李茹雪，劉 瀾,2

(1.西南交通大學(xué) 交通運(yùn)輸與物流學(xué)院，四川 成都 610031; 2.西南交通大學(xué) 綜合交通運(yùn)輸智能化國(guó)家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031)

0 引言

隨著城鎮(zhèn)化進(jìn)程的發(fā)展和人們生活水平的提高，私人小汽車的擁有量快速增長(zhǎng)，交通擁擠成為制約大城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展的一個(gè)重要問(wèn)題。同時(shí)，人們也逐漸從世界各地解決交通擁堵的實(shí)踐中認(rèn)識(shí)到：從交通供給層面新建或擴(kuò)展道路，在緩解擁堵的同時(shí)也產(chǎn)生了新的需求，結(jié)果便是導(dǎo)致交通出行環(huán)境的進(jìn)一步惡化。因此，擁擠收費(fèi)作為一有效的交通需求管理手段被提出，通過(guò)在特定的時(shí)段或路段對(duì)車輛實(shí)行收費(fèi)的方法，限制車輛的使用頻率，降低用戶出行需求的增長(zhǎng)速度，從而維持系統(tǒng)合理的運(yùn)行和服務(wù)水平。

在過(guò)去的幾十年里，擁擠收費(fèi)在倫敦[1]、新加坡[2]、斯德哥爾摩[3]等多個(gè)國(guó)家或地區(qū)得到了實(shí)踐。這些擁擠收費(fèi)策略大都采用了邊界收費(fèi)的方法，即對(duì)劃定邊界區(qū)域?qū)嵭惺召M(fèi)從而達(dá)到目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)。大多數(shù)邊界收費(fèi)研究采用收費(fèi)相同的單一費(fèi)率方法，如 Verhoef建立了仿真模型來(lái)研究邊界收費(fèi)，并通過(guò)啟發(fā)式算法求解得到費(fèi)率和收費(fèi)點(diǎn)的最佳位置[4]。但隨著研究的深入，單一費(fèi)率的收費(fèi)模式逐漸顯現(xiàn)出不公平、造成資源浪費(fèi)等弊端。2000年，May 和Milne首先提出了分別基于時(shí)間、擁擠度和距離的3種多費(fèi)率邊界收費(fèi)策略[5]。其中前兩種收費(fèi)策略通常與其他收費(fèi)方法結(jié)合使用，而基于距離的邊界收費(fèi)策略因其公平高效的特點(diǎn)得到了眾多學(xué)者的關(guān)注。在May的基礎(chǔ)之上，早期的學(xué)者們對(duì)英國(guó)[6]和德國(guó)[7]進(jìn)行了基于距離的收費(fèi)策略研究，但將費(fèi)用定義為行駛距離的線性函數(shù)的做法與現(xiàn)實(shí)不符。隨后，Lawphongpanich和Yin提出了一種非線性的收費(fèi)策略，即利用分段線性函數(shù)表達(dá)非線性距離函數(shù)進(jìn)而求得費(fèi)用，但該分段線性方法只能將分段數(shù)量限制在兩段及以下[8]。為了滿足交通網(wǎng)絡(luò)對(duì)更多分段形式的要求，Meng研究了將非線性距離函數(shù)等分成n段線性函數(shù)來(lái)獲取最優(yōu)距離收費(fèi)的方法，并提出最優(yōu)距離收費(fèi)函數(shù)是關(guān)于距離的非遞減正函數(shù)[9]。國(guó)內(nèi)的孫鑫[10]和程啟秀[11]分別研究了基于距離的靜態(tài)與動(dòng)態(tài)收費(fèi)策略，前者對(duì)求解非線性距離函數(shù)中基于路段的算法進(jìn)行了改進(jìn)，后者則考慮交通流的時(shí)變性，研究隨機(jī)逐日動(dòng)態(tài)擁擠收費(fèi)下的最優(yōu)費(fèi)率。Zheng首先將宏觀基本圖(Macroscopic Fundamental Diagram)作為判斷最優(yōu)收費(fèi)的工具來(lái)實(shí)施邊界收費(fèi)策略[12]，證明了MFD相比其他方法更為直觀有效，但單一費(fèi)率的邊界收費(fèi)忽略了車輛在邊界區(qū)域中行駛的距離。因此為了提高擁擠收費(fèi)的公平性與有效性，本研究提出將MFD與多費(fèi)率邊界收費(fèi)策略相結(jié)合的方法，即考慮車輛在邊界區(qū)域中行駛的距離對(duì)費(fèi)率產(chǎn)生的影響，將MFD的相關(guān)特性應(yīng)用于收費(fèi)模型，得到使邊界收費(fèi)區(qū)域的通行能力維持在最優(yōu)水平的收費(fèi)策略。

智能交通技術(shù)的迅猛發(fā)展為該收費(fèi)策略在數(shù)據(jù)的獲取上提供了技術(shù)保障。以電子警察系統(tǒng)、治安卡口系統(tǒng)和各類城市交通監(jiān)控系統(tǒng)為代表的智能交通系統(tǒng)建設(shè)，基本上實(shí)現(xiàn)了在我國(guó)大中城市主要路段和交叉口信息采集點(diǎn)位的完整覆蓋[13]；結(jié)合GPS和北斗衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)、電子地圖和ETC等技術(shù)的應(yīng)用，能夠?qū)崿F(xiàn)車輛的精確定位，從而獲取車輛在邊界區(qū)域內(nèi)的行駛距離，再根據(jù)收費(fèi)函數(shù)即可計(jì)算出出行者應(yīng)支付的費(fèi)用?，F(xiàn)代信息技術(shù)提供的大數(shù)據(jù)環(huán)境，加之?dāng)?shù)據(jù)采集、存儲(chǔ)、傳輸和計(jì)算等方面軟硬件技術(shù)的飛速進(jìn)步，為在實(shí)際交通管控業(yè)務(wù)中完備、精細(xì)地處理各種復(fù)雜因素提供了可能。

為此，本研究首先在第1部分介紹了MFD的基本概念和相關(guān)特性，在此基礎(chǔ)上第2部分定義了收費(fèi)函數(shù)的非線性形式，并結(jié)合MFD特性建立了固定需求下的雙層規(guī)劃收費(fèi)模型，第3部分則提出了一種基于非線性收費(fèi)函數(shù)的改進(jìn)FW算法，以求解該收費(fèi)模型。為了驗(yàn)證模型和算法的可行性，論文在第4部分中進(jìn)行了算例分析，并在第5部分總結(jié)了研究工作的結(jié)論，提出了面向?qū)嶋H應(yīng)用，進(jìn)一步深化研究的方向。

1 基于MFD的邊界收費(fèi)策略的提出

圖1 區(qū)域路網(wǎng)宏觀基本圖Fig.1 Macroscopic fundamental diagram of regional road network

(1)

式中，a和da分別為路段a和該路段的長(zhǎng)度；qa為路段a上的流量。

從圖中可看出，當(dāng)路網(wǎng)內(nèi)的車輛數(shù)累積到一定數(shù)值時(shí)，加權(quán)流量到達(dá)臨界值，路網(wǎng)整體運(yùn)行效益最優(yōu)[16]；若車輛數(shù)繼續(xù)增長(zhǎng)，則加權(quán)流量會(huì)隨之降低，此時(shí)路網(wǎng)處于過(guò)擁擠狀態(tài)?；诖诵再|(zhì)，許多學(xué)者將MFD應(yīng)用于構(gòu)建控制模型[17]或經(jīng)濟(jì)學(xué)模型[9]中。

因此，借鑒相關(guān)策略中通過(guò)MFD調(diào)節(jié)進(jìn)入邊界的車輛數(shù)這一思想，在實(shí)施收費(fèi)策略時(shí)，將MFD的相關(guān)參數(shù)與收費(fèi)模型相結(jié)合，讓區(qū)域內(nèi)的累計(jì)車輛數(shù)N盡量保持在臨界車輛數(shù)N*附近，從而使收費(fèi)區(qū)域的運(yùn)行效益最大，保證區(qū)域內(nèi)交通運(yùn)行暢通。

2 基于距離的邊界收費(fèi)方案設(shè)計(jì)

2.1 距離收費(fèi)函數(shù)

在以往將距離收費(fèi)函數(shù)設(shè)置為線性形式的收費(fèi)策略中，曲線斜率多是人為主觀設(shè)定，導(dǎo)致無(wú)法準(zhǔn)確獲得系統(tǒng)最優(yōu)目標(biāo)值。因此，本研究將基于距離的收費(fèi)函數(shù)定義為非線性函數(shù)：

(2)

(3)

由于該收費(fèi)函數(shù)是非線性的，造成廣義路徑出行時(shí)間不等于該路徑上各條路段出行時(shí)間之和，這被稱為路徑成本的不可加性[16]。在此采用分段線性逼近的方法來(lái)解決此非線性收費(fèi)問(wèn)題。首先用lmax和lmin分別為邊界區(qū)域中最大和最小的路徑長(zhǎng)度，對(duì)應(yīng)于收費(fèi)費(fèi)率ymin和ymax。將該范圍等分為n個(gè)相同的間隔，并假設(shè)收費(fèi)費(fèi)率是車輛在收費(fèi)區(qū)域中行駛距離的非遞減函數(shù)，則非線性函數(shù)近似由n個(gè)線性函數(shù)組成，且每個(gè)線性函數(shù)由間隔的兩個(gè)邊界值唯一確定。如圖2所示，當(dāng)車輛在邊界區(qū)域中的行駛距離值屬于某個(gè)間隔范圍內(nèi)時(shí)，就使用該間隔的線性函數(shù)計(jì)算費(fèi)率。

圖2 分段線性收費(fèi)原理Fig.2 Piecewise-linear tolling principle

因此得到計(jì)算基于距離的收費(fèi)費(fèi)率公式為：

(4)

2.2 固定用戶平衡下的雙層規(guī)劃模型

用MFD判斷上層目標(biāo)函數(shù)是否達(dá)到最優(yōu)的方法，既簡(jiǎn)化了求解雙層規(guī)劃模型過(guò)程中的計(jì)算，又能根據(jù)收費(fèi)區(qū)域的MFD圖像，較為直觀清晰地觀測(cè)出系統(tǒng)處于最優(yōu)運(yùn)行狀態(tài)下的臨界值，從而找到使收費(fèi)區(qū)域輸出流量最大的費(fèi)率組合y=[y0,y1,…，yk,yk+1,…，yn]Τ。因此，以收費(fèi)區(qū)域輸出流量最大為目標(biāo)建立上層模型，目標(biāo)函數(shù)如下：

(5)

(6)

式中，a和da分別為收費(fèi)區(qū)域內(nèi)路段a和該路段的長(zhǎng)度;xa為收費(fèi)區(qū)域內(nèi)路段a上的流量。

假定交通網(wǎng)絡(luò)中用戶的路徑選擇行為服從Wardrop第一定理，即用戶知道每條可選擇路徑的交通時(shí)間，并能選擇其中的最短路，此時(shí)就達(dá)到了用戶平衡狀態(tài)(UE)。在實(shí)行收費(fèi)方案后，用戶在交通網(wǎng)絡(luò)內(nèi)進(jìn)行路徑選擇時(shí)不僅要考慮路徑的出行時(shí)間，還要考慮收費(fèi)所造成的出行成本的增加。利用出行時(shí)間價(jià)值這一參數(shù)，將收費(fèi)所造成的出行成本換算為時(shí)間費(fèi)用，得到廣義出行成本如下：

(7)

式中，β為用戶的出行時(shí)間價(jià)值，路段出行時(shí)間ta(xa)采用BPR函數(shù)計(jì)算，如下公式所示：

(8)

式中，Ca為路段a的通行能力。在給定的距離收費(fèi)函數(shù)下，得到的下層用戶均衡模型如下：

(9)

(10)

(11)

(12)

3 基于路段的FW算法

Frank-Wolfe(FW)算法作為一種可行方向法，廣泛運(yùn)用于求解含線性約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題。該算法主要可分為確定可行下降方向和確定步長(zhǎng)兩個(gè)步驟，其中確定可行下降方向等價(jià)于求解線性規(guī)劃問(wèn)題，進(jìn)一步等價(jià)于求解最短路問(wèn)題[9]。但由于非線性距離收費(fèi)函數(shù)導(dǎo)致了路徑成本的不可加性，使用傳統(tǒng)的最短路算法不再可行。因此Meng等人提出了一種網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換法(Network Reformation Technique)以解決路徑成本的不可加性問(wèn)題[18]。該方法通過(guò)用虛擬路段(Dummy Link)替代收費(fèi)區(qū)域中的路徑，從而將路徑不可加成本轉(zhuǎn)換為基于路段的可加成本。

對(duì)收費(fèi)區(qū)域中的每一個(gè)OD對(duì)(m,n)∈ψ，至少有1條非循環(huán)路徑連接起點(diǎn)m和終點(diǎn)n，即內(nèi)部路徑，收費(fèi)區(qū)域中所有的內(nèi)部路徑構(gòu)成集合E。用虛擬路段替代OD對(duì)(m,n)間所有的內(nèi)部路徑e∈E后，包含虛擬路段的新收費(fèi)區(qū)域與外部網(wǎng)絡(luò)就組成了新的交通網(wǎng)絡(luò)G′=(N′,A′)。

圖3 網(wǎng)絡(luò)變換法示例Fig.3 Illustrative example of network transformation method

如圖3所示，原始收費(fèi)區(qū)域由節(jié)點(diǎn)1，2，3和路段1，2，3構(gòu)成，OD對(duì)1-3之間的兩條內(nèi)部路徑分別1→2→3和1→3。經(jīng)過(guò)網(wǎng)絡(luò)變換后，內(nèi)部路徑由1-3-1和1-3-2兩條虛擬路段代替。這就將原本基于距離的路徑不可加收費(fèi)轉(zhuǎn)化為只存在于虛擬路段上的可加收費(fèi)，每條路徑上的廣義出行成本就等于其上各路段的成本之和[10]。解決了路徑成本的不可加性問(wèn)題后，基于虛擬路段的FW算法步驟如下：

4 算例分析

圖4 路網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.4 Road network topology

由表1中的數(shù)據(jù)可知，收費(fèi)區(qū)域中的最短和最長(zhǎng)距離分別為300 m和900 m。假設(shè)分段線性函數(shù)有3個(gè)間隔，每個(gè)間隔長(zhǎng)度為200 m，得到4個(gè)邊界值l0=3，l1=5，l2=7，l3=9。參考新加坡的收費(fèi)制度，將最小收費(fèi)和最大收費(fèi)分別定為y0=ymin=5，ymax=20。

表1 簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)路段參數(shù)Tab.1 Link parameters of simple network

表2 內(nèi)部路徑參數(shù)Tab.2 Parameters of internal routes

在Vissim中構(gòu)建上述簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)的仿真路網(wǎng)，將該仿真路網(wǎng)的仿真周期設(shè)置為3 600 s，每隔90 s采集1次數(shù)據(jù)，對(duì)出入路網(wǎng)的車輛數(shù)、路網(wǎng)內(nèi)各路段流量、路網(wǎng)平均行程時(shí)間、路網(wǎng)平均延誤時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。由于擁擠收費(fèi)策略的對(duì)象不包括行人、自行車和公交車，因此僅針對(duì)小汽車進(jìn)行仿真。通過(guò)在路網(wǎng)進(jìn)出路段布設(shè)數(shù)據(jù)采集點(diǎn)，得到仿真時(shí)間間隔路網(wǎng)內(nèi)的累積車輛數(shù)，再對(duì)各路段流量進(jìn)行距離加權(quán)，最后得到表示路網(wǎng)加權(quán)流量與累積車輛數(shù)的關(guān)系如圖5(a)所示。

圖5 模擬迭代過(guò)程Fig.5 Simulation and interative process

利用MATLAB對(duì)MFD散點(diǎn)圖進(jìn)行擬合后，發(fā)現(xiàn)得到的擬合函數(shù)符合二次曲線形式：

qw=0.000 4N2+0.696 1N+56.582。

(13)

從MFD散點(diǎn)擬合圖和擬合函數(shù)中可以看出，當(dāng)路網(wǎng)內(nèi)累積車輛數(shù)處于870輛附近時(shí)，路網(wǎng)的加權(quán)流量達(dá)到其峰值359 veh/h，此時(shí)的流出量最大。而在本研究提出的收費(fèi)模型中，上層目標(biāo)函數(shù)正是要使路網(wǎng)的輸出流量最大，從而使系統(tǒng)的整體運(yùn)行效益最優(yōu)。因此，這就確定了收費(fèi)模型中上層模型的目標(biāo)函數(shù)值，將離去率λ取為0.8，則路網(wǎng)最大輸出流量為287 veh/h。通過(guò)MATLAB求解文中提出的雙層規(guī)劃收費(fèi)模型，在收費(fèi)條件下得到目標(biāo)函數(shù)值的迭代情況如圖5(b)所示。在算法迭代到33次時(shí)，輸出流量最接近于目標(biāo)函數(shù)值，為286.79 veh/h。這一結(jié)果表明，此時(shí)在模型中應(yīng)用的收費(fèi)函數(shù)使路網(wǎng)整體運(yùn)行效益最優(yōu)，即為最優(yōu)收費(fèi)策略。由此得到的非線性最優(yōu)收費(fèi)函數(shù)如圖6所示。

圖6 基于距離的最優(yōu)收費(fèi)函數(shù)Fig.6 Distance-based optimal tolling function

從圖6中可以看出，該路網(wǎng)最低收費(fèi)為5元，最高收費(fèi)為16元。對(duì)在邊界內(nèi)行駛距離較短的車輛，費(fèi)用曲線增長(zhǎng)平緩，收費(fèi)力度較小，因此行駛中小距離的車輛可能還是傾向于選擇汽車出行。而對(duì)于邊界內(nèi)的長(zhǎng)距離行駛車輛，費(fèi)用增長(zhǎng)幅度較大，出行費(fèi)用的明顯增加能在一定程度上鼓勵(lì)用戶縮短在邊界區(qū)域中的出行距離，同時(shí)也促進(jìn)用戶的出行方式向公共交通轉(zhuǎn)變。

5 結(jié)論

本研究建立了一種將MFD與距離收費(fèi)理論相結(jié)合的最優(yōu)定價(jià)模型，該模型中考慮固定需求下的用戶平衡，采用非線性距離收費(fèi)函數(shù)影響用戶的出行選擇行為，從而使網(wǎng)絡(luò)的輸出流量最大。在求解過(guò)程中通過(guò)網(wǎng)絡(luò)變換的方式構(gòu)建虛擬網(wǎng)絡(luò)，以解決非線性距離函數(shù)所引起的路徑成本不可加性問(wèn)題，并基于虛擬網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)了基于路段的FW算法。通過(guò)算例驗(yàn)證得到了使路網(wǎng)內(nèi)車輛數(shù)維持在最優(yōu)水平附近的分段線性收費(fèi)函數(shù)，證明了該收費(fèi)模型和算法的可行性。值得指出的是，由于現(xiàn)實(shí)應(yīng)用場(chǎng)景的多樣性，受制于基礎(chǔ)數(shù)據(jù)獲取的困難，各種影響收費(fèi)的復(fù)雜因素往往難以完整考慮，需要根據(jù)不同的現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際，選取適用因素并簡(jiǎn)化模型應(yīng)用。特別是實(shí)施收費(fèi)后可能引發(fā)的各路段交通量變化和數(shù)據(jù)疊加效應(yīng)，為制定收費(fèi)方案增加了新的難度；同時(shí)，考慮到更好的公平性和接受度，后續(xù)的研究可在基于距離收費(fèi)的基礎(chǔ)上加入時(shí)間或擁擠度等因素，結(jié)合MFD進(jìn)一步探討多費(fèi)率下的最優(yōu)定價(jià)及動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題，提出一種不僅精確并且具有廣泛實(shí)用性的改進(jìn)模型及方法。