湯雙清，華恒，丁小慧

改進(jìn)差分進(jìn)化算法在四桿機(jī)構(gòu)中的應(yīng)用

湯雙清，華恒，丁小慧

（三峽大學(xué) 機(jī)械與動力學(xué)院，湖北 宜昌 443002）

針對平面四桿機(jī)構(gòu)應(yīng)用廣泛，但軌跡偏差較大的問題，利用基于天牛須搜索的差分進(jìn)化算法（BASDE）的新方法，旨在探討改進(jìn)差分進(jìn)化算法，并減小四桿機(jī)構(gòu)軌跡偏差，尋找更加合理的結(jié)構(gòu)尺寸。通過MATLAB軟件仿真的結(jié)果，可以看出四種優(yōu)化方法中BASDE優(yōu)化速度更快，收斂精度更高優(yōu)化結(jié)果更好。將優(yōu)化結(jié)果通過三維建模，在ADAMS軟件中進(jìn)行動力學(xué)仿真，結(jié)果表明優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)執(zhí)行點(diǎn)的角加速度和線加速度均有所減小，顯示出機(jī)構(gòu)軌跡偏差有所減小、運(yùn)行更加平穩(wěn)，運(yùn)動軌跡更接近目標(biāo)軌跡。

四桿機(jī)構(gòu)；軌跡偏差；天牛須搜索；差分進(jìn)化

四桿機(jī)構(gòu)是生活中最常見的平面機(jī)構(gòu)之一，上至航天器材飛機(jī)起落架[1]，下至居家縫紉機(jī)[2]，尤其是在工農(nóng)業(yè)中被廣泛使用，例如巖石破碎機(jī)、糖果包裝機(jī)推糖機(jī)構(gòu)[3]、秋后立稈的殘膜回收機(jī)[4]等。四桿機(jī)構(gòu)是許多復(fù)雜機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)，而平面四桿機(jī)構(gòu)的軌跡綜合是機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的基本問題之一，其主要目的是找到一個平面四桿機(jī)構(gòu)，使得連桿機(jī)構(gòu)上的點(diǎn)能沿某一預(yù)先給定的軌跡行走[5]。高精度的四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡是改善設(shè)計(jì)質(zhì)量，提高工作效率的基礎(chǔ)。因此，對四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動軌跡進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)是很有必要的。

隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展以及計(jì)算機(jī)性能的提高，傳統(tǒng)的優(yōu)化方法由于耗時(shí)長、精度低等缺點(diǎn)已慢慢退出舞臺。而智能優(yōu)化算法可應(yīng)對復(fù)雜問題、優(yōu)化精度高等優(yōu)點(diǎn)逐漸得到越來越多專家和學(xué)者的青睞。黃裘俊等[6]提出了二次拉格朗日插值粒子群算法優(yōu)化機(jī)械手取件，優(yōu)化后的機(jī)械手運(yùn)動軌跡精度更高。楊帆等[7]采用改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法對四桿機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)變量進(jìn)行優(yōu)化，提高機(jī)構(gòu)的運(yùn)動精度。王良詣等[8]結(jié)合遺傳算法和擬牛頓混合算法，提出一種新方法。雖然這些算法都能較好求解軌跡綜合問題，但是，由于求解問題的復(fù)雜性，對于求解方法的精度和可靠性，仍有可以改進(jìn)的空間[9]。

差分進(jìn)化算法是一種基于群體的自適應(yīng)全局優(yōu)化現(xiàn)代智能理論算法，具有結(jié)構(gòu)簡單、易于使用、性能優(yōu)越、自適應(yīng)強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛使用[10]。盡管差分進(jìn)化算法在很多領(lǐng)域取得了成功應(yīng)用，但其仍然存在一些不足。天牛須搜索算法雖然收斂快，但是易出現(xiàn)早熟現(xiàn)象。本文提出將差分進(jìn)化算法與天牛須搜索算法混合，得到一種快速尋優(yōu)、避免陷入局部最優(yōu)的新方法，通過對平面四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動軌跡進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)發(fā)現(xiàn)該方法的搜索速度和精度得到了提高。

1 差分進(jìn)化算法原理

差分進(jìn)化算法（differential evolution，DE）的基本思想是：通過把隨機(jī)產(chǎn)生的初始種群中的兩個個體之間進(jìn)行加權(quán)差向量，然后與第三個個體相加產(chǎn)生新的個體。最后，新個體與當(dāng)代個體進(jìn)行‘適者生存’策略，通過不斷地進(jìn)化，優(yōu)勝劣汰尋找全局最優(yōu)。差分進(jìn)化算法只有變異、交叉、選擇這三個核心操作過程。

交叉操作如下：

通過變異操作和交叉操作后對產(chǎn)生的子群體采用一對一選擇操作，較優(yōu)者保留：

式中：(X)為個體X的適應(yīng)值。

2 天牛須搜索算法

天牛須搜索算法（Beetle Antennae Search Algorithm，BAS），也叫甲殼蟲須搜索算法，是2017年提出的一種高效的生物啟發(fā)式智能優(yōu)化算法[11]。天牛須搜索算法通過模擬自然界中天牛覓食行為，天牛在沒有任何提示的情況下，有快速、準(zhǔn)確找到食物的能力。

天牛須搜索的主要原理是依據(jù)食物的氣味濃度，由于天牛不知道食物的具體位置，便依據(jù)左右兩只長觸角接收到食物氣味濃度的大小，若右邊觸角收到的氣味強(qiáng)度大于左邊，天牛便會往右飛行，如若不然便往左飛行，依次循環(huán)直到找到食物。

BAS流程描述如下：

（1）隨機(jī)生成一只可以向任意方向前進(jìn)的天牛，用生成隨機(jī)向量來表示并歸一化：

（2）左右兩須坐標(biāo)為：

式中：x為時(shí)刻天牛的位置；d為時(shí)刻兩須之間的距離。

（3）由氣味強(qiáng)度決定天牛前進(jìn)方向?yàn)椋?/p>

（4）兩須間的距離和步長更新：

式中：為常數(shù)，取5；為步長的更新衰減系數(shù)，取0.95。

3 基于天牛須搜索的差分進(jìn)化算法

天牛須搜索算法是個體的尋優(yōu)，沒有群體間的交流。差分進(jìn)化是基于群體智能理論的優(yōu)化算法，是通過群內(nèi)個體間的合作與競爭而產(chǎn)生尋優(yōu)搜索算法。因此，本文將差分進(jìn)化算法與天牛須搜索算法混合在一起，提出一種新的優(yōu)化算法天牛須搜索的差分進(jìn)化算法（BASDE）。該混合算法是在DE算法的基礎(chǔ)上，對變異向量進(jìn)行改進(jìn)，然后融合BAS算法對位置更新，直到尋到全局最優(yōu)解。天牛須搜索算法的引入使得差分進(jìn)化算法能夠避免算法陷入局部最優(yōu)，增強(qiáng)局部搜索能力。

改進(jìn)算法后天牛群的位置為：

融入天牛須搜索后的差分進(jìn)化算法的流程如下：

step1 初始化算法參數(shù)，設(shè)置DE種群為NP，設(shè)置變異算子0、最大進(jìn)化代數(shù)G、交叉算子天牛須距離0等。

step2 隨機(jī)產(chǎn)生初始種群，進(jìn)化代數(shù)＝1。

step3 計(jì)算種群的每個個體的適應(yīng)度函數(shù)值。

step4 計(jì)算天牛下一步前進(jìn)方向。

step5 更新天牛群位置，更新步長、天牛須距離、變異算子等參數(shù)，根據(jù)式（1）和式（2）進(jìn)行變異、交叉操作。

step6 根據(jù)式（3）進(jìn)行選擇，判斷個體是否可以成為新個體。

step7 令＝＋1，轉(zhuǎn)到step3。

step8 滿足終止條件，結(jié)束。

4 實(shí)例分析

為驗(yàn)證本文所提混合算法的可行性，選取平面連桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)為例。平面四桿機(jī)構(gòu)簡圖模型，如圖1所示，已知點(diǎn)的位置如表1所示。

（1）曲柄連桿的設(shè)計(jì)變量

曲柄連桿的設(shè)計(jì)變量可構(gòu)成矢量為：

表1 點(diǎn)M的已知位置坐標(biāo)

對點(diǎn)建立數(shù)學(xué)模型，由幾何關(guān)系得其運(yùn)動方程為：

式中：Δ為曲柄轉(zhuǎn)角的0在第個位置的角增量。

（2）優(yōu)化目標(biāo)

選為點(diǎn)坐標(biāo)的偏差均方根值為：

（3）約束條件

曲柄連桿的設(shè)計(jì)變量范圍為：

根據(jù)曲柄存在的條件以及最小傳動角的要求建立約束方程。

（4）目標(biāo)函數(shù)

對優(yōu)化目標(biāo)和不等式約束采用增廣乘子法，使其轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束目標(biāo)函數(shù)：

式中：Cr為罰因子；L為約束條件個數(shù)；λc為乘子；gu(X)為不等式約束方程。

表2 四桿機(jī)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由表2可以看出模擬退火算法迭代次數(shù)最多，且優(yōu)化結(jié)果最差，而標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法相對文獻(xiàn)[12]所采用的改進(jìn)遺傳算法偏差。本文所提出的BASDE算法由圖2可以看出相比較其他算法明顯具有收斂精度高、速度快、優(yōu)化效果更好等優(yōu)點(diǎn)。

將優(yōu)化的結(jié)果在三維軟件中建模，導(dǎo)入ADAMS中仿真。優(yōu)化前點(diǎn)的線加速度最大值在SA和DE分別為7289.9 mm/s2、7090.3 mm/s2，經(jīng)BASDE優(yōu)化后為6929 mm/s2。優(yōu)化前點(diǎn)的角加速度最大值在SA和DE分別為9389.5o/s2、8679.4o/s2，經(jīng)BASDE優(yōu)化后為8635o/s2。由圖3和圖4可看出，優(yōu)化后的執(zhí)行點(diǎn)的角加速度和線加速度均有所減小，機(jī)構(gòu)運(yùn)動更平穩(wěn)。

圖3 M點(diǎn)的線加速度

圖4 M點(diǎn)的角加速度

5 結(jié)論

針對平面連桿機(jī)構(gòu)軌跡生成問題，提出一種基于天牛須搜索算法的差分進(jìn)化算法，采用增廣乘子法構(gòu)造無約束目標(biāo)函數(shù)，對平面連桿機(jī)構(gòu)軌跡優(yōu)化，在滿足約束條件下，尋優(yōu)效果更好。仿真結(jié)果表明本算法具有搜索能力強(qiáng)、快速尋優(yōu)、求解精度高，且克服了差分進(jìn)化算法陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn)，可以使軌跡更好的接近目標(biāo)曲線，使軌跡偏差更小。

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Application of Improved Differential Evolution Algorithms in Four-bar Linkages

TANG Shuangqing，HUA Heng，DING Xiaohui

( College of Mechanical & Power Engineering, China Three Gorges University,Yichang 443002,China )

Aiming at the problem that the planar four-bar linkage is widely used, but the track deviation is large, a new method of Differential Evolution algorithm based on Beetle Antennae Search algorithm (BASDE) is employed to reduce the track deviation of the four-bar mechanism and find a more reasonable structure size. The results of the MATLAB software simulation indicates that among the four optimization methods, BASDE has faster optimization speed, higher convergence accuracy and better optimization result. The three-dimensional model of the optimization result is built, and the dynamics simulation is performed in ADAMS software, which shows that the angular acceleration and linear acceleration of the optimized mechanism execution point are reduced, the trajectory deviation of the mechanism is reduced, the operation is more stable, and the motion trajectory is closer to the target trajectory.

four-bar linkage；trajectory deviation；beetle antennae search；differential evolution

TH112

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2021.01.001

1006－0316 (2021) 01－0001－05

2020－09－22

國家自然科學(xué)基金（51175297）

湯雙清（1962－），男，湖北孝感人，博士、教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)及理論，E-mail：tang_sq@ctgu.edu.cn。