通過改變磁流變阻尼器的電壓或電流來實現(xiàn)懸架性能的調(diào)整，具有控制方式簡單、能耗低等優(yōu)勢[5]。但由于阻尼器中磁流變液的非線性及磁滯特性，難以獲得描述精確的正向及逆向參數(shù)化模型，這也是實現(xiàn)磁流變懸架半主動控制的難點之一[6]。并且，磁流變阻尼器在接受控制電信號后，從內(nèi)部磁勵線圈實現(xiàn)磁場的激發(fā)到磁流變液中磁性顆粒受磁場影響改變黏滯特性之間存在一定的響應(yīng)時間，這段時間稱為磁流變阻尼器的響應(yīng)時滯，響應(yīng)時滯的大小與阻尼器元件的結(jié)構(gòu)、尺寸、磁勵線圈參數(shù)及驅(qū)動電路密切相關(guān)[7 ? 8]。磁流變阻尼器的響應(yīng)時滯也是懸架控制中值得重點關(guān)注的問題。

磁流變懸架實現(xiàn)半主動控制的方式是根據(jù)車身及路面狀態(tài)調(diào)整懸架阻尼特性，進(jìn)而提升懸架性能。但懸架阻尼力具體的調(diào)整數(shù)值則需依靠特定的控制策略計算獲得，目前常見的懸架控制策略包括天棚阻尼控制[9]、PID 控制[10]、滑?？刂芠11]、魯棒控制[12]等。然而，從傳感器數(shù)據(jù)的采集到控制策略的計算，再到磁流變液的黏滯特性響應(yīng)，這一控制流程中，必定會存在一段時間的間隔，也即控制時滯。為了使懸架半主動控制效果更加理想，控制時滯的影響需在控制策略的設(shè)計階段就必須加以考慮。在現(xiàn)有的控制系統(tǒng)時滯穩(wěn)定性條件中，根據(jù)是否依賴系統(tǒng)中時滯的大小，可以分為時滯獨立和時滯依賴兩種。陳長征等[13]針對具有變時滯控制輸入的懸架系統(tǒng)，利用魯棒H∞控制方法設(shè)計出了具有時滯依賴特性的多目標(biāo)控制策略。該策略在所設(shè)計的時滯界限內(nèi)效果明顯，懸架性能大幅提升，但在超過一定界限的大時滯條件下卻較為敏感，甚至?xí)霈F(xiàn)控制失效現(xiàn)象。高小林等[14]在對懸架進(jìn)行控制的同時分析了時滯依賴條件下決定臨界時滯量大小的影響因素，為改善懸架控制性能提供了新思路。時滯依賴條件下，控制策略的穩(wěn)定性很大程度上取決于所設(shè)計的時滯界限的范圍，而時滯獨立條件下卻沒有這種限制。Xu 等[15]針對存在時滯的控制系統(tǒng)給出了不限制延時界限的控制算法，并通過數(shù)值算例驗證了算法的有效性。Davies 等[16]研究了具有無限時滯的時滯微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，利用李雅普諾夫方法，從線性矩陣不等式(LMI)出發(fā)，得到了無窮時滯系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯獨立充分條件，然后利用所得到的線性矩陣不等式的可行解，設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器。該控制器雖然可在任意時滯量下保持系統(tǒng)穩(wěn)定，但控制效果卻存在一定保守性。

為了提升車輛的舒適性，本文以1/4 車輛動力學(xué)模型為對象，采用磁流變懸架進(jìn)行半主動控制。針對磁流變阻尼器由于存在非線性及磁滯特性而難以得到精確描述的數(shù)學(xué)模型這一問題，采用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法建立了阻尼器的逆模型。為了實現(xiàn)懸架的半主動控制，根據(jù)魯棒H∞控制理論設(shè)計出了具體的控制策略，針對控制過程中存在的時滯問題，從時滯獨立穩(wěn)定性條件及時滯依賴穩(wěn)定性條件兩個方面進(jìn)行了分析，并通過數(shù)值仿真對比了兩種時滯情況下控制策略的控制性能。

1 帶磁流變阻尼器的1/4 車輛動力學(xué)模型

根據(jù)1/4 車輛振動時的受力情況，可將振動模型簡化為車身二自由度模型。該模型主要考慮了車身質(zhì)量、懸架彈簧剛度、懸架阻尼、車輪質(zhì)量及輪胎剛度。二自由度模型能夠非常準(zhǔn)確地描述車身及車輪的振動狀態(tài)，可運用在絕大多數(shù)車輛動力學(xué)分析中，也稱為車身與車輪雙質(zhì)量系統(tǒng)模型。由于懸架中采用了磁流變阻尼器，該阻尼器除了自身的黏滯阻尼力，還具有由電磁信號產(chǎn)生的庫倫阻尼力，具體如圖1 所示。

圖1 1/4 車輛動力學(xué)模型

根據(jù)動力學(xué)分析及牛頓第二定律可知，該1/4車輛動力學(xué)模型的運動微分方程為：

式中：mb為 簧上質(zhì)量；mt為簧下質(zhì)量；Kt為輪胎的剛度；xb、xt和xg分別為車身、車輪和路面的位移；Ks為懸架剛度；Cs作為磁流變阻尼器的黏滯阻尼系數(shù)；u(t)為控制力，也即庫倫阻尼力，其數(shù)值大小可由阻尼器的外加電壓控制。由此可知磁流變阻尼器產(chǎn)生的總阻尼力為自身黏滯阻尼力與庫倫阻尼力之和。

定義車身加速度為被調(diào)輸出，狀態(tài)空間方程形式的1/4 車輛動力學(xué)模型為：

在懸架實際控制過程中，由于傳感器接收感應(yīng)數(shù)據(jù)的靈敏性不高，控制器存在運算周期，以及磁流變阻尼器從內(nèi)部磁勵線圈實現(xiàn)磁場的激發(fā)到磁流變液中磁性顆粒受磁場影響改變黏滯特性之間存在一定的響應(yīng)時間等原因，懸架的控制輸出并不是完全實時的，而是存在一定的時間延遲。為了建立更加準(zhǔn)確的懸架控制系統(tǒng)，應(yīng)考慮控制時滯因素。因此，車輛動力學(xué)模型的狀態(tài)空間方程可改寫為：

式中，d為控制時滯量。

2 考慮時滯的魯棒控制H∞控制律設(shè)計

磁流變懸架實現(xiàn)半主動控制的過程為：首先，根據(jù)車身及路面狀態(tài)確定出懸架所需的期望控制力；然后，再根據(jù)期望控制力的大小調(diào)節(jié)磁流變阻尼器的控制電壓，改變懸架的庫倫阻尼力，使得懸架力趨近于期望的控制力。因此，如何獲得懸架所需期望力便是半主動控制的關(guān)鍵問題。本文采用魯棒H∞控制策略來計算懸架的期望力，并且為了得到更加準(zhǔn)確、符合實際情況的期望力，在控制策略的設(shè)計過程中需考慮控制時滯因素。

在各類控制系統(tǒng)中，時滯現(xiàn)象的存在是極其普遍的，關(guān)于如何在存在控制時滯的情況下使得控制系統(tǒng)保持穩(wěn)定性，是所有控制策略設(shè)計的基本需求之一。在現(xiàn)有的時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性條件中，根據(jù)是否依賴系統(tǒng)時滯的大小，將控制穩(wěn)定性條件分為時滯獨立和時滯依賴兩種。下文將分別在這兩種時滯穩(wěn)定性條件下給出魯棒H∞控制定理。

2.1 時滯獨立型魯棒H∞控制律

定理1對于具有控制時滯的車輛懸架控制系統(tǒng)(5)—(6)，如果存在γ ＞0，且存在適當(dāng)維度的正定對稱矩陣Q、R和矩陣M，使得矩陣不等式(7)有解，則控制律K能使被控系統(tǒng)(5)—(6)漸近穩(wěn)定。

式中，Θ=QAT+AQ+R。控制律表示為：K=MQ?1。此時，系統(tǒng)控制力可表示為：u=Kx。

定理1 證明過程如下。首先，定義如下的Lyapunov函數(shù)：

式中，P和S均為對稱正定矩陣。

然后再定義如下二次型性能指標(biāo)：

在零初始條件下可以得到：

根據(jù)Schur 補(bǔ)的性質(zhì)，式(12)可改寫為

式中，Φ=ATP+PA+S。

再令Q=P?1,R=P?1SP?1,M=KP?1則得式(7)。因此，當(dāng)存在使式(7)成立的可行解時，該解即可保證∏＜0，而∏＜0又可以保證(x)＜0。由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，當(dāng)V˙(x)＜0時，被控系統(tǒng)(5)—(6)在基于可行解所得到的魯棒控制律下漸近穩(wěn)定。到此，定理得證。

2.2 時滯依賴型魯棒H∞控制律

定理2 對于具有控制時滯的車輛懸架控制系統(tǒng)(5)—(6)，對于給定的時滯界限，如果存在γ ＞0，且存在適當(dāng)維度的正定對稱矩陣L、V、W、R和矩陣M、N，使得矩陣不等式(14)有解，則控制律K0能在所有的滯后時間時，使被控系統(tǒng)(5)—(6)漸近穩(wěn)定。

該定理的證明過程同樣運用到Lyapunov 穩(wěn)定性理論，其具體推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)[17]。

從時滯獨立型和時滯依賴型魯棒控制律的表示形式可看出，計算控制律力需要已知狀態(tài)向量即需要采集簧載質(zhì)量、非簧載質(zhì)量和路面激勵的位移與速度等信號。這些信號在實際應(yīng)用中比較難以獲取，但可以在本文提出的控制律基礎(chǔ)上采用輸出反饋控制，或車輛狀態(tài)估計等方法獲取相關(guān)信號。

3 磁流變阻尼器逆模型

關(guān)于建立磁流變阻尼器的模型，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究，提出了一些具有不同優(yōu)缺點的力學(xué)模型，主要可以分為參數(shù)化模型和非參數(shù)化模型。常用的模型有Herschel-Bulkley 模型、Bingham 模型、Bouc-Wen 模型等[18]。本文選擇Bouc-Wen 模型進(jìn)行懸架控制設(shè)計，模型具體如圖2 所示，其動力學(xué)方程式如下：

式中：v為磁流變阻尼器的輸入電壓；f為模型中磁流變阻尼器的總輸出阻尼力；而其他參數(shù)(c0a,cob,k0,c1a,c1b,k1,x0,αa,αb,δ,μ,N,n,η)需通過實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化得到，文中這些參數(shù)的具體數(shù)值可參考文獻(xiàn)[19]的優(yōu)化數(shù)據(jù)。

圖2 磁流變阻尼器的Bouc-Wen 現(xiàn)象模型

若省略中間過程，磁流變阻尼器的模型可近似為

即，磁流變阻尼器的輸出力f可近似表示為電壓v和阻尼器(車身)速度的函數(shù)關(guān)系。

在實際的半主動控制過程中，所期望的磁流變阻尼器的輸出阻尼力f可由控制律得到，速度可由傳感器數(shù)據(jù)獲得，而實現(xiàn)控制所需的控制變量是電壓v。因此，需要得到磁流變阻尼器的逆模型，即：

由于磁流變阻尼器的輸出阻尼力與速度的關(guān)系具有非線性和磁滯特性，加大了磁流變逆模型的參數(shù)化建模難度。為了建立能夠較為準(zhǔn)確地反映出磁流變阻尼器特性的逆模型，本文采用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，也稱為誤差反向傳播法，是誘導(dǎo)學(xué)習(xí)算法的一種。該算法通過誤差來修正網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)值，使實際的輸出接近期望的輸出。根據(jù)磁流變阻尼器特性，經(jīng)過反復(fù)測試，本文建立的逆模型如圖3 所示。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為3 層，其中輸入層有5 個神經(jīng)元，隱藏層有10 個神經(jīng)元，輸出層有1 個神經(jīng)元。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具體建立過程如下。

定義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入向量為

隱藏層的輸入為

式中：xi為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入向量的第i個元素；為輸入層神經(jīng)元的權(quán)值；為輸入層神經(jīng)元的偏置量。

隱藏層的激活函數(shù)采用Sigmoidal 函數(shù)，因此隱藏層的輸出為

輸出層的激活函數(shù)采用非線性函數(shù)，因此輸出層的輸出為

磁流變阻尼器逆模型反映了期望力與控制電壓之間的關(guān)系，與磁流變阻尼器本身的特性有關(guān)，但與路面激勵、車輛質(zhì)量分布、車速等因素?zé)o關(guān)。

圖3 磁流變阻尼器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逆模型

4 控制性能分析

以本文討論的磁流變懸架為例，運用上節(jié)所設(shè)計的控制策略對懸架系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真。磁流變阻尼器的初始值為Cs=1 kN/(m/s)，懸架的其他參數(shù)為：Ks=16 kN/m，mc=690 kg，mt=40 kg，Kt=200 kN/m。分別選擇正弦路面和白噪聲隨機(jī)路面譜作為懸架系統(tǒng)的輸入激勵。其中，正弦路面激勵的具體輸入信號表示為

白噪聲隨機(jī)路面激勵則以C 級路面譜作為激勵輸入，路面激勵用白噪聲表示：

式中：G0為路面不平度系數(shù)；U0為車速；ζ(t)為白噪聲。此處的白噪聲相當(dāng)于路面激勵的速度，其功率譜密度采用下式計算：

在車輛行駛的過程中，車身加速度與舒適性密切相關(guān)，故常作為評價汽車舒適性的量化指標(biāo)。此外，懸架動行程除了能反映乘員的舒適性外也能在一定程度上反映在受到路面激勵時懸架的穩(wěn)定性。為了在驗證所設(shè)計的考慮時滯的半主動控制策略有效性的同時，了解不同時滯穩(wěn)定性條件下的魯棒H∞控制策略效果的區(qū)別，本文以車身加速度和懸架動行程作為評價懸架控制性能的指標(biāo)，進(jìn)行不同時滯條件下的懸架半主動仿真試驗。

圖4 車身加速度比較(正弦路面)

圖5 懸架動行程比較(正弦路面)

圖6 車身加速度比較(白噪聲隨機(jī)路面)

圖7 懸架動行程比較(白噪聲隨機(jī)路面)

從圖4 和圖5 中可以看出，正弦路面激勵下，在系統(tǒng)實際延時不超過時滯界限時，相較于被動懸架，時滯獨立及時滯依賴條件下的半主動控制策略的控制性能在車身加速度及懸架動行程方面均有所提升，且時滯依賴條件下控制策略的性能提升更明顯。

由圖6 和圖7 可知，白噪聲隨機(jī)路面激勵下的控制性能與正弦路面激勵下的結(jié)果保持一致。

仿真試驗中具體性能指標(biāo)的峰值及均方根值如表1 所示。從表中可知，正弦路面工況下，兩性能指標(biāo)的峰值從被動懸架的1.9459 和0.0798 分別降低到時滯獨立控制時的1.0006 和0.0587，時滯依賴控制時的0.7648 和0.0429，時滯獨立下降比為48.6%和26.4%，時滯依賴下降比為60.1%和46.2%。兩性能指標(biāo)的均方根值從被動懸架的1.0808和0.0436 分別降低到時滯獨立控制時的0.5575和0.0287，時滯依賴控制時的0.4036 和0.0227，時滯獨立下降比為48.7%和34.2%，時滯依賴下降比為62.6%和47.7%。在白噪聲隨機(jī)路面工況下，兩性能指標(biāo)的峰值從被動懸架的2.9061 和0.111 5分別降低到時滯獨立控制時的2.3141 和0.0834，時滯依賴控制時的1.8760 和0.0651，時滯獨立下降比為20.4%和25.2%，時滯依賴下降比為35.4%和41.6%。兩性能指標(biāo)的均方根值從被動懸架的1.2497 和0.0489 分別降低到時滯獨立控制時的0.7278 和0.0337，時滯依賴控制時的0.6578 和0.0261，時滯獨立下降比為41.7%和31.3%，時滯依賴下降比為47.4%和46.6%。

表1 半主動控制性能指標(biāo)的峰值及均方根值(實際延時量不超過時滯界限)

當(dāng)實際延時量大于時滯界限時，即d=0.4 s 時，根據(jù)定理2 及時滯界限=0.2 s 的條件，計算出時滯依賴控制律K0，即控制律K0中所反映的時滯界限小于實際延時量。再根據(jù)定理1 計算出時滯獨立控制律K，其中K的獲得不需要時滯界限條件。在白噪聲路面激勵下分別將兩控制律應(yīng)用到控制系統(tǒng)當(dāng)中，進(jìn)行控制性能分析，并將結(jié)果與被動懸架對比，如圖8 和圖9 所示。

圖8 車身加速度比較(白噪聲隨機(jī)路面)

圖9 懸架動行程比較(白噪聲隨機(jī)路面)

當(dāng)系統(tǒng)實際延時超過所設(shè)計的控制策略時滯邊界時，時滯獨立條件下的半主動控制懸架性能依舊優(yōu)于被動懸架系統(tǒng)，而時滯依賴條件下的半主動懸架性能卻變得較差，表現(xiàn)為隨著時間的推移，控制性能出現(xiàn)明顯惡化現(xiàn)象。

仿真試驗中具體性能指標(biāo)的峰值及均方根值如表2 所示。從表中可知，在白噪聲隨機(jī)路面激勵下，時滯依賴條件下半主動懸架的車身加速度和懸架動行程的峰值分別為2.9156 和0.1151，均方根值分別為1.2690 和0.0504，相比于被動懸架基本毫無優(yōu)勢，甚至稍遜于被動懸架。

表2 半主動控制性能指標(biāo)的峰值及均方根值(實際延時量超過時滯界限)

與之形成鮮明對比的是，時滯獨立條件下，半主動控制懸架的車身加速度和懸架動行程峰值從被動懸架的2.9061 和0.1115 降低到了2.4683 和0.0890，降幅達(dá)15.1%和20.2%，均方根值從被動懸架的1.2497 和0.0489 降低到了0.7754 和0.0359，降幅達(dá)37.9%和26.6%，相較于系統(tǒng)實際延時不超過所設(shè)計控制策略時滯邊界的情況，其降幅保持穩(wěn)定。

5 結(jié)論

1) 以1/4 車輛動力學(xué)模型為研究對象，建立了磁流變半主動懸架控制系統(tǒng)，并根據(jù)魯棒H∞控制理論設(shè)計了半主動控制策略。數(shù)值仿真結(jié)果證明，設(shè)計的懸架半主動控制策略能改善車輛的平順性。

2) 當(dāng)系統(tǒng)實際延時不超過時滯界限時，時滯獨立和時滯依賴條件下半主動控制策略的控制性能均優(yōu)于被動懸架，且時滯依賴條件下的控制性能更明顯，說明時滯依賴穩(wěn)定性條件下的控制策略針對性較強(qiáng)。

3) 當(dāng)系統(tǒng)實際延時超過時滯界限時，時滯獨立條件下的半主動控制性能仍優(yōu)于被動懸架系統(tǒng)，但時滯依賴條件下的控制性能有惡化趨勢，說明時滯獨立條件下控制策略具有更好的穩(wěn)健性。