李太敏 (江蘇省灌南縣教師發(fā)展中心 222500)

數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用各種情境進(jìn)行教學(xué)已形成共識(shí).事實(shí)上，我們需要的不僅僅是現(xiàn)實(shí)的生活情境，更需要知識(shí)性問題情境.尤其在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，常見大容量、高密度的習(xí)題教學(xué)，教師講得頭頭是道，學(xué)生聽得津津有味，但效果有時(shí)卻大打折扣，甚至學(xué)生仍做不出講過的原題(尤其是難一些的題目).因何如此？其中一個(gè)重要的原因就在于教師所講的問題沒有形成問題情境，難以讓學(xué)生真正內(nèi)化和同化，特別是題與題之間缺乏情境脈絡(luò)，無法形成一體化.

本文嘗試通過一體化情境的設(shè)計(jì)，力爭說明如何溝通問題與問題之間的聯(lián)系，從而達(dá)到一題帶動(dòng)多題、一法帶動(dòng)多題、個(gè)體帶動(dòng)整體的目的．下面以省中小學(xué)教學(xué)研究第七期課題“新課程背景下中學(xué)數(shù)學(xué)課堂情境有效化實(shí)驗(yàn)研究”活動(dòng)研討會(huì)中，本人所執(zhí)教的高三研討課“直線與圓的位置關(guān)系(相交)”復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)來加以說明．

1 基本情況

本節(jié)的課題為“直線與圓的位置關(guān)系(相交)”復(fù)習(xí)．授課對(duì)象為四星級(jí)學(xué)校高三學(xué)生．聽課教師來自省教學(xué)研究第七期課題“新課程背景下中學(xué)數(shù)學(xué)課堂情境有效化實(shí)驗(yàn)研究”的課題組成員，以及市、縣部分高三數(shù)學(xué)教師．

學(xué)情分析 活動(dòng)所在學(xué)校雖然是一所四星級(jí)學(xué)校，但優(yōu)質(zhì)生源外流較多，學(xué)生基礎(chǔ)一般，尤其是計(jì)算能力薄弱、解析幾何水平一般．

2 教學(xué)過程

2.1 引出源問題

源問題情境是一體化設(shè)計(jì)之本，通過它產(chǎn)生的情境脈絡(luò)，或串或并，從而形成各種派生問題，可以聯(lián)通到各個(gè)方面．

師：同學(xué)們，大家都知道這樣一首古詩：

半畝方塘一鑒開，天光云影共徘徊．

問渠那得清如許，為有源頭活水來．

這是朱熹的《觀書有感》，那么請(qǐng)問，在高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，教學(xué)的源頭在哪里？

生：源頭是老師．

生：源頭是高考題．

生：源頭是復(fù)習(xí)資料．

師：同學(xué)們說得都有道理，這是一個(gè)仁者見仁的問題，但老師認(rèn)為高三復(fù)習(xí)教學(xué)的源頭在課本教材.這節(jié)課我們就通過一道課本習(xí)題的演變，來復(fù)習(xí)“直線與圓的位置關(guān)系(相交)”(板書課題)．下面請(qǐng)看蘇教版教材必修2第107頁的第1題：

源問題過點(diǎn)P(-3,-4)作直線l，當(dāng)l的斜率為何值時(shí)，直線l與圓(x-1)2+(y+2)2=4相交，且所截得弦長為2？

師：下面請(qǐng)同學(xué)們用2分鐘時(shí)間做一下并自行聯(lián)想、整理、復(fù)習(xí)直線與圓位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)．

師：哪位同學(xué)做好了？請(qǐng)把思路說一下．

師：說得挺有道理又簡潔明了．

生：我要補(bǔ)充，應(yīng)說明一下斜率不存在時(shí)的情況．

生：不需要，因?yàn)轭}中問“當(dāng)l的斜率為何值時(shí)”，說明斜率已肯定存在．

2.2 引出派生題

·類比高考題

師：剛才兩位同學(xué)的回答合在一起已經(jīng)很完善了，本題雖不需要討論，但其他題目的確需要防止遺漏對(duì)斜率的討論，這也需要像這位同學(xué)那樣做到警鐘長鳴．對(duì)于這個(gè)題目，也許有同學(xué)認(rèn)為小菜一碟，但是2009年江蘇高考數(shù)學(xué)試題解答題第4題就是由這道題發(fā)展而來的，其中第(1)問是這樣的：

師：在高考中，數(shù)學(xué)解答題第4題的位置歷來具有舉足輕重的地位，做得順利，對(duì)考試就有了充分信心，有沖擊高分的希望；反之，則會(huì)有低分的后果．大家看看這題目，有信心了吧？

生(笑)：有信心．和剛才這道課本題實(shí)質(zhì)一樣．

·引出逆命題

師：好的，現(xiàn)在大條件不變，把上面的第(1)問改成：

求證：若直線l1:13x-y+26=0和l2:x+13y-83=0，則直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等．

師：請(qǐng)大家思考一下，然后看誰能說明思路.

生(思考后)：和剛才的課本的那道題方法差不多，只要利用勾股定理，分別求出弦長即可．

師：抓住了問題的本質(zhì)，能發(fā)現(xiàn)這兩條直線的位置關(guān)系嗎？

師：說得相當(dāng)好，也就是說這里的k相當(dāng)于常數(shù).有誰還要補(bǔ)充的嗎？

生：這里應(yīng)考慮斜率不存在的情況(恍然 大悟)．

說明由于所在學(xué)校的學(xué)生成績一般，因此沒有直接拋出高考題，而是設(shè)立一個(gè)梯度進(jìn)行過渡，先解決高考題的逆命題．

2.3 引出主問題

解析幾何中，尤其是關(guān)于圓的問題中，常常是以平面幾何作為背景，因此利用平幾知識(shí)來解題有時(shí)會(huì)比較簡單，也體現(xiàn)了方法的優(yōu)化，同時(shí)它也能成為這類問題中的一個(gè)共性情境脈胳，也可成為主問題．

·方法的優(yōu)化

師(提出主問題)：剛才的問題是一個(gè)關(guān)于圓的問題，除了上述方法外，能用平面幾何方法試試嗎？在平面幾何中，常用什么方法來證明兩線段相等呢？(學(xué)生思考)

生(思考后)：常用對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形全等．分別作出弦心距C1Q1,C2Q2，只要證△Q1PC1≌△Q2PC2．

生(感嘆)：這方法簡單．

師：解析幾何的有些題目本身就是由平面幾何演變而來的.剛才這個(gè)題目大家已會(huì)做了，那么本問題的逆命題，大家能試試嗎？

·再現(xiàn)高考題

(2009年江蘇卷第18題第(2)問)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2:(x-4)2+(y-5)2=4．設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

師：能用平面幾何方法試試嗎？由剛才那個(gè)題目,我們能得到什么啟示呢？

師：在高考中，絕大部分同學(xué)所采用的是第一種純解析幾何方法，有些同學(xué)雖得出了正確答案，但并不知道問題的來龍去脈；而如若用平面幾何方法，則可清楚地看到本題的本質(zhì)是什么．無獨(dú)有偶，2008年的江蘇卷解幾題也同樣如此，請(qǐng)同學(xué)回去后自已嘗試看看．

·類比模擬題

為提高教學(xué)的針對(duì)性，需把握好例題與練習(xí)的問題間的情境脈絡(luò)，使練習(xí)與例題能形成一個(gè)整體，形成解題能力突破的組合拳．

師：高考試題如此，而平時(shí)的模擬試題又是怎么樣的呢？下面請(qǐng)同學(xué)們做一個(gè)模擬試題：

已知過點(diǎn)A(-1,0)的動(dòng)直線l與圓C:x2+(y-3)2=4相交于P,Q兩點(diǎn)，M是PQ中點(diǎn)，l與直線m:x+3y+6=0相交于N．試探索AM·AN是否與直線l的傾斜角有關(guān).若無關(guān)，請(qǐng)求出其值；若有關(guān)，請(qǐng)說明理由．

師：本題也可用平面幾何解法，能發(fā)現(xiàn)嗎？能發(fā)現(xiàn)直線CA與直線m之間的關(guān)系嗎？

生(口算后)：垂直．

師：現(xiàn)在再試試．

師(小結(jié))：做得好，你發(fā)現(xiàn)了本題的本質(zhì)，也發(fā)現(xiàn)了這道題是如何編制的．

一節(jié)課很快就要結(jié)束了，這節(jié)課給同學(xué)們留下的最深的一個(gè)印象是什么？

生：兩種不同方法的比較，尤其是關(guān)于圓的問題中，常常是用平面幾何的知識(shí)來解答更簡捷．

師(最后小結(jié))：說得好，的確有些問題的命制就是從平面幾何而來的，但我們也不能形成思維定勢.吳文俊先生也說：“盡快結(jié)束平面幾何的教學(xué)，盡快引入解析幾何的教學(xué).”畢竟考查目的還應(yīng)是解析幾何，在以后的學(xué)習(xí)中我們會(huì)進(jìn)一步體會(huì)到解析幾何的作用．今天的課就上到這里，請(qǐng)課后完成有關(guān)作業(yè)(具體作業(yè)略)．

說明通過幾道作業(yè)題，與教學(xué)內(nèi)容相呼應(yīng)，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了本節(jié)課所體現(xiàn)的主要理念，嘗試比較用平幾方法與坐標(biāo)方法來解決解析幾何中的圓問題，從而進(jìn)一步厘清本節(jié)課的情境脈絡(luò)，形成一體化觀念．

3 回顧與反思

3.1 設(shè)計(jì)立意

由于近年高考數(shù)學(xué)命題中，很多試題是由課本題引申變化而來，為了使重視課本復(fù)習(xí)的精神落到實(shí)處，這節(jié)課的設(shè)計(jì)立意就是從尋找高三數(shù)學(xué)教學(xué)的源頭做起，由課本的原問題，通過它的情境脈絡(luò)，聯(lián)想到近年的高考數(shù)學(xué)試題及其逆命題，再回歸到具有共性的平面幾何情境的模擬試題.通過一道課本習(xí)題的情境脈絡(luò)及其演變，努力踐行一題多解、多解歸一、多題歸一的高三復(fù)習(xí)一體化情境教學(xué)理念．

美國著名教育心理學(xué)家奧蘇伯爾曾說：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸納為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之：影響學(xué)習(xí)的唯一重要的因素就是學(xué)生已經(jīng)知道了什么；要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué).”考慮到所教的學(xué)生基礎(chǔ)相對(duì)薄弱，因此這節(jié)課沒有直接拋出較難的高考題，而是進(jìn)行了多次鋪墊，分別將動(dòng)直線改為定直線、原命題改為逆命題，通過螺旋式上升的設(shè)計(jì)來貼合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生既不是很輕松地解決，又能跳一跳夠得著．

3.2 設(shè)計(jì)的原則

(1)遵循了教學(xué)背景熟悉化原則

從問題的源頭——教材題入手，整個(gè)一節(jié)課均是對(duì)該題進(jìn)行改編、追問，這樣的背景讓學(xué)生感到很親切，也樂于學(xué)習(xí)．

(2)遵循了教學(xué)過程活動(dòng)化原則

課堂教學(xué)盡可能讓學(xué)生處于活動(dòng)中，力爭每一道題都讓學(xué)生進(jìn)行嘗試，在活動(dòng)中解決問題.板演的是學(xué)生，而多媒體展示的也是學(xué)生的成果．

(3)遵循了教學(xué)內(nèi)容思考化原則

思考是數(shù)學(xué)之魂.在整個(gè)的課堂教學(xué)中，力爭讓學(xué)生在不停地思考著、體會(huì)著．

3.3 設(shè)計(jì)的關(guān)注點(diǎn)

(1)關(guān)注題目答案從哪來、到哪去

原始命題的預(yù)設(shè)解法；教師研討的多種解答；學(xué)生作業(yè)中的典型錯(cuò)解與正解．

(2)關(guān)注知識(shí)點(diǎn)的提取從哪來、到哪去

知識(shí)的結(jié)構(gòu)化理解：意在問題解決時(shí)提取“連續(xù)”.模型的完整構(gòu)建與再構(gòu)：意在問題解決時(shí)組合“有效”、發(fā)展學(xué)生模型能力．

(3)關(guān)注學(xué)生的運(yùn)算能力從哪來、到哪去

在“慢”中求得運(yùn)算的正確性：運(yùn)算能力的強(qiáng)弱體現(xiàn)在正確與迅速上，正確是運(yùn)算的第一要素，是迅速的基礎(chǔ)與前提，要慢慢體會(huì)算法、算理、算律.在“快”中提高運(yùn)算質(zhì)量：熟能生巧，求“簡”中提高運(yùn)算速度， 求“理”中體會(huì)運(yùn)算規(guī)律(為什么這樣算，還可怎樣算)．

3.4 困惑與思考

如何處理好主問題與次問題的關(guān)系：是否需要每個(gè)問題都讓每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)“真發(fā)生”，是否需要防止過分糾纏于“次問題”中？

如何處理好常規(guī)方法與簡便方法的關(guān)系：是否需要讓每個(gè)學(xué)生都掌握簡便的方法，是否需要每題都尋求創(chuàng)新的簡便方法？

如何處理好問題簡化與深化的關(guān)系：是否需要讓每個(gè)學(xué)生都學(xué)會(huì)將簡單問題深化成復(fù)雜問題，是否需要每個(gè)問題都簡化成模型或分解成簡單問題？