謝上飛

鋼?超高性能混凝土組合梁剪力滯分析的有限梁段法

謝上飛

(湖南省交通科學(xué)研究院有限公司，湖南 長沙 410015)

在選定的剪力滯翹曲位移函數(shù)的基礎(chǔ)上，鋼-超高性能混凝土(UHPC)組合梁剪力滯控制微分方程以及相應(yīng)邊界條件可基于能量變分法推導(dǎo)得到。將鋼-UHPC組合梁離散為若干梁段，通過剪力滯控制微分方程的常數(shù)求解，可得到用于求解鋼-UHPC梁段單元剪力滯效應(yīng)的系數(shù)矩陣和廣義荷載列陣，從而建立梁段單元各結(jié)點(diǎn)具有2個剪力滯未知量的有限梁段法。以余弦函數(shù)作為鋼-UHPC組合梁的翹曲位移函數(shù)，運(yùn)用有限梁段法研究以矮肋式UHPC橋面板作為橋面系的輕型組合梁的剪力滯效應(yīng)。為了驗證有限梁段法求解等截面鋼-UHPC組合梁剪力滯效應(yīng)的正確性，比較不同邊界條件下鋼-UHPC組合梁在施加均布荷載和集中荷載時的剪力滯系數(shù)與由變分法得到的組合梁剪力滯一般解，吻合度較好。應(yīng)用于鋼-UHPC組合梁剪力滯分析的有限梁段法簡單實用，計算公式簡潔，也可以將其應(yīng)用于變截面鋼-UHPC組合梁的剪力滯效應(yīng)的求解。

鋼-UHPC組合梁；剪力滯；變分法；余弦函數(shù)

鋼?混凝土組合梁具有結(jié)構(gòu)受力合理、建造成本相對較低的優(yōu)勢，因而在橋梁建設(shè)中受到普遍的青睞[1]。然而，普通混凝土材料內(nèi)部氣泡、孔隙、微裂紋等缺陷較多，其力學(xué)強(qiáng)度及耐久性有限。因此傳統(tǒng)的鋼?混凝土組合梁存在結(jié)構(gòu)自重大、耐久性病害多等問題，不僅增加了維護(hù)成本，也制約了其在橋梁工程中，特別是大跨橋梁結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用。在此背景下，邵旭東等[2]提出了一種新型的鋼?超高性能混凝土(Ultra High Performance Concrete, UHPC)輕型組合梁。與普通混凝土相比，超高性能混凝土[3](UHPC)是基于最大密實度理論，采用水泥、細(xì)砂、硅灰以及粉煤灰等活性粉末，并摻入高效減水劑及微細(xì)鋼纖維配置而成的新型水泥基復(fù)合材料，因而具有高密實度、高強(qiáng)度、高韌性、高耐久性等優(yōu)點(diǎn)。用UHPC替代普通混凝土制作主梁或橋面板可以解決鋼?混凝土組合梁存在的上述問題，與鋼結(jié)構(gòu)橋梁相比，鋼-UHPC組合梁表現(xiàn)出良好的抗彎拉疲勞性能，且具有全壽命經(jīng)濟(jì)性。鋼-UHPC組合梁已經(jīng)開始逐步應(yīng)用于橋梁工程中[4]，具有廣闊的應(yīng)用前景。鋼-UHPC組合梁在豎向荷載作用下，UHPC橋面板上剪應(yīng)力分布不均勻，剪力滯效應(yīng)顯著[5]，因此其受力狀態(tài)較為復(fù)雜。在長懸臂、大腹板間距、薄壁輕型組合結(jié)構(gòu)中，存在剪力滯效應(yīng)，若按初等梁理論進(jìn)行結(jié)構(gòu)計算，會導(dǎo)致梁的抗彎剛度偏高，理論撓度值偏??；另外，懸臂板中的應(yīng)力峰值也會被低估，可能使結(jié)構(gòu)存在重大安全隱患甚至造成事故。為合理準(zhǔn)確地確定翼緣板縱向正應(yīng)力峰值，工程中提出了計算翼緣板剪力滯效應(yīng)的方法，主要包括能量變分法[6]、比擬桿法、有限條法[7]和有限元法[8?9]等。前3種方法簡單實用，多適用于分析等截面梁的剪力滯效應(yīng)，難以應(yīng)用于變截面組合梁等復(fù)雜橋梁結(jié)構(gòu)中。有限元法可以確定截面上縱向正應(yīng)力分布，但其計算過程相對復(fù)雜、耗時較長，且對計算能力的要求較高。為此，周世軍等[10?11]提出了一種求解薄壁箱形梁剪力滯效應(yīng)的新方法——有限梁段法，該方法在假定適當(dāng)?shù)牧憾挝灰颇Ｊ角疤嵯拢雀鶕?jù)最小勢能原理確定微分方程以及相應(yīng)的邊界條件，再將翹曲位移函數(shù)基本微分方程的常數(shù)求解替換為對各節(jié)點(diǎn)具有2個剪力滯未知量的梁段單元的求解，從而得到剪力滯系數(shù)矩陣以及廣義荷載列陣。采用變分法研究剪力滯效應(yīng)時，需要先擬定合理的翹曲位移函數(shù)[12]，其中，2次，3次或4次拋物線[13?15]函數(shù)被廣泛采用。隨后，基于能量變分法與矩陣分析法，可以建立求解組合梁或箱形梁任意橫截面剪力滯效應(yīng)的有限梁段公式。羅旗幟[11]采用此方法，以一個半逆解形式的函數(shù)作為翹曲位移函數(shù)，計算得到薄壁箱形梁在不同荷載作用下翼緣板和底板的剪力滯系數(shù)[16]，經(jīng)對比結(jié)果較吻合，說明該有限梁段法是正確可靠的。羅旗幟[17]通過計算變截面箱形梁橫截面的縱向正應(yīng)力，將計算結(jié)果與實驗測試值及有限元法的計算值進(jìn)行比較，也驗證了該方法的有效性。周世 軍等[10, 18]則將3次拋物線函數(shù)作為箱梁翼緣板、腹板和底板的翹曲位移函數(shù)，驗證了在不同邊界支承條件和不同荷載形式下該方法的合理性。劉洋等[19]還以Π形組合梁為研究對象，建立了考慮軸力、彎矩和剪力滯效應(yīng)在內(nèi)的有限梁單元，提出了求解Π形組合梁主梁應(yīng)力的有限梁段法計算公式。何志剛等[20?21]考慮了翼板剪切變形的規(guī)律，認(rèn)為翼板上剪力流不相等，造成翼板上各部分的剪切變形不一致，所以對箱形梁懸臂板、內(nèi)側(cè)頂板以及底板的3次拋物線翹曲位移函數(shù)進(jìn)行修正，推導(dǎo)出更符合實驗數(shù)據(jù)的有限梁段法。為進(jìn)一步驗證此方法的有效性和普遍性，作者研究了箱形截面梁在不同邊界條件與不同荷載作用下正應(yīng)力沿主梁的縱向分布，計算結(jié)果與變分法一般解完全一致[22]。周朋等[23]還結(jié)合了當(dāng)量截面法以及疊加原理，利用有限梁段法分析了變截面連續(xù)梁的剪力滯效應(yīng)，求解結(jié)果與有限元以及變分法解析結(jié)果較吻合。上述文獻(xiàn)綜述表明，有限梁段法計算公式簡單，結(jié)果可靠有效，可適用于分析變截面橋梁結(jié)構(gòu)的剪力滯效應(yīng)。本文在此方法的基礎(chǔ)上，選擇余弦函數(shù)[24]作為UHPC矮肋板式橋面系組合梁的翹曲位移函數(shù)，對鋼-UHPC組合梁在不同邊界條件與不同荷載作用下的剪力滯效應(yīng)進(jìn)行了計算與對比，得到的結(jié)果與解析解吻合良好。

1 鋼-UHPC組合梁位移模式

鋼-UHPC組合梁的位移模式如圖1所示。首先，在鋼-UHPC組合梁的形心處建立整體直角坐標(biāo)系為{,,,}，組合梁縱向為軸，軸和軸則分別為組合梁橫截面橫向和豎向的形心主軸。隨后分別在UHPC矮肋板形心O和鋼梁形心O處建立局部坐標(biāo)系(x,y,z)和(x,y,z)。

圖1 鋼-UHPC組合梁位移模式

本文計算所用鋼-UHPC組合梁為工字形梁，梁截面如圖2所示。梁高為h，翼緣板總寬度為2由若干不同寬度(分別為21，2，3和4)的矩形板組合而成。假設(shè)UHPC矮肋板橫斷面包含個高度為1，寬度為2的矩形板，則有-2個高度為h(h=h1+2)、寬度為3的矩形板形成UHPC橋面板的縱肋。

在計算過程中，將鋼梁和UHPC翼緣板假定為理想彈性材料，二者的豎向位移相同，只考慮UHPC翼緣板沿方向的正應(yīng)變和剪應(yīng)變。由于鋼-UHPC組合梁高跨比較小，忽略鋼梁面外剪應(yīng)變γ。當(dāng)鋼-UHPC組合梁承受豎向荷載時，由于截面上剪力的不均勻分布引起剪力滯效應(yīng)，UHPC矮肋板上會產(chǎn)生符合平截面假定的剪滯翹曲位移。根據(jù)鐵木辛柯彈性理論，當(dāng)鋼梁和UHPC板均被視為各向同性勻質(zhì)材料時，組合梁橫截面上(UHPC矮肋板或鋼梁)的縱向位移(,,)可由鋼-UHPC組合梁縱向變形0，豎向荷載產(chǎn)生的縱向位移1以及縱向翹曲位移2三者疊加而成。

因此，由圖1所示的位移模式可知，當(dāng)UHPC矮肋板與工字形鋼梁的豎向撓度為()，鋼-UHPC組合梁上任意一點(diǎn)的縱向位移為：

式中：(,,)為矮肋式UHPC橋面板和鋼梁上任意一點(diǎn)的縱向位移；()為翹曲位移函數(shù)沿鋼-UHPC組合梁縱向的強(qiáng)度函數(shù)；()為鋼-UHPC組合梁翼板的剪力滯翹曲位移函數(shù)。

剪力滯翹曲函數(shù)的基本形式通常為拋物線函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)或懸鏈線函數(shù)等。本文將余弦函數(shù)選為UHPC矮肋板式橋面系組合梁的翹曲函數(shù)，并且考慮懸臂板寬度、位置及不同邊界條件的影響，引入修正系數(shù)[25]。

由于本文研究的鋼-UHPC組合梁橫截面關(guān)于軸不對稱，所以UHPC矮肋板沿軸方向的縱向翹曲正應(yīng)力無法滿足自平衡。當(dāng)UHPC矮肋板和鋼梁兩者共同的縱向變形在全截面上滿足縱向受力平衡的條件，根據(jù)文獻(xiàn)[26]的理論研究，只需在UHPC矮肋板和鋼梁上施加一均勻的軸向位移。所以本文選取剪力滯翹曲形函數(shù)為

為矮肋式UHPC翼板半寬；為考慮矮肋式UHPC翼緣板影響的修正系數(shù)；為均勻軸向位移。

式中：

根據(jù)組合梁縱向位移求偏導(dǎo)，可知UHPC矮肋板的正應(yīng)變c，剪應(yīng)變c和鋼梁的正應(yīng)變s為：

2 變分法剪滯控制微分方程

組合梁彎曲時的外荷載勢能為：

聯(lián)立(4)～(6)式，鋼-UHPC組合梁的總勢能表示為：

式中：

其中：c為UHPC矮肋板橫截面面積；s為工字形鋼梁的截面面積；c為UHPC矮肋板對自身中性軸的截面慣性矩；s為工字形鋼梁對自身中性軸的截面慣性矩。

當(dāng)結(jié)構(gòu)體系總勢能的一階變分為0，結(jié)構(gòu)在外力作用下處于勢能最小狀態(tài)。所以，

根據(jù)式(8)可推導(dǎo)出含有翹曲位移的梁單元控制方程及相應(yīng)邊界條件：

由式(9)中的第3式可確定不同邊界約束下各變量所滿足的條件；式(9)中前兩式可化簡為鋼-UHPC組合梁單元關(guān)于翹曲位移函數(shù)和豎向撓度的剪力滯控制方程：

式中：

()為鋼-UHPC組合梁在處的剪力。

3 剪力滯效應(yīng)的有限梁段法

有限梁段法需將鋼-UHPC組合梁沿結(jié)構(gòu)縱向劃分為若干獨(dú)立的梁段單元，各梁段單元承受的豎向荷載產(chǎn)生的桿端力分別為Q，M和Q，M，鋼-UHPC組合梁段單元受力模式示意圖如圖3所示。假設(shè)梁段單元上剪力為線性分布，即

其中：l為梁段單元的長度。

在工程實踐中，可按照初等梁理論計算桿系結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，通過與考慮了剪力滯效應(yīng)的有限元分析得到的結(jié)構(gòu)內(nèi)力的比較，表明不考慮剪力滯效應(yīng)時，計算結(jié)果可滿足實際工程的精度要求。因此，可以假定剪力滯對組合梁截面的剪力和彎矩沒有影響，而只改變組合梁截面的正應(yīng)力分布，即梁段單元兩端的桿端力Q，M和Q，M可以按照初等梁理論計算。

由式(10)可求解出翹曲位移函數(shù)()的一般解：

式中：系數(shù)1和2可根據(jù)鋼-UHPC組合梁的邊界條件由(9)式中的第3式確定。對式(13)求導(dǎo)，可知

通過式(15)和式(17)可求解得到系數(shù)1和2，再代入到其他2組方程；同樣地，利用式(16)和式(18)求解1和2，再代入到另2組方程，化簡后可寫成矩陣形式

其中：

其中：[]為鋼-UHPC組合梁有限梁段法的單元系數(shù)矩陣；{}為鋼-UHPC組合梁有限梁段法的廣義單元結(jié)點(diǎn)位移向量；{}為鋼-UHPC組合梁有限梁段法的廣義單元外荷載向量。

有限梁段法分析的思路是首先將鋼-UHPC組合梁分割成若干小單元；然后將每個分離的單元作為一個獨(dú)立的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，求解每個單元的系數(shù)矩陣和廣義外荷載向量；最后根據(jù)梁段單元的邊界條件和變形協(xié)調(diào)，按照一般有限元方法的分析思路將所有單元的系數(shù)矩陣和廣義單元外荷載向量組合形成總的剪力滯系數(shù)矩陣和廣義外荷載向量，并求解該代數(shù)方程組?？偟募袅禂?shù)矩陣是對稱矩陣，所以具有等帶寬性質(zhì)。

4 UHPC矮肋板橫截面應(yīng)力

當(dāng)不考慮剪力滯效應(yīng)時，UHPC矮肋板橫截面任一點(diǎn)的縱向正應(yīng)力為：

若考慮剪力滯效應(yīng)，由式(5)及式(9)第1式可得到UHPC矮肋板橫截面上任一點(diǎn)的縱向正應(yīng)力：

剪力滯系數(shù)定義為：

在UHPC矮肋板橫斷面邊緣()處的剪力滯系數(shù)為：

而在UHPC矮肋板橫斷面中點(diǎn)(0)處的剪力滯系數(shù)為

5 算例

鋼-UHPC組合梁計算跨徑25 m，UHPC矮肋板總寬8 m，寬度為2的矩形板個數(shù)=8。UHPC矮肋板的彈性模量c4.2×104MPa，泊松比v=0.2；工字形鋼梁的彈性模量E=2.06×105MPa，泊松比v=0.3。鋼-UHPC組合梁橫截面尺寸見圖4。

單位：mm

假設(shè)鋼-UHPC組合梁為簡支支承形式，施加均布荷載為50 kN/m，按照本文方法求解其剪力滯效應(yīng)，將計算結(jié)果與文獻(xiàn)[27]進(jìn)行對比，見圖5。

鋼-UHPC簡支組合梁作用均布荷載時，由圖5可知，有限梁段法計算得到的UHPC矮肋板跨中截面各層縱向應(yīng)力分布與文獻(xiàn)結(jié)果吻合良好，與相應(yīng)的變分法一般解則完全一致，說明本文方法適用于鋼-UHPC組合梁剪力滯效應(yīng)的求解。

對鋼-UHPC簡支組合梁(圖6)在均布荷載50 kN/m作用下剪力滯系數(shù)與變分法一般解進(jìn)行對比分析，見圖7。

圖5 UHPC板各層縱向應(yīng)力分布

圖6 簡支組合梁受均布荷載示意圖

圖7 均布荷載下剪力滯系數(shù)沿梁縱向分布

鋼-UHPC簡支組合梁在均布荷載作用下，由本文方法計算得到的剪力滯系數(shù)與解析解完全一致。從圖中數(shù)據(jù)可知，在考慮剪力滯效應(yīng)時，鋼-UHPC組合梁腹板處(=0)沿梁縱向應(yīng)力大約是初等梁理論計算結(jié)果的1.1~1.3倍，說明鋼-UHPC簡支組合梁均布荷載下的剪力滯效應(yīng)不能忽視。

對鋼-UHPC簡支組合梁(圖8)在跨中集中荷載600 kN作用下剪力滯系數(shù)與變分法一般解進(jìn)行對比分析，見圖9。

圖8 簡支組合梁受集中荷載示意圖

在鋼-UHPC簡支組合梁上施加集中荷載作用，由本文方法計算得到的剪力滯系數(shù)與解析解完全一致。從圖中數(shù)據(jù)可知，在考慮剪力滯效應(yīng)時，鋼-UHPC組合梁在集中荷載作用斷面的腹板(=0)處縱向應(yīng)力超過不考慮剪力滯效應(yīng)時計算結(jié)果的30%，說明鋼-UHPC簡支組合梁在集中荷載下的剪力滯效應(yīng)不能忽視。

圖9 集中荷載下剪力滯系數(shù)沿梁縱向分布

對鋼-UHPC懸臂組合梁(圖10)在均布荷載下剪力滯系數(shù)與變分法一般解進(jìn)行對比分析，見圖11。

圖10 懸臂組合梁受均布荷載示意圖

圖11 均布荷載下剪力滯系數(shù)沿梁縱向分布

鋼-UHPC懸臂組合梁在均布荷載作用下，由本文方法計算得到的剪力滯系數(shù)與解析解完全一致。從圖11數(shù)據(jù)可知，鋼-UHPC懸臂組合梁在無約束處的剪力滯效應(yīng)特別明顯。

現(xiàn)在考慮鋼-UHPC組合梁為雙工字形鋼梁時，其構(gòu)造和橫截面尺寸如圖12所示。

單位：mm

對雙工字形鋼-UHPC簡支組合梁在均布荷載50 kN/m作用下，剪力滯系數(shù)的有限梁段法解與變分法一般解進(jìn)行對比分析，如圖13所示。

圖13 均布荷載下剪力滯系數(shù)沿梁縱向分布

對該雙工字形鋼-UHPC簡支組合梁在跨中集中荷載600 kN作用下，剪力滯系數(shù)的有限梁段法解與變分法一般解進(jìn)行對比分析，如圖14所示。

不同邊界條件和荷載作用下，由本文方法和變分法一般解得到的剪力滯系數(shù)結(jié)果可知，鋼-UHPC組合梁剪力滯效應(yīng)顯著，進(jìn)一步驗證了鋼-UHPC組合梁剪力滯效應(yīng)不能忽視。若結(jié)構(gòu)、邊界條件和荷載對稱，剪力滯系數(shù)計算結(jié)果也具有對稱性，見圖7和圖9。文獻(xiàn)中通過變分法求解剪力滯結(jié)果與實驗結(jié)果、有限元法和有限條法吻合程度高，說明本文方法同樣適用。

圖14 集中荷載下剪力滯系數(shù)沿梁縱向分布

6 結(jié)論

1) 利用變分法基本微分方程推導(dǎo)得到求解鋼-UHPC矮肋板式組合梁剪力滯效應(yīng)的有限梁段法。在不同邊界條件和荷載作用下，鋼-UHPC組合梁剪力滯效應(yīng)計算結(jié)果與相應(yīng)變分法一般解完全一致，表明有限梁段法同樣適用和有效。

2) 大量文獻(xiàn)以單一材質(zhì)的箱梁為研究對象，運(yùn)用本文方法求解剪力滯效應(yīng)，驗證了該方法的有效性。本文則是以鋼-UHPC矮肋板式組合梁為研究對象，利用該方法分析其剪力滯效應(yīng)，結(jié)果表明本文方法不僅適用于求解單一材質(zhì)梁的剪力滯效應(yīng)，而且也適用于求解不同材質(zhì)組合梁的剪力滯效應(yīng)。

3) 本文方法及公式簡單適用，不僅可以分析不同支承形式下的等截面梁的剪力滯效應(yīng)，而且也可以方便、有效地求解橋梁結(jié)構(gòu)中復(fù)雜截面在不同邊界條件下的剪力滯效應(yīng)。

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Finite segment method of shear lag analysis for steel-UHPC composite beams

XIE Shangfei

(Hunan Communications Research Institute Co., Ltd., Changsha 410015, China)

Based on the selected warping displacement function of shear lag and the energy variational principle, the governing differential equations for shear lag of the steel-UHPC composite beam and the corresponding boundary conditions were derived. After the beam segment was divided into several elements, the formulations of shear lag coefficient matrix and generalized load vector for the finite segment method including 2 degrees of freedom of the shear lag at each node, which was corresponding to beam element for analyzing shear lag effect, were established by the solution of the constants of the governing differential equations. In the present study, the cosine function was chosen as the warping displacement function to study the shear lag effect of the proposed light-weight composite beam composed of the short-ribbed UHPC slab in the bridge deck system. The shear lag effect was analyzed for both simply supported and cantilever composite beam under uniform load and concentrated load and the results obtained from the finite segment procedure accurately agree with the closed-form solutions from the variational analysis method. The effectiveness and reliability of the present method was verified. This method is simple and practical, so it also can be easily applied to calculation for the shear lag effect of the steel-UHPC composite beam with varying depths.

steel-UHPC composite beam; shear lag; variational method; cosine function

U448.216

A

1672 ? 7029(2021)02 ? 0440 ? 10

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T2 0200995

2020?10?23

國家自然科學(xué)基金資助項目(51808212)；中國博士后科學(xué)基金資助項目(2016M602411)

謝上飛(1976?)，男，湖南婁底人，高級工程師，從事橋梁研究與設(shè)計；E?mail：455986779@qq.com

(編輯 蔣學(xué)東)