田素 康玥媛

[摘 ?要] 在學(xué)習(xí)章建躍先生“基于深化教改要求的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)”講座視頻的基礎(chǔ)上，文章分析了解析教學(xué)內(nèi)容的重要性，建構(gòu)了教學(xué)內(nèi)容解析的基本框架，即從整體架構(gòu)下解析教學(xué)內(nèi)容，知其然——了解基本內(nèi)容，知其所以然——體會(huì)內(nèi)容本質(zhì)，何由以知其所以然——深化學(xué)生認(rèn)知.文章以向量的數(shù)量積為例，進(jìn)行具體教學(xué)內(nèi)容的解析.

[關(guān)鍵詞] 向量的數(shù)量積;教學(xué)內(nèi)容解析;數(shù)學(xué)教學(xué)

章建躍先生是課程教材研究所研究員、中國心理學(xué)會(huì)教育心理學(xué)專業(yè)委員會(huì)學(xué)術(shù)委員，曾經(jīng)擔(dān)任中學(xué)數(shù)學(xué)教師十年，有豐富的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，且在全國核心雜志上發(fā)表論文百余篇.在天津師范大學(xué)承辦的2019年“國培”班計(jì)劃中，章建躍先生開展了“基于深化教改要求的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)”主題講座，在主題四中，深度剖析了教學(xué)內(nèi)容解析的框架及要求，并結(jié)合實(shí)例介紹了理解知識的三層境界：知其然，知其所以然，何由以知其所以然.

提出問題

2019年國務(wù)院辦公廳發(fā)布的《關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》中，第十條明確要求“深化課堂教學(xué)改革，提高課堂教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)掌握各學(xué)科基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法.”[1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》中提到“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡稱“四基”），提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）.”[2]

“四基”“四能”的落實(shí)已經(jīng)是當(dāng)今教學(xué)的必然要求，那如何去落實(shí)“四基”“四能”呢？章建躍先生在講座中提到落實(shí)“四基”“四能”就等于落實(shí)核心素養(yǎng).“四基”“四能”的落實(shí)主要在數(shù)學(xué)內(nèi)容教學(xué)中來實(shí)現(xiàn)，以教學(xué)內(nèi)容為載體引導(dǎo)學(xué)生獲得“四基”，發(fā)展“四能”，形成數(shù)學(xué)思維方式[3]. 基于此教師對教學(xué)內(nèi)容的解析也就成為一種必要.

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，具有物理背景和幾何背景，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，是數(shù)學(xué)教材中很重要的數(shù)學(xué)知識[4]. 向量的數(shù)量積是向量內(nèi)容體系中重要的組成部分，涉及向量的模和角度之間的運(yùn)算. 在人教A版新教材中，正弦定理、余弦定理都應(yīng)用到了向量的數(shù)量積. 向量的數(shù)量積在向量體系乃至高中數(shù)學(xué)體系中起著重要的作用.

基于以上分析，在一節(jié)具體的教學(xué)內(nèi)容中如何去解析呢？本文以“向量的數(shù)量積”為例，來進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容的解析.

教學(xué)內(nèi)容解析框架

章建躍先生在講座中提出了解析內(nèi)容的要求，即理解知識的三重境界：知其然，知其所以然，何由以知其所以然這三個(gè)層次. 王光明、米妍提出了整體性數(shù)學(xué)思維方式，即利用全方位的研究視角去思考知識整體及局部的內(nèi)在結(jié)構(gòu)[5]. 于漪先生提到，基礎(chǔ)教育是整體的，不是分支的，它更重要的是基礎(chǔ)，基礎(chǔ)是要整體構(gòu)架的. 章建躍先生主張“一般觀念”指導(dǎo)下研究對象，且提出了以“一般觀念”為指導(dǎo)研究整體架構(gòu)[6].

基于以上內(nèi)容的分析，結(jié)合章建躍先生提出的研究內(nèi)容的整體架構(gòu)和理解知識的三重境界，來建立教學(xué)內(nèi)容解析的框架，并根據(jù)此框架對向量數(shù)量積的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行解析.教學(xué)內(nèi)容解析的框架如圖1所示.

教學(xué)內(nèi)容解析的四步驟

1. 整體架構(gòu)下解析教學(xué)內(nèi)容

整體把握向量數(shù)量積的內(nèi)容，除了分析向量的數(shù)量積內(nèi)容外，還要解析向量數(shù)量積在向量內(nèi)容框架下的位置.所以先對向量內(nèi)容進(jìn)行整體把握，再進(jìn)行向量數(shù)量積內(nèi)容的把握.

向量是兼具“數(shù)”與“形”的雙重形態(tài)，有大小和方向，不僅有數(shù)的特征，也有幾何的特征.從整體上把握教學(xué)內(nèi)容，章建躍先生提出研究向量的基本套路是：背景→概念→運(yùn)算及其性質(zhì)→聯(lián)系→應(yīng)用. [6]李昌官以平面向量為例分析了向量教學(xué)單元的邏輯主線，即“概念抽象→表示→關(guān)系→運(yùn)算→應(yīng)用”[7].基于兩者的框架基礎(chǔ)上，按照“背景引入→概念→表示→關(guān)系→運(yùn)算及運(yùn)算律→聯(lián)系與應(yīng)用”這個(gè)架構(gòu)來分析向量內(nèi)容.

向量這一章節(jié)，從實(shí)際背景出發(fā)抽象出向量的概念以及一些輔助性概念，如零向量、單位向量等，學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際背景出發(fā)抽象出數(shù)學(xué)對象的過程[8].概念產(chǎn)生之后就要研究向量的表示，即幾何、坐標(biāo)、符號表示.向量有大小和方向，從大小和位置關(guān)系兩個(gè)角度去研究其關(guān)系. 接著研究向量的運(yùn)算及其運(yùn)算律，最后運(yùn)用向量解決幾何、物理中的問題.向量的數(shù)量積屬于向量的運(yùn)算部分，通過對整個(gè)向量架構(gòu)的分析，從整體把握向量數(shù)量積所處的地位和作用.

向量的數(shù)量積內(nèi)容在一定程度上可以參考研究向量的整體架構(gòu)，鑒于向量數(shù)量積的特性，將架構(gòu)確定為“背景引入→概念→性質(zhì)→運(yùn)算性質(zhì)→聯(lián)系與應(yīng)用”.

從背景引入來看，從物理情境引入，從力的做功能抽象出兩個(gè)向量之間的運(yùn)算，體會(huì)向量與物理之間的聯(lián)系.從概念來看，通過物理模型，抽象概括出向量數(shù)量積的定義. 從向量數(shù)量積的性質(zhì)來看，涉及投影和投影向量.從向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)來看，包括幾何性質(zhì)和代數(shù)性質(zhì).從聯(lián)系與應(yīng)用來看，能根據(jù)定義公式求解具體的運(yùn)算，體會(huì)幾何與代數(shù)的聯(lián)系. 基于以上分析，在整體架構(gòu)下對向量的數(shù)量積內(nèi)容有一個(gè)完整的把握，有助于教師在一般觀念指導(dǎo)下進(jìn)行教學(xué)過程的研究.

2. 知其然——了解基本內(nèi)容

“知其然”是教學(xué)內(nèi)容解析的第一步，從教學(xué)內(nèi)容的上、下位知識來看，向量的數(shù)量積是向量運(yùn)算的一種形式，向量的數(shù)量積的學(xué)習(xí)完善了向量的運(yùn)算體系，有利于學(xué)生從數(shù)的角度去體會(huì)研究數(shù)學(xué)要素的基本方法和思路. 從知識角度來理解，首先從物理背景得出向量數(shù)量積的定義，在定義中兩向量為非零向量、夾角的概念、兩向量夾角的范圍、向量的數(shù)量積結(jié)果是一個(gè)數(shù)、零向量與任一向量的數(shù)量積為零，這些內(nèi)容都是需要從向量的數(shù)量積定義中引申出來的.定義之后，借助幾何直觀，讓學(xué)生了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義[9]. 接下來要研究數(shù)量積運(yùn)算的性質(zhì)，向量運(yùn)算的性質(zhì)既有幾何性質(zhì)也有代數(shù)性質(zhì)[10]. 從幾何性質(zhì)方面來說，研究一些特殊的單位向量、共線向量、兩向量平行或者垂直時(shí)數(shù)量積的特性;從代數(shù)性質(zhì)方面來說，類比數(shù)的乘法運(yùn)算，得出向量數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律.最后是向量數(shù)量積的應(yīng)用. 以上這些內(nèi)容是向量數(shù)量積的基本知識內(nèi)容，把握這些內(nèi)容是基礎(chǔ)，教師對整體內(nèi)容有了把握之后，再去進(jìn)一步解析向量的數(shù)量積內(nèi)容，這樣才能更好地引導(dǎo)學(xué)生“知其所以然”.

3. 知其所以然——體會(huì)內(nèi)容本質(zhì)

“知其所以然”通俗來講，是讓學(xué)生明白知識是如何來的，知識的抽象過程、推導(dǎo)過程是怎么樣的. 在真正學(xué)習(xí)過程中，有的學(xué)生只了解向量數(shù)量積的表達(dá)式，而對于表達(dá)式由來的過程并不很理解. 這就需要教師從“知其所以然”的角度對內(nèi)容進(jìn)行解析.

如向量的數(shù)量積是從物理背景中進(jìn)行的數(shù)學(xué)抽象，也就是從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，再用數(shù)學(xué)語言予以表征[11]. 再比如投影概念的引入，通過力做功的表達(dá)式中，類比Fcosθ的物理意義，結(jié)合向量積的意義，說出bcosθ的幾何意義，進(jìn)而理解投影的意義. 將數(shù)學(xué)與物理聯(lián)系在一起，從物理角度去體會(huì)投影，更能加深學(xué)生對于向量知識的理解. 所以教師在解析內(nèi)容時(shí)，既要想到如何將知識講清楚，又要把知識講透徹，做到教學(xué)的準(zhǔn)、精、簡.

4. 何由以知其所以然——深化學(xué)生認(rèn)知

“何由以知其所以然”是要在“如何使學(xué)生想得到”上有所突破，這是解析教學(xué)內(nèi)容非常關(guān)鍵的一步.要引導(dǎo)學(xué)生把握知識體系、主動(dòng)思考、積極提問、自主探究.從而使學(xué)生逐步了解研究一個(gè)數(shù)學(xué)對象的基本框架和路徑，發(fā)展理性思維. 向量的數(shù)量積這一節(jié)的內(nèi)容，在教學(xué)時(shí)要向?qū)W生滲透“背景引入→概念→性質(zhì)→運(yùn)算性質(zhì)→聯(lián)系與應(yīng)用”整體框架.

數(shù)學(xué)中引進(jìn)一個(gè)新的量，自然要考慮它的運(yùn)算及其運(yùn)算律的問題.由于向量既有大小又有方向，向量運(yùn)算可以與熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比，從中得到啟發(fā)，在前面學(xué)習(xí)了向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，學(xué)生能想到研究向量與向量的乘法是很自然的. 這也就解決了向量數(shù)量積內(nèi)容是如何找到的這一問題.定義了一種運(yùn)算就要研究這種運(yùn)算的運(yùn)算律，也就是向量數(shù)量積的運(yùn)算律.如何使學(xué)生想到要去研究運(yùn)算律呢，此時(shí)可以類比向量的加法，學(xué)習(xí)了向量的加法之后，類比數(shù)的加法法則，又去研究了向量的加法滿足交換律和結(jié)合律. 那在學(xué)習(xí)了向量的數(shù)量積之后，類比數(shù)的運(yùn)算律，再去研究向量數(shù)量積的運(yùn)算律.這一過程就將為何研究運(yùn)算律解析清楚了.通過“何由以知其所以然”的過程引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)研究數(shù)學(xué)對象的整體框架，發(fā)展學(xué)生思維，獲得“四基”、發(fā)展“四能”.

結(jié)論

離開知識的理解和應(yīng)用，核心素養(yǎng)的發(fā)展將成為一句空話[12]. 解析教學(xué)內(nèi)容的目的是準(zhǔn)確理解內(nèi)容的基礎(chǔ)上做到教學(xué)的準(zhǔn)、精、簡，因此建立起教學(xué)內(nèi)容解析的框架.

1. 教學(xué)內(nèi)容解析框架：先從整體架構(gòu)下解析教學(xué)內(nèi)容，然后根據(jù)教學(xué)內(nèi)容解析的三重境界逐步完成對教學(xué)內(nèi)容的解析.

2. 從整體架構(gòu)下解析教學(xué)內(nèi)容：這是教學(xué)內(nèi)容解析的前提，先對教學(xué)內(nèi)容所在章節(jié)進(jìn)行整體分析，再去分析教學(xué)內(nèi)容的整體框架. 如解析向量的數(shù)量積內(nèi)容，先對向量章節(jié)進(jìn)行整體分析，然后對向量的數(shù)量積內(nèi)容進(jìn)行整體分析.

3. 教學(xué)內(nèi)容解析的三重境界：從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”. “知其然”是教學(xué)內(nèi)容解析的第一步，這一步主要了解解析內(nèi)容的知識有哪些. 僅僅了解知識內(nèi)容是不夠的，還需要“知其所以然”，也就是知道知識的由來過程，體會(huì)內(nèi)容本質(zhì).在此基礎(chǔ)上，再解決如何使學(xué)生想到要學(xué)習(xí)這一內(nèi)容，也就是“何由以知其所以然”. 通過這三個(gè)步驟，層層解析，步步深入，從而準(zhǔn)確理解教學(xué)內(nèi)容，以內(nèi)容為載體有效開展課堂教學(xué)，落實(shí)“四基”“四能”，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).

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